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1、3 平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率,本節(jié)定義光滑曲線的弧長(zhǎng),并用定積分給出弧長(zhǎng)計(jì),算公式.,一、平面曲線的弧長(zhǎng),定義2 設(shè)平面曲線 C 由參數(shù)方程,曲線, 則 C 是可求長(zhǎng)的, 且弧長(zhǎng)為,若 C 為一光滑,于是,證,因此,由第一章1習(xí)題6可知,于是,即,從而,因此當(dāng) f 在 a, b 上連續(xù)可微時(shí),示,則 C 又可看作,注1 若曲線 C 由直角坐標(biāo)方程,表示,則 C 亦可看作,注2 若曲線 C 由極坐標(biāo)方程,由于,解,例1,例 2,解,解,段弧長(zhǎng).,例3,在光滑曲線 上, 弧段 與 的長(zhǎng)度相差不,*二、平面曲線的曲率,曲率是刻劃曲線的彎曲程度的一個(gè)概念.如圖所示,多而彎曲程度卻很不一樣.,轉(zhuǎn)過的角度 要

2、大得多,比動(dòng)點(diǎn)從Q 移到 R 時(shí)切線.,到Q 時(shí), 切線轉(zhuǎn)過的角度,這反映動(dòng)點(diǎn)沿曲線從P 移,設(shè) 表示曲線在點(diǎn) 處切線的傾角,表示動(dòng)點(diǎn)由 P 沿曲線移至,時(shí)切線傾角的增量.若,為弧段 的平均曲率.如果存在有限極限,則稱此極限 K 為曲線 C 在 P 處的曲率.,由于曲線光滑,故總有,可得,即,若曲線由 表示,則,例1 求橢圓 上曲率,解 由于,最大和最小的點(diǎn).,因此橢圓在各點(diǎn)的曲率為,當(dāng) 時(shí), 在 處曲率最大,在,由例1可得,若 則各點(diǎn)處曲率相等, 為,處曲率最小,顯然, 直線上各點(diǎn)處的曲率為 0.,設(shè)曲線上一點(diǎn)P處曲率 若過 P 作一個(gè)半徑為,的圓, 使它在點(diǎn) P 處與曲線有相同的切線,并在 P 近旁與曲線位于切線的同側(cè)(見圖).,在P 處的曲率圓.曲率圓,率圓的圓心稱為曲率中心.,的半徑稱為曲率半徑, 曲,我們把這個(gè)圓稱為曲線,火車軌道從直道進(jìn)入半徑為 R 的,火車的向心加速度,以保證火車安全(使,道(用虛線表示),使得曲率由零連續(xù)地變到,圓形彎道時(shí),為了行車安全,必須經(jīng)過一段緩沖軌,例2 如圖所示,對(duì)此曲線用曲率公式得:,緩沖曲線常用三次曲線,的曲率從 0 漸漸增加到接近于 從

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