1、45 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能,為什么？,系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)與閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布密切相關(guān)。 為了評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的優(yōu)劣，就得首先求得系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點(diǎn)。 然后根據(jù)其分布情況估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和靜態(tài)性能指標(biāo)。,系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 參數(shù) （ k ),根據(jù)系統(tǒng)的 開(kāi)環(huán)零極點(diǎn),閉環(huán) 根 軌 跡,閉環(huán)極點(diǎn)位置,系統(tǒng) 性能 分析,利用根軌跡確定閉環(huán)極點(diǎn)位置,例： 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,若要求閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比=0.5,求系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)。,解：,（1）根據(jù)根軌跡畫(huà)法基本規(guī)則做根軌跡圖；,（2）在根軌跡圖上畫(huà)出阻尼比線；,（3）求出根軌跡與阻尼比線的交點(diǎn)得到閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置；,（4）根據(jù)幅值條件，求出對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)增

2、益；,（5）利用閉環(huán)特征方程的根之和與根之積確定其它閉環(huán)極點(diǎn)。,1. 等阻尼線的概念 2. 利用根軌跡幅值條件求開(kāi)環(huán)增益K 3. 主導(dǎo)極點(diǎn)的概念 4. 特征方程的根之和與根之積 (開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和 = 閉環(huán)極點(diǎn)之和）,（閉環(huán)極點(diǎn)之積 = （-1）n特征方程常數(shù)項(xiàng),根軌跡幅值方程：,即：開(kāi)環(huán)增益,阻尼比線,一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn),從圖中交點(diǎn)讀閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為：,根據(jù)幅值條件確定開(kāi)環(huán)增益：,特征方程,利用根軌跡確定閉環(huán)極點(diǎn)進(jìn)而分析系統(tǒng)的性能,例： 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,試應(yīng)用根軌跡法求取具有阻尼比=0.5的共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和其他的閉環(huán)極點(diǎn)，并估算此時(shí)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。,解： 將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)改寫(xiě)為零

3、、極點(diǎn)的形式：,式中：kg=2k, k為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，kg為根軌跡增益。,根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則，做根軌跡如下： 三條分支，實(shí)軸上分支包括:-1,0,-,-2 根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)為（-0.422，j0) 與虛軸有交點(diǎn)（0，2j)，(0, -2j), 與虛軸交點(diǎn)處的k=3, 根軌跡漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)（-1，0），夾角60,為了確定滿足=0.5的3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，首先做等阻尼線，它與負(fù)實(shí)軸的夾角為=60. 從根軌跡圖中讀取等阻尼線與根軌跡的交點(diǎn)坐標(biāo) ： （該交點(diǎn)即閉環(huán)極點(diǎn)） -s1=-0.33+j0.58 ; -s2=-0.33-j0.58 再根據(jù) 開(kāi)環(huán)極點(diǎn) = 閉環(huán)極點(diǎn)求得對(duì)應(yīng)的第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為（-2

4、.34）。 根據(jù)根軌跡幅值方程求得對(duì)應(yīng)于s1點(diǎn)的根軌跡增益為: Kg = 該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù) K= 0.525.,在所求的3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)中，極點(diǎn)（-2.34）最遠(yuǎn)離虛軸，它與其他極點(diǎn)距虛軸的距離之比為2.34/0.33=7倍。 可見(jiàn)，共軛閉環(huán)極點(diǎn)最靠近虛軸，在系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)中起著主導(dǎo)性作用，因而是閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。 因此，可以根據(jù)由主導(dǎo)極點(diǎn)所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來(lái)估算本三階系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 根據(jù)=0.5以及極點(diǎn)坐標(biāo)可得：n=0.66 根據(jù)結(jié)構(gòu)常數(shù)和n，計(jì)算指標(biāo): Ts=9(s),Mp=16.3%.,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可根據(jù)有關(guān)公式直接計(jì)算： K p = , K v=0.525 , K a =0 因?yàn)橄到y(tǒng)屬

5、于型，所以在階躍輸入下為無(wú)差系統(tǒng)，在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為 e ss= 1.9.,總 結(jié),系統(tǒng)的開(kāi)環(huán) 零、極點(diǎn)位置,閉環(huán) 根軌跡,閉環(huán)極點(diǎn)位置,系統(tǒng)參數(shù) （n k ),系統(tǒng)性能 分析,系統(tǒng)性能分析,穩(wěn)定性分析,穩(wěn)態(tài)誤差分析,快速性和平穩(wěn)性分析,閉環(huán)極點(diǎn)分布、kg,、n,G開(kāi)環(huán)、kg,系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)位置 與暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系 (見(jiàn)教材155頁(yè)）,（1）如果系統(tǒng)中存在非常接近的零點(diǎn)和極點(diǎn)，其相互距離比其本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，則把這對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)稱為偶極子。 偶極子的位置距離原點(diǎn)非常近時(shí)，其對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響一般需要考慮，但不會(huì)影響閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的主導(dǎo)作用。偶極子的位置距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，其對(duì)暫態(tài)響

6、應(yīng)的影響可以忽略。,（2） 除主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)外的其它極點(diǎn)的存在會(huì)增大系統(tǒng)的阻尼比，使響應(yīng)速度減慢，超調(diào)量減少。閉環(huán)零點(diǎn)的存在減小系統(tǒng)阻尼，使響應(yīng)速度加快，超調(diào)量增加。,4.5.2 附加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,漸近線與實(shí)軸夾角隨著 m 的增大而增加。,加入零點(diǎn)使根軌跡有向左方彎曲的趨勢(shì)。,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中有時(shí)為改善系統(tǒng)的性能而增設(shè)零點(diǎn)，由此給根軌跡帶來(lái)明顯的改變。,1. 提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,例： 一個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為（見(jiàn)課本p156例）,分析附加一個(gè)零點(diǎn) S+Z 時(shí)系統(tǒng)根軌跡的變化,只要選取 P5Z，可以產(chǎn)生類似附加單純零點(diǎn)的作用，此時(shí)增加的零點(diǎn)相對(duì)靠近虛軸而起主導(dǎo)作用。,如何實(shí)現(xiàn) 附加一

