1、,4.7正弦定理、余弦定理,第四章三角函數(shù)、解三角形,數(shù)學(xué) 蘇（理）,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),題型分類深度剖析,思想方法感悟提高,練出高分,1.正弦、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin Bsin C,思考辨析,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)在ABC中，AB必有sin Asin B.() (2)若滿足條件C60，AB ，BCa的ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是( ，2).() (3)若ABC中，aco

2、s Bbcos A，則ABC是等腰三角形.(),(4)在ABC中，tan Aa2，tan Bb2，那么ABC是等腰三角形.() (5)當(dāng)b2c2a20時(shí)，三角形ABC為銳角三角形；當(dāng)b2c2a20時(shí)，三角形為直角三角形；當(dāng)b2c2a20時(shí)，三角形為鈍角三角形.() (6)在ABC中，AB ，AC1，B30，則ABC的面積等于.(),鈍角,2,解析,方法二因?yàn)閎cos Cccos B2b， 所以sin Bcos Csin Ccos B2sin B， 故sin(BC)2sin B，,題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形,解析,思維升華,例1 (2013山東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a

3、，b，c，且ac6，b2， cos B . (1)求a，c的值；,解析,思維升華,解 由余弦定理得：,題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形,例1 (2013山東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ac6，b2， cos B . (1)求a，c的值；,解析,思維升華,ac9.,得ac3.,題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形,例1 (2013山東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ac6，b2， cos B . (1)求a，c的值；,解析,思維升華,(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則

4、考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.,題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形,例1 (2013山東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ac6，b2， cos B . (1)求a，c的值；,解析,思維升華,(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.,題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形,例1 (2013山東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ac6，b2， cos B . (1)求a，c的值；,解析,思維

5、升華,例1(2)求sin(AB)的值.,解析,思維升華,例1(2)求sin(AB)的值.,解析,思維升華,例1(2)求sin(AB)的值.,sin (AB)sin Acos Bcos Asin B,解析,思維升華,例1(2)求sin(AB)的值.,解析,思維升華,(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.,例1(2)求sin(AB)的值.,解析,思維升華,(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形

6、具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.,例1(2)求sin(AB)的值.,跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2014天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知bc a,2sin B3sin C，則cos A的值為 .,跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2014天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知bc a,2sin B3sin C，則cos A的值為 .,(2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cos A ，cos B ，b3，則c .,sin Csin(AB)sin(AB) sin Acos Bcos Asin B,(2)設(shè)ABC的

7、內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cos A ，cos B ，b3，則c .,題型二利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀,例2在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求角A的大??；,解析,思維升華,解析,思維升華,解 由2asin A(2bc) sin B(2cb)sin C， 得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，,0A180， A60.,題型二利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀,例2在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求

8、角A的大??；,解析,思維升華,(1)三角形的形狀按邊分類主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等.判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考,主要看其是不是正三角,題型二利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀,例2在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求角A的大??；,解析,思維升華,形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別. (2)邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理.,題型二利用正弦、余弦定理判

9、定三角形的形狀,例2在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求角A的大??；,解析,思維升華,例2(2)若sin Bsin C ，試判斷ABC的形狀.,解 ABC180，BC18060120.,解析,思維升華,例2(2)若sin Bsin C ，試判斷ABC的形狀.,sin Bsin 120cos Bcos 120sin B .,解析,思維升華,例2(2)若sin Bsin C ，試判斷ABC的形狀.,即sin(B30)1.,0B120，,30B30150. B3090,B60. ABC60， ABC為等邊三角形.,解析,

10、思維升華,(1)三角形的形狀按邊分類主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等.判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考,主要看其是不是正三角,例2(2)若sin Bsin C ，試判斷ABC的形狀.,解析,思維升華,形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別. (2)邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理.,例2(2)若sin Bsin C ，試判斷ABC的形狀.,跟蹤訓(xùn)練2(1)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若 cos A，則ABC為 . 鈍角三角

11、形 直角三角形 銳角三角形 等邊三角形,跟蹤訓(xùn)練2(1)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若 cos A，則ABC為 . 鈍角三角形 直角三角形 銳角三角形 等邊三角形,所以sin(AB)sin Bcos A， 即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0， 所以cos Bsin A0.,跟蹤訓(xùn)練2(1)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若 cos A，則ABC為 . 鈍角三角形 直角三角形 銳角三角形 等邊三角形,又sin A0，于是有cos B0， B為鈍角，所以ABC是鈍角三角形.,(2)在ABC中，cos2 (a，b，c分別為角A，B

