1、第四章投影變換 4.1 概述 在前三章中，我們分別討論了點、線、面及其相對位置的投影。我們知道，當(dāng)直線或平面相對于某投影面處于平行或垂直的特殊位置時，它們的投影能反映實長、實形或傾角，見表 41；當(dāng)直線或平面相對投影面處于一般位置時，它們的投影就不具有這些特性。從這里我們可以看出，如果能把一般位置的幾何元素變換成特殊位置，那么其定位和度量問題就容易解決了，投影變換就是為了這個目的。 表 41空間幾何元素對投影面處于特殊位置時度量問題 實 長 (形) 問 題 距 離 問 題 線段的實長 平面是實形 點到直線的距離 兩直線間的距離 點到平面的距離 距 離 問 題 角 度 問 題 直線到平面的距離

2、兩平面之間的距離 兩直線的夾角 直線與平面的夾角 兩平面之間的夾角 投影變換的方法很多，常用的有兩種：換面法和旋轉(zhuǎn)法。 3 換面法的基本概念 4.2 換面法 換面法就是保持空間幾何元素的位置不動，通過改變投影面的位置來改變空間幾何元素與投影面的位置關(guān)系，從而有利于解題。 如圖 41(a)所示：點 A 在 V/H 體系中，正面投影為 a,水平投影為 a。現(xiàn) H 面不變， 取一鉛垂面 Vl 代替正立面 V，構(gòu)成新的兩投影面體系 V1/H。過點 A 向 V1 面作垂線，得到點 A 在 Vl 面上的投影 a1，V/H 體系為舊投影體系，X 軸為舊投影軸，而 V1/H 體系為新投影體系，Xl 軸為新投影

3、軸，V 面為舊投影面，H 面為不變投影面，V1 面為新投影面。相應(yīng)地，V 面上的投影 a為舊投影，H 面上的投影 a 為不變投影、V1 面上的投影 a1為新投影。在新投影體系 V1/H 中，新投影面 Vl 必須與舊體系 V/H 中不變投影面 H 垂直， 才能繼續(xù)保持兩投影面體系中的投影規(guī)律。當(dāng)然，也可以用一個垂直于 V 面的新投影面Hl 替換 V/H 中的 H 面，從而組成如圖 42(a)所示的 V/H1 體系。 (a) (b)(c)圖 41點的一次換面（更換 V 面） 因此，用換面法解題時，新投影面必須垂直于不變投影面。二 點的換面投影規(guī)律 (一) 點的一次換面 1. 更換 V 面如圖 41

4、(a)所示，A 點在 V/H 體系中的兩投影是 a和 a，在 V1/H 體系中的兩投影是 al 和 a，現(xiàn)在為了使它們能夠畫在同一平面上，規(guī)定保持 V 面不動， 順次將 H 面繞 X 軸旋轉(zhuǎn)，Vl 面繞 Xl 軸旋轉(zhuǎn)，展開如圖 41(b)所示。 由于點 A 在 V1 面上的新投影 al 是按正投影原理作出的，所以 a1ax1aax,將新投影面展開后，點的換面投影規(guī)律可歸納如下： (1) 點 A 的新投影 al 和不變投影 a 的連線垂直于新投影軸 Xl，即 aa1Xl。 (2) 點 A 的新投影 al 到新投影軸 Xl 的距離等于被更換的舊投影 a到舊投影軸 X 的距離，即 a1ax1a ax

5、。 根據(jù)上述投影關(guān)系，點的新投影作圖步驟如下：如圖 41(c)所示。 (1) 在適當(dāng)位置作新投影軸 X1。 (2) 過不變投影 a 作新投影軸 Xl 的垂線，交 Xl 于 ax1。 (3) 在垂線上量取 a1ax1a ax，則 a1 為點 A 的新投影。 2. 更換 H 面如圖 42(a)所示：V 面保持不變，取一正垂面 Hl 來代替 H 面，Hl 面和 V 面構(gòu)成新投影體系。點 A 在 H1 面上的新投影為 a1，a 為舊投影，a為不變投影。投影面展開后如圖 42(b)所示，42(c)為其投影圖，同樣有 (1) aa1Xl。 (2) a1ax1aax。 (a) (b)(c)圖 42點的一次換