7、個(gè)零點(diǎn)？,例 2,設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 如果在系統(tǒng)中增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?D圖零點(diǎn)畫(huà)錯(cuò),下面來(lái)研究開(kāi)環(huán)零點(diǎn)在下列三種情況下系統(tǒng)的根軌跡：,1. ， 設(shè) ，則相應(yīng)系統(tǒng)的根軌跡如 圖b) 所示。 由于增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，根軌跡相應(yīng)發(fā)生變化。 從根軌跡形狀變化看，雖然根軌跡雖然向左彎了些， 但是系統(tǒng)性能的改善不顯著，當(dāng)系統(tǒng)增益超過(guò)臨界值 時(shí)，系統(tǒng)仍將變得不穩(wěn)定，但臨界開(kāi)環(huán)放大系數(shù)和臨 界頻率都有所提高。,2. ，設(shè) z=1.0 ,相應(yīng)的根軌跡如圖 c）所示,此時(shí)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益取任何值時(shí)系統(tǒng)都將穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)有三個(gè)極點(diǎn)，如設(shè)計(jì)得合適，系統(tǒng)將有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)和一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，并且共軛

8、復(fù)數(shù)極點(diǎn)距虛軸較近，即為共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)。在這種情況下，系統(tǒng)可近似看成一個(gè)二階欠阻尼比系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行分析。 3. ，設(shè) 相應(yīng)系統(tǒng)根軌跡如圖 d）。 在此情況下，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)距離虛軸較遠(yuǎn)，而實(shí)數(shù)極點(diǎn)卻距離虛軸較近，這說(shuō)明系統(tǒng)將有較低的瞬態(tài)響應(yīng)速度。,從以上三種情況來(lái)看，一般第二種情況比較理想，這時(shí)系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)也比較滿意。 可見(jiàn)，增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)將使系統(tǒng)的根軌跡向左彎曲，并在趨向于附加零點(diǎn)的方向發(fā)生變形。如果設(shè)計(jì)得當(dāng)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)均可得到顯著改善。,2. 增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)穩(wěn)態(tài)性能的影響,由于增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)改變了系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，因此會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性

9、能。 分析見(jiàn)教材158頁(yè)。,3. 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)根軌跡有以下影響： 1.改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布 2.改變了漸近線的傾角和分離點(diǎn) 3.若增加的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和某個(gè)極點(diǎn)重合或距離很近，構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子，則兩者相互抵消，因此，可加入一個(gè)零點(diǎn)來(lái)抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn)。 4.根軌跡曲線向左移動(dòng)，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。,增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn),漸近線與實(shí)軸傾角隨著 n 數(shù)增大而減小,根軌跡向右方彎曲，減小系統(tǒng)的穩(wěn)定性范圍。,4.5.3 增加極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的影響,增加一個(gè)極點(diǎn),開(kāi)環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,增加一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)根軌跡有以下影響： 1.改變了根軌跡在實(shí)

10、軸上的分布 2.改變了根軌跡的分支數(shù) 3.改變了漸近線的傾角和分離點(diǎn) 4.根軌跡曲線向右移動(dòng)，不利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。而且所加極點(diǎn)越靠近虛軸，這種影響越大。,結(jié) 論,系統(tǒng)根軌跡的形狀、位置決定于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)，因此，可以通過(guò)增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)來(lái)改造根軌跡，從而實(shí)現(xiàn)改善系統(tǒng)的性質(zhì)。,開(kāi)環(huán)偶極子：如果在系統(tǒng)中存在距離非常接近的零點(diǎn)和極點(diǎn)，其相互距離比其本身的模小一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，則把這一對(duì)極點(diǎn)和零點(diǎn)稱作偶極子。,4.5.4 開(kāi)環(huán)偶極子,在一般情況下，偶極子對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的影響可以忽略不計(jì)，但如果偶極子的位置接近原點(diǎn)，其影響往往需要考慮，但它們并不影響系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的作用。,46 用 MATLA

11、B 繪制系統(tǒng)的根軌跡,一、求開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn),例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),求系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的位置。,num=2 5 1; den=1 2 3; pzmap(num,den); titlepole-zero Map,分子多項(xiàng)式,分母多項(xiàng)式,求零極點(diǎn)函數(shù),打印標(biāo)題,二、繪制常規(guī)根軌跡,例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖,num=2 5 1; den=1 2 3; rlocus(num,den); Title（控制系統(tǒng)根軌圖）,分子多項(xiàng)式,分母多項(xiàng)式,繪制根軌跡函數(shù),打印標(biāo)題,三、繪制帶阻尼比和自然振蕩頻率柵格,例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),繪制系統(tǒng)的根軌跡圖及帶阻尼比和自然振蕩頻率柵格。,四、系統(tǒng)性能分析,例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),繪制系統(tǒng)的根軌跡圖并分析系統(tǒng)性能。,作業(yè)見(jiàn)課本p163,41、2、3、4、5、6、7、13,小 結(jié),根軌跡是以開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中的某個(gè)參數(shù)（一般是根軌跡增益）為參變