1、萬有引力推導(dǎo)開普勒定律牛頓萬有引力定律闡明：任意兩個(gè)粒子由通過連線方向的力相互吸引。該引力的的大小與它們的質(zhì)量乘積成正比，與它們距離的平方成反比。由于太陽(yáng)超重于行星，我們可以假設(shè)太陽(yáng)是固定的。用方程式表示，；這里， 是太陽(yáng)作用於行星的萬有引力、 是行星的質(zhì)量、 是太陽(yáng)的質(zhì)量、 是行星相對(duì)于太陽(yáng)的位移向量、 是 的單位向量。牛頓第二定律聲明：物體受力後所產(chǎn)生的加速度 ，和其所受的淨(jìng)力 成正比，和其質(zhì)量 成反比。用方程式表示，。合并這兩個(gè)方程式，。 (1)思考位置向量 ，隨時(shí)間 微分一次可得到速度向量，再微分一次則可得到加速度向量：，。(2)在這里，我們用到了單位向量微分方程式：，。合并方程式 (

2、1) 與 (2) ，可以得到向量運(yùn)動(dòng)方程式：取各個(gè)分量，我們得到兩個(gè)常微分方程式，一個(gè)是關(guān)于徑向加速度，另一個(gè)是關(guān)于切向加速度：，(3)。(4)導(dǎo)引開普勒第二定律只需切向加速度方程式。試想行星的角動(dòng)量 。由于行星的質(zhì)量是常數(shù)，角動(dòng)量隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為。角動(dòng)量 也是一個(gè)運(yùn)動(dòng)常數(shù)，即使距離 與角速度 都可能會(huì)隨時(shí)間變化。從時(shí)間 到時(shí)間 掃過的區(qū)域 ，。行星太陽(yáng)連線掃過的區(qū)域面積相依于間隔時(shí)間 。所以，開普勒第二定律是正確的。編輯 開普勒第一定律導(dǎo)引設(shè)定 。這樣，角速度是。隨時(shí)間微分與隨角度微分的關(guān)系為。隨時(shí)間微分徑向距離 ：。再微分一次：。代入徑向運(yùn)動(dòng)方程式 (3) ， ，。將此方程式除以 ，則可得到

3、一個(gè)簡(jiǎn)單的常係數(shù)非齊次線性全微分方程式來描述行星軌道：。特征方程式為。求解剩馀的常係數(shù)齊次線性全微分方程式，。其特解方程式為；這里， 與 都是任意積分常數(shù)。綜合特征方程式與特解方程式，。選擇坐標(biāo)軸，讓 。代回 ，。假若 ，則 所描述的是橢圓軌道。所以，開普勒第一定律是正確的。編輯 開普勒第三定律導(dǎo)引在建立牛頓萬有引力定律的概念與數(shù)學(xué)架構(gòu)上，開普勒第三定律是牛頓依據(jù)的重要線索之一。假若我們接受牛頓運(yùn)動(dòng)定律。試想一個(gè)虛擬行星環(huán)繞著太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，行星的移動(dòng)軌道恰巧呈圓形，軌道半徑為 。那末，太陽(yáng)作用于行星的萬有引力為 。行星移動(dòng)速度為 。依照開普勒第三定律，這速度 與半徑的平方根 成反比。所以，萬有引力

4、 。猜想這大概是牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的思路，雖然我們并不能完全確定，因?yàn)槲覀儫o法在他的計(jì)算本裡，找到任何關(guān)于這方面的證據(jù)。行星環(huán)繞太陽(yáng)（焦點(diǎn) F1 ）的橢圓軌道。開普勒第一定律闡明，行星環(huán)繞太陽(yáng)的軌道是橢圓形的。橢圓的面積是 ；這里， 與 分別為橢圓的半長(zhǎng)軸與半短軸。在開普勒第二定律導(dǎo)引里，行星太陽(yáng)連線掃過區(qū)域速度 為。所以，行星公轉(zhuǎn)周期 為。(5)關(guān)于此行星環(huán)繞太陽(yáng)，橢圓的半長(zhǎng)軸 ，半短軸 與近拱距 （近拱點(diǎn) A 與引力中心之間的距離），遠(yuǎn)拱距 （遠(yuǎn)拱點(diǎn) B 與引力中心之間的距離）的關(guān)系分別為，(6)。(7)如果想要知道半長(zhǎng)軸與半短軸，必須先求得近拱距與遠(yuǎn)拱距。依據(jù)能量守恒定律，。在近拱點(diǎn) A 與遠(yuǎn)拱點(diǎn) B，徑向速度都等于零：。所以，。稍為加以編排，可以得到 的一元二次方程式：。其兩