6、面(更換 H 面)綜上，無論更換 V 面還是 H 面，可得點的換面投影規(guī)律： (1) 點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。 (2) 點的新投影到新投影軸的距離等于被更換的舊投影到舊投影軸的距離。 (二) 點的兩次和多次換面 在運用換面法解決實際問題時，有時需在一次換面的基礎(chǔ)上，再次或多次進行換面。圖 4.3 表示兩次換面時，求點的新投影的方法。其原理和更換一次投影面相同，但必須指 出，在更換多次投影面時，新投影面除了必須垂直于不變投影面以外，還必須是在一個投 影面更換完以后，在新的投影面體系中交替地再更換另一個。而且每次更換時， 要分清哪個是不變投影，哪個是舊投影。如圖 43 所示，

7、先由 Vl 面代替 V 面，構(gòu)成新體系 V1/H， 此時 a為舊投影，a為不變投影。再以 V1/H 體系為基礎(chǔ)，取 H2 面代替 H 面， 又構(gòu)成新體系 V1/H2，此時 a 為舊投影，a1 為不變投影，a2為新投影詳細作圖見 43(b) 所示。 (a) (b)圖 4.3點的兩次換面 三 直線和平面的換面 掌握了換面法的基本原理和點的換面投影規(guī)律，直線和平面的換面就容易解決了。 只要把確定直線的兩個點或確定平面的不在同一條直線上的 3 個點用換面法求出新投影， 即可得到直線或平面的新投影。但應(yīng)注意，在作點的換面時，新投影面的位置可以任意取， 而作直線和平面的換面時，必須使直線和平面相對于新投影

8、面處于平行或垂直的特殊位置， 有利于解題。所以，恰當(dāng)?shù)剡x擇新投影面的位置是換面法中一個關(guān)鍵問題。 (一)直線的換面 直線的換面，有下列 3 個基本作圖問題： (a)(b)4圖 44一般位置直線變?yōu)橥队懊?V1 面)平行線 1. 一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€。如圖 44(a) 所示，直線 AB 在 V/H 體系中為一般位置直線，取一鉛垂面 Vl 平行于直線 AB，則 AB 在新投影面體系 V1/H 中成為新投影面 Vl 的平行線。直線 AB 在 V1 面上的投影a1b1 反映線段 AB 的實長，以及 AB 與 H 面的夾角。 作圖步驟：圖 44(b)(1) 作新投影軸 Xl，使 Xlab (2)

9、 過 a、b 分別作 Xl 軸的垂線 (3) 量取 a1ax1aax, b1bx1bbx,，得 a1、b1 (4) 連 a1b1 則 a1b1 反映線段 AB 的實長，a1b1 與 Xl 軸的夾角即為直線 AB 與 H 面的夾角。 如果要求直線 AB 對 V 面的夾角，則應(yīng)該用平行于 AB 的新投影面 Hl 代替 H 面，這樣在新投影面體系 V/H1圖 4.5 一般位置直線變?yōu)橥队懊?H1 面)平行線 10 中，直線 AB 成為 Hl 面的平行線。它在 Hl 面上的投影 a1b1，反映線段 AB 的實長，a1b1 和 Xl 軸的夾角為直線 AB 和 V 面的夾角作圖方法如圖 45 所示 2.

10、投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€如圖 46(a)所示，直線 AB 為水平線，要將該直線變?yōu)橥队懊娲怪本€，可用垂直于 AB 的鉛垂面 V1 代替 V 面，則 AB 為新投影面體系 V1/H 中的垂直線其作圖方法如圖 46(b)所示：先在適當(dāng)位置作 Xl 軸垂直 ab，再求出 al(b1) 如果已知直線為正平線，則需要更換 H 面才能把它變?yōu)榇怪本€，具體作圖方法見圖 4.7 。 (a) (b)圖 46 投影面平行線變?yōu)橥队懊?Vl 面)垂直線 3. 一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€若取新投影面與一般位置直線垂直，則此新投影面既不與 V 面垂直，也不與直線 H 面垂直，違反了新投影面的設(shè)置原則，要解決這個問

11、題，必須更換兩次投影面即先將一般位置直線變?yōu)橥队懊?(H1 面)平行線，然 圖 4.8一般位置直線兩次換面成為投影面垂直線圖 4.7投影面平行線變?yōu)橥队懊?H1)垂直線 后再將投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€，這個問題實際上是上述兩個基本作圖問題的綜合，具體作圖見圖 48。 (二)平面的換面 平面的換面，有下列 3 個基本作圖問題： 1. 一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?。如圖 49(a)所示， ABC 為一般位置平面，為了使它變 為投影面垂直面，只需使屬于該平面的任意一條直線變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本€。由于一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€，必須更換兩次投影面，而投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€只需要更換一次投影面

