1、第15課時(shí)等腰三角形,考點(diǎn)梳理,自主測(cè)試,考點(diǎn)一等腰三角形 1.等腰三角形的有關(guān)概念及分類(lèi) 有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊相等的三角形叫做等邊三角形,也叫正三角形. 2.等腰三角形的性質(zhì) (1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱為“等邊對(duì)等角”);(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)稱為“三線合一”);(3)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,它有一條對(duì)稱軸. 3.等腰三角形的判定 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)稱為“等角對(duì)等邊”).,考點(diǎn)梳理,自主測(cè)試,考點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定 1.等邊三角形的性質(zhì) (1)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等,且都等

2、于60;(2)等邊三角形的三條邊都相等,等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,它有三條對(duì)稱軸. 2.等邊三角形的判定 (1)三條邊相等的三角形是等邊三角形;(2)三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形;(3)有一個(gè)角為60的等腰三角形是等邊三角形. 考點(diǎn)三線段的垂直平分線 1.概念:經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn),并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線,也叫做中垂線. 2.性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 3.判定:到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的 垂直平分線上,線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合.,考點(diǎn)梳理,自主測(cè)試,考點(diǎn)四角平分線的性質(zhì)及判定 1.性質(zhì):角平分線上

3、的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. 2.判定:角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上,角的平分線可以看作是到角兩邊距離相等的點(diǎn)的集合. 3.三角形角平分線的性質(zhì):三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.,考點(diǎn)梳理,自主測(cè)試,1.已知一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和8,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為() A.11B.14 C.19D.14或19 答案:C 2.如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,A=20.線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接BE,則CBE等于() A.80B.70 C.60D.50 答案:C,考點(diǎn)梳理,自主測(cè)試,3.如圖,在ABC中,C=90,

4、AD平分CAB,AD=5,AC=4,則點(diǎn)D到AB的距離是. 答案:3,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)與判定 【例1】 如圖,在ABC中,AB=BC,BEAC于點(diǎn)E,ADBC于點(diǎn)D,BAD=45,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF. (1)求證:BF=2AE; (2)若 ,求AD的長(zhǎng). (1)證明:ADBC,BAD=45, ABD=BAD=45.AD=BD. ADBC,BEAC, CAD+ACD=90,CBE+ACD=90. CAD=CBE. 又CDA=BDF=90,ADCBDF, AC=BF.AB=BC,BEAC, AE=EC,即AC=2AE,BF=2AE.,命題點(diǎn)

5、1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)2等邊三角形的性質(zhì)與判定 【例2】 已知ABC為等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在BC,AC邊上,且AE=CD,AD與BE相交于點(diǎn)F. (1)求證:ABECAD; (2)求BFD的度數(shù). 分析:解決等邊三角形問(wèn)題時(shí),要充分利用等邊三角形三邊相等、三個(gè)角都等于60的性質(zhì).全等是解決這類(lèi)問(wèn)題最常見(jiàn)的方法. (1)證明:ABC為等邊三角形, BAC=C=60,AB=CA. 在ABE和CAD中,AB=CA,BAE=C,AE=CD,ABECAD. (2)解:ABECAD,ABE=CAD. BF

6、D=ABE+BAD, BFD=CAD+BAD=BAC=60.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,變式訓(xùn)練 如圖,已知在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D,在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使CE=CD.求證:BD=DE. 證明:ABC是等邊三角形, ABC=ACB=60. 點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn), ABD=CBD=30. CE=CD,CDE=CED. 又ACB=CDE+CED=60,CED=30. CBD=CED=30.BD=DE.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)3線段的垂直平分線 【例3】 一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為原

7、點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4. (1)如圖,將紙片沿CE對(duì)折,點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處,求點(diǎn)D的坐標(biāo); (2)若將紙片沿直線l對(duì)折,點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)F處(如圖),l與BF的交點(diǎn)為Q,若點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(3,2),求l的解析式.若點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4,2),你能確定l的解析式嗎?若能,求出其解析式;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,分析:(1)由對(duì)稱性知道,CD=CB,根據(jù)勾股定理求出OD,即可以求得點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)由垂直平分線的性質(zhì),點(diǎn)Q為BF的中點(diǎn).由中位線知識(shí)和點(diǎn)Q的坐標(biāo),可確定l上的另一點(diǎn)A.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題

8、點(diǎn)4,解:(1)根據(jù)題意,知CD=CB=OA=5. COD=90,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0). (2)過(guò)點(diǎn)Q作QMx軸于點(diǎn)M. 當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,2)時(shí), 如題圖,OM=3,MA=2,QM為FAB的中位線,FM=2,即FA=4. 而AB=4,FA=AB,而l為BF的中垂線, 點(diǎn)A在l上.l的解析式為y=-x+5. 當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)時(shí),OM=4,MA=1,OF=3,CF=5, 而CB=5,CF=CB. l為BF的中垂線,點(diǎn)C在l上. l的解析式為y=- x+4.,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)1,命題點(diǎn)2,命題點(diǎn)3,命題點(diǎn)4,命題點(diǎn)4角平分線的性質(zhì)和判定 【例4】 如圖,BEAC于點(diǎn)E,CFAB于點(diǎn)F,BE,CF相交于點(diǎn)D,若BD=CD, 求證:(1)DF=DE; (2)AD平分BAC. 分析:由BEAC于點(diǎn)E,CFAB于點(diǎn)F,易得BFD=CED,先證BDF與CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定條件“HL”,證明RtADF與RtADE全等,便可得證