1、函數(shù)的奇偶性,寶馬,奔馳,東風(fēng),雪鐵龍,豐田,請(qǐng) 你 欣 賞,四川曹家大院一景,曹家多子院大門,二道門,水鏡臺(tái),請(qǐng) 你 欣 賞,曹家大院某院,晉祠鼓樓,晉祠碩亭,太谷民居門墩石獅子,請(qǐng) 你 欣 賞,x,y,o,x,y,o,觀察下列兩個(gè)函數(shù)圖象并思考以下問(wèn)題： （1）這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？ （2）相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特征的？,我們得到,這兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于 y軸對(duì)稱.從函數(shù)值對(duì)應(yīng)表可以看到， 當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí),相應(yīng)的 兩個(gè)函數(shù)值相同.即點(diǎn)(x,f(x)在圖象 上,相應(yīng)的點(diǎn)(-x,f(x)也在函數(shù)圖象上。 我們能否利用函數(shù)解析式來(lái)描述函 數(shù)圖象的特征呢？,y=x2

2、,-x,x,當(dāng)x1=1, x2= -1時(shí)，f(-1)=f(1),當(dāng)x1=2, x2= -2時(shí)，f(-2)=f(2),對(duì)任意x，f(-x)=f(x),偶函數(shù)定義： 如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函數(shù)。,再觀察下列函數(shù)的圖象，它們又有什么相的特點(diǎn) 規(guī)律呢？,我們得到,這兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱.從函數(shù)值對(duì)應(yīng)表可以看到: 當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí),相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相反.即點(diǎn)(x,f(x)在圖象上,相應(yīng)的點(diǎn)(-x,-f(x)也在函數(shù)圖象上。 我們同樣可以利用函數(shù)解析式來(lái)描述函數(shù)圖象的這個(gè)特征。,例如：對(duì)于函數(shù)f(x)=x3,有 f(-1)=(-1)

3、3=-1 f(1)=1,f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8,f(-x)=(-x)3=-x3,f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x),-x,x,y,x,-1,1,-1,1,-x,x,奇函數(shù)定義：如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x ,都有f(-x）= -f(x)。那么f(x)就叫奇函數(shù)。,思考:偶函數(shù)與奇函數(shù)圖象有什么 特征呢?,偶函數(shù)的圖象關(guān)于 Y軸對(duì)稱.,函數(shù)y=x2的圖像,偶函數(shù)的圖像特征,奇函數(shù)的圖像特征,函數(shù)y=x3的圖像,O,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,對(duì)于奇、偶函數(shù)定義的幾點(diǎn)說(shuō)明:,(2) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的先決條

4、件。,（3）奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立， 即：若函數(shù)f(x)為奇函數(shù), 則f(-x)=f(x)成立。 若函數(shù)f(x)為偶函數(shù), 則f(-x)= f(x) 成立。,（1） 如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們就 是說(shuō)函數(shù)f(x) 具有奇偶性。,例1.根據(jù)下列函數(shù)圖象,判斷函數(shù)奇偶性.,y,x,y,x,y,x,-1,2,y,x,-1,1,偶,奇,非奇 非偶,奇,例2.判斷下列函數(shù)的奇偶性:,解:(1)對(duì)于函數(shù) ，其定義域?yàn)?，因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x,都有 所以函數(shù) 為奇函數(shù)。,（1）,（2）,先確定定義域,再驗(yàn)證f(x)與f(-x)之間的關(guān)系.,(3),(2)對(duì)于函數(shù) ,其定義域?yàn)?

5、x|x 0,定義域內(nèi)每個(gè)x,都有 故f(x)為偶函數(shù)。,(3)f(x)定義域?yàn)镽,定義域內(nèi)每個(gè)x都有 故f(x)為奇函數(shù).,（5）,（4）,定義域關(guān)于原 點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以 f(x)為非奇非偶函數(shù)。,解：（4）,（5）,故函數(shù)f(x)為既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)。,奇函數(shù) 偶函數(shù) 既奇又偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù),根據(jù)奇偶性, 函數(shù)可劃分為四類:,判斷函數(shù)奇偶性步驟: (1)先確定函數(shù)定義域,并判斷 定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; (2)確定f(x)與f(-x)的關(guān)系; (3)作出結(jié)論. 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0, 則f(x)是偶函數(shù); 若f(

6、-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0, 則f(x)是奇函數(shù).,思考1：函數(shù)f(x)=2x+1是奇函數(shù)嗎？是偶函數(shù)嗎？,x,y,0,1,2,f(x)=2x+1,-1,分析：函數(shù)的定義域?yàn)镽 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1 f(-x) - f(x)且f(-x) f(x) f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。（也稱為非奇非偶函數(shù)） 如右圖所示：圖像既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱也不關(guān)于y軸對(duì)稱。,思 考：,思考2：完成課本頁(yè)的練習(xí),小結(jié)：,奇偶性定義:對(duì)于函數(shù)f(x),在它的定義域內(nèi)，把任意一個(gè)x換成-x，(x,-x均在定義域內(nèi)） 若有f(-x)=-f(x), 則f(x)叫做奇函數(shù)； 若有f(-x)=f(x),