12、。因此，為了簡化作圖，可以在ABC 平面上任取一條投影面平行線(如水平線 AD)為輔助線，取與它垂直的 Vl 面為新投影面，則ABC 就和新投影面Vl 面垂直，成為投影面垂直面。 作圖步驟：圖 49(b)(1) 在ABC 上任意作一條水平線 AD，作 adX，求出 ad。 (2) 作 Xlad 。 (3) 求出ABC 的新投影 a1blcl。 則 a1blcl 位于一條直線上，為ABC 在 Vl 面上有積聚性的投影，它與 X1 軸的夾角為ABC 對 H 面的傾角。 如果在ABC 內(nèi)作正平線，取新投影面 Hl 與該正平線垂直，則可將一般位置平面 ABC 變?yōu)樾峦队懊?Hl 的垂直面，并得到ABC

13、 對 V 面的傾角，作圖過程與上圖類似，略 (a) (b)圖 49 一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?2. 投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嫒鐖D 410(a)所示，ABC 為鉛垂面，欲將其變?yōu)槠叫忻妫扇∫汇U垂面 Vl 平行ABC，在 V1/H 體系中，ABC 成為 Vl 面的平行面 作圖步驟：圖 410(b) (1) 作 Xlab(c) (2) 求出 a1、b1、c1，則a1b1c1 為ABC 實形 (a) (b)圖 410 投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?如果平面為正垂面，則需更換 H 面才能把它變?yōu)槠叫忻?，作圖方法與圖 410 類似，略 3. 一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嬉獙⒁话阄恢闷矫孀優(yōu)橥队懊?/p>

14、平行面，若直接取新投影面與一般位置平面平行，則新投影面也必是一般位置平面，不符合換面法中新投影面的設(shè)置原則要解決這個問題，必須更換兩次投影面：首先將一般位置平面變 為投影面垂直面，再將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嫫渥鲌D過程如圖 411 所示 圖 411 一般位置平面兩次換面成為 投影面平行面 圖 412 點 K 到直線 AB 的距離及投影. 綜上，換面法中新投影面是不能任意選取的，必須符合以下兩個基本條件： (1) 新投影面必須和空間幾何元素處于有利于解題的位置 (2) 新投影面必須垂直于不變投影面 四換面法解題舉例 例 41 求點 K 到直線 AB 的距離及其在 V/H 中的投影 解法一：

15、分析：欲求點 K 到直線 AB 的距離，只要過 K 點作出 AB 的垂線 KL，然后再求出KL 實長現(xiàn)在 AB 為一般位置直線，可先用換面法將其變?yōu)橥队懊嫫叫芯€，再根據(jù)直角投影定理作出 AB 的垂線即可 作圖步驟：圖 412 所示 (1) 作 Xlab,求出 albl、kl，則 AB 成為 V1/H 體系中的投影面平行線 (2) 過 kl 作 k1l1albl，垂足為 l1，并返回，求得 l、l，連 kl、kl，即為垂線KL 在 V/H 體系中的投影 (3) 作 X2albl，求得 a2、b2、l2、k2，則 AB 成為 V1/H2 體系中的投影面垂直線， 投影積聚為一點。KL 變?yōu)?H2 面

16、平行線，k2l2 反映 KL 實長，即為點 K 到直線 AB 的距離 解法二： 分析：可將直線 AB 和 K 點看成一個一般位置平面，經(jīng)過兩次換面使其成為投影面平行面，它的新投影反映實形，則在該實形中，過 K 作 AB 的垂線，即為所求此法加 以推廣，過點 K 可作與直線 AB 成任意角度的直線，作圖略 例 42 求ABC 和ABD 之間的夾角 分析：當(dāng)兩三角形平面同時垂直某一投影面時，它們在此投影面上的投影分別積聚 成兩條直線，此兩條直線的夾角即為所求為將兩平面同時變?yōu)橥队懊娲怪泵?，只要將它們的交線變?yōu)橥队懊娲怪本€，此題得解 作圖步驟：如圖 413 所示 圖 413 求兩三角形之間的夾角 (