12、，C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為 . 等邊三角形 直角三角形 等腰三角形或直角三角形 等腰直角三角形,(1cos B)cac，,2a2a2c2b2， a2b2c2， ABC為直角三角形.,答案 ,解析,思維升華,解析,思維升華,解析,思維升華,由ab，得AB. 又AB(0，)，得,解析,思維升華,三角形面積公式的應(yīng)用原則：,解析,思維升華,(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.,解析,思維升華,例3(2)若sin A ，求ABC的面積.,解析,思維升華,例3(2)若sin A ，求ABC的面積.,由ac，得AC，,故sin Bsin(AC) sin Acos Cc

13、os Asin C,解析,思維升華,例3(2)若sin A ，求ABC的面積.,所以，ABC的面積為,解析,思維升華,例3(2)若sin A ，求ABC的面積.,三角形面積公式的應(yīng)用原則：,解析,思維升華,例3(2)若sin A ，求ABC的面積.,(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.,跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2013課標(biāo)全國改編)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2，B ，C ，則ABC的面積為 .,跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2013課標(biāo)全國改編)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2，B ，C ，則ABC的面積為 .,跟蹤訓(xùn)練3 (

14、1)(2013課標(biāo)全國改編)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2，B ，C ，則ABC的面積為 .,易錯(cuò)警示系列6 三角變換不等價(jià)致誤,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷ABC的形狀.,易 錯(cuò) 分 析,規(guī) 范 解 答,溫 馨 提 醒,易 錯(cuò) 分 析,規(guī) 范 解 答,溫 馨 提 醒,(1)從兩個(gè)角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補(bǔ)情形； (2)代數(shù)運(yùn)算中兩邊同除一個(gè)可能為0的式子，導(dǎo)致漏解； (3)結(jié)論表述不規(guī)范.,易錯(cuò)警示系列6 三角變換不等價(jià)致誤,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，

15、試判斷ABC的形狀.,解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)， b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)， 2sin Acos Bb22cos Asin Ba2， 即a2cos Asin Bb2sin Acos B.,易 錯(cuò) 分 析,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,易錯(cuò)警示系列6 三角變換不等價(jià)致誤,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷ABC的形狀.,方法一由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B， sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B， 又sin Asin B0，sin Acos

16、 Asin Bcos B， sin 2Asin 2B.,易 錯(cuò) 分 析,規(guī) 范 解 答,溫 馨 提 醒,易錯(cuò)警示系列6 三角變換不等價(jià)致誤,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷ABC的形狀.,在ABC中，02A2，02B2， 2A2B或2A2B，AB或AB . ABC為等腰三角形或直角三角形.,易 錯(cuò) 分 析,規(guī) 范 解 答,溫 馨 提 醒,易錯(cuò)警示系列6 三角變換不等價(jià)致誤,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷ABC的形狀.,ABC為等腰三角形或直角三角形. 方法二由正弦定理、余弦定理得：,易 錯(cuò) 分 析

17、,規(guī) 范 解 答,溫 馨 提 醒,易錯(cuò)警示系列6 三角變換不等價(jià)致誤,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷ABC的形狀.,a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)， (a2b2)(a2b2c2)0， a2b20或a2b2c20. 即ab或a2b2c2. ABC為等腰三角形或直角三角形.,易 錯(cuò) 分 析,規(guī) 范 解 答,溫 馨 提 醒,易錯(cuò)警示系列6 三角變換不等價(jià)致誤,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷ABC的形狀.,(1)判斷三角形形狀要對(duì)所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶樱缓筮M(jìn)行

18、判斷； (2)在三角變換過程中，一般不要兩邊約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解；在利用三角函數(shù)關(guān)系推證角的關(guān)系時(shí)，要注意利用誘導(dǎo)公式，不要漏掉角之間關(guān)系的某種情況.,易 錯(cuò) 分 析,規(guī) 范 解 答,溫 馨 提 醒,易錯(cuò)警示系列6 三角變換不等價(jià)致誤,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷ABC的形狀.,方 法 與 技 巧,2.正弦、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正弦、余弦定理結(jié)合得sin2Asin2Bsin2C2sin Bsin C cos A，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明.,3.在解三角形或判斷三角形形狀時(shí)，要注意三角函數(shù)值的符號(hào)和角的范圍，防止出現(xiàn)增

19、解、漏解.,失 誤 與 防 范,1.在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論.,2.利用正弦、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.在ABC中，若A60，B45，BC3，則AC .,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,2.在ABC中，AB12，sin C1，則abc .,3.(2013遼寧)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos A b，且ab，則B .,2,4,5,6,7,8

20、,9,10,1,3,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,4.ABC中，AC ，BC2，B60，則BC邊上的高為 .,解析設(shè)ABa，則由AC2AB2BC22ABBCcos B知7a242a，即a22a30，a3(負(fù)值舍去).,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,4或5,2,3,4,5,6,9,10,1,7,8,8.(2014福建)在ABC中，A60，AC4，BC2 ，則ABC的面積等于 .,解析如圖所示，在ABC中，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,9.(