17、1) 作 Xlab，使 AB 成為 V1/H 體系中的投影面平行線，求得a1b1c1，a1b1d1。 (2) 作 X2a1b1，使 AB 成為 V1/H2 體系中的投影面垂直線，求得 a2、b2、c2、d2。 (3) 連 a2（b2）c2、a2（b2）d2，則c2a2d2 為所求ABC 和ABD 之間的夾角。例 43 求點 S 到平面ABC 的距離及垂足在 V/H 體系中的投影。 分析：如圖 414(a)所示，當(dāng)平面變?yōu)橥队懊娲怪泵鏁r，平面在該投影面上的投影積聚為一條直線，反映點至平面距離的垂線 SK 為投影面平行線，它的投影反映實長 作圖步驟：如圖 414(b)所示 (1) 在ABC 內(nèi)作水

18、平線 AD，即作 adX，求 ad。 (2) 作 Xlad，ABC 在 V1/H 體系中成為投影面垂直面，求 a1b1c1 和 s1。 (3) 過 s1 作 a1b1c1 的垂線，垂足為 k1，則 s1k1 反映點 S 到平面的距離。 (4) 因為 SK 平行于 Vl 面，所以 skXl，由 k1 按點的換面投影規(guī)律，可求垂足 K 的投影 k 和 k 例 44 求兩交叉直線 AB 與 EF 的公垂線 分析：如圖 415(a)所示，將兩交叉直線之一變?yōu)橥队懊娲怪本€，如 AB 垂直于 H2面，則它們的公垂線 ST 平行于 H2 面按直角投影定理，ST 在 H2 面上的投影 s2t2 與 EF 在

19、H2 面上的投影 e2f2 垂直，即 s2t2e2f2，由此可確定公垂線 ST 的位置因直線 AB、EF 均為一般位置直線，因此需兩次換面求解 作圖步驟：如圖 415(b)所示。 圖 4.14求點到平面的距離 圖 4.15求兩交叉直線間的公垂線 (1) 作 X1ab，AB 在 V1/H 體系中成為投影面平行線，求 a1b1 和 e1f1 (2) 作 X2a1b1，AB 在 V1/H2 體系中成為投影面垂直線，求 a2(b2)和 e2f2 (3) 自 a2(b2)作 e2f2 的垂線 s2t2，s2t2 即為公垂線在 H2 面上的投影，也是兩直線間最短距離 (4) 過 t2 作 X2 軸垂線交

20、e1f1 于 t1，過 t1 作 X2 軸平行線交 a1b1 于 s1，連 s1t1 (5) 根據(jù)點的換面投影規(guī)律，由 s1、t1 逆返即可求出公垂線的兩面投影 st和 st， ST 即為所求 4.3 旋轉(zhuǎn)法繞投影面垂直軸旋轉(zhuǎn) 旋轉(zhuǎn)法的基本概念 旋轉(zhuǎn)法是投影面保持不動，使空間幾何元素繞某一軸旋轉(zhuǎn)，使它旋轉(zhuǎn)到與投影面處于有利于解題的位置 旋轉(zhuǎn)法分為兩種：一種是繞垂直于投影面的軸旋轉(zhuǎn)，稱為繞垂直軸旋轉(zhuǎn)；另一種是繞平行于投影面的軸旋轉(zhuǎn)，稱為繞平行軸旋轉(zhuǎn)本書僅介紹繞垂直軸旋轉(zhuǎn) 二 點的旋轉(zhuǎn) (a) (b)圖 416 點繞正垂軸旋轉(zhuǎn) 如圖 416(a)所示，空間點 M 繞垂直于 V 面的軸 00 旋轉(zhuǎn)，

21、點 M 的運動軌跡是垂直于軸 OO 的圓(平行于 V 面)，軌跡的正面投影反映實形，是以 o為圓心，om為半徑的圓，其水平投影是過 m 點，且平行于 X 軸的直線，長度等于圓的直徑若點 M 旋轉(zhuǎn)任意角到新位置點 M1 時，則它的正面投影同時由 m旋轉(zhuǎn)角到 m1，其水平投影則沿平行 X 軸的直線由 m 平移到 ml投影作圖如圖 4.16(b)所示圖 417 為空間點 A 繞 (a)(b)11圖 417 點繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn) 垂直于 H 面的軸 OO 旋轉(zhuǎn)，此時點 A 的軌跡是垂直于軸 OO 的圓(平行于 H 面)，軌跡的水平投影反映實形，是以 o 為圓心，oa 為半徑的圓，其正面投影是過點 a且平行于

22、 X 軸的直線，長度等于圓的直徑 綜上所述，可得到點繞垂直軸旋轉(zhuǎn)時的投影規(guī)律：當(dāng)點繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時，點在該投影面上的投影，作以軸的投影為圓心和以旋轉(zhuǎn)半徑為半徑的圓周運動； 而在另一投影面上的投影，則作直線運動，且該直線平行于投影軸 三 直線和平面的旋轉(zhuǎn)規(guī)律 1. 旋轉(zhuǎn)必須遵循“三同”原則直線可以由其上任意兩點來確定，平面可以由其上任意不在同一條直線上的三個點來確定為了保證旋轉(zhuǎn)時它們之間的相對位置不發(fā)生變化，就必須遵循“三同”原則：繞同一根軸，向同一方向和旋轉(zhuǎn)同一角度，如圖 418 和圖 419 所示 圖 418 直線的旋轉(zhuǎn)圖 4.19平面的旋轉(zhuǎn) 13 2. 幾何元素在軸所垂直的投影

23、面上的投影，旋轉(zhuǎn)前后形狀和大小不變?nèi)鐖D 4.20 所示，直線 AB 繞過 A 點的垂直軸旋轉(zhuǎn)，其軌跡為一圓錐面，AB 旋轉(zhuǎn)到任意位置時，它與 H 面的夾角是不變的因此，它的水平投影是相等的，即 ab=ab1。 平面與投影面的夾角是由平面上相對該投影面的最大斜度線與投影面的夾角來度量的，因為最大斜度線繞垂直于投影面的軸旋轉(zhuǎn)時，它與該投影面的夾角是不變的，因此平面與該投影面的夾角也是不變 的，所以平面圖形在該投影面上的投影， 圖 4.20旋轉(zhuǎn)軸通過端點 A 形狀和大小也是不變的 綜上所述：當(dāng)直線或平面圖形繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時，它們與該投影面的夾角不變，因此它們在該投影面上的投影，形狀和大小

24、不變 四 直線旋轉(zhuǎn)的三個基本問題 1. 一般位置直線旋轉(zhuǎn)為投影面平行線如圖 421(a)所示，AB 為一般位置直線， 欲將其旋轉(zhuǎn)成正平線，必須繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)才可達到具體作圖時，如圖 421(b)，可取鉛垂軸 OO 通過 A 點，這樣旋轉(zhuǎn)時，A 點不動，只有 B 點旋轉(zhuǎn)，可簡化作圖要將 AB 旋轉(zhuǎn)成正平線，只要使其水平投影 ab 繞鉛垂軸 OO 旋轉(zhuǎn)到與 X 軸平行，成為 ab1，再求出 ab1 即可此時，ab1 反映 AB 實長，ab1 與 X 軸的夾角，即為 AB 與 H 面的傾角 若 AB 要成為水平線，則必須繞正垂軸旋轉(zhuǎn)，具體作圖見 422 (a) (b)圖 4.21直線繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn) 2.

25、 投影面平行線旋轉(zhuǎn)為投影面垂直 線如圖 423(a)所示，AB 為正平線，欲將其變?yōu)橥队懊娲怪本€，必須繞正垂軸旋轉(zhuǎn)，使其成為鉛垂線，作圖方法如圖 423(b)所示而如果是水平線，則應(yīng)繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)，使其成為正垂線，如圖 424 所示 3. 一般位置直線旋轉(zhuǎn)為投影面垂直 線一般位置直線旋轉(zhuǎn)一次不能成為投影面垂直線，而必須繞不同的軸旋轉(zhuǎn)兩次，如圖 425所示一般位置直線 AB 繞正垂軸旋轉(zhuǎn)成水平線AlB，再將水平線 AlB 繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)成正垂線AlB2 五 平面旋轉(zhuǎn)的三個基本問題 圖 4. 22 直線繞正垂軸旋轉(zhuǎn) 14(a) (b)圖 4.23正平線繞正垂軸旋轉(zhuǎn) 圖 4.24水平線繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)圖 4

26、.25一般位置直線旋轉(zhuǎn)為正垂線 18 1. 一般位置平面旋轉(zhuǎn)為投影面垂直 面要將一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面垂直面， 只要將平面內(nèi)任意一條直線旋轉(zhuǎn)成投影面垂直線即可為了簡化作圖，可如圖 426 所示，在ABC 內(nèi)作一條水平線 AN 為輔助線， 將水平線 AN 同ABC 一起旋轉(zhuǎn)，使 AN 成為正垂線(an1X)，則ABC 就成為正垂面， b1a1c1 與 X 軸的夾角，即為ABC 與 H 面的夾角 繞垂直軸旋轉(zhuǎn)的作圖，因所選的軸常常通過某幾何元素，使旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形很靠近，甚至部分重疊，看起來比較雜亂為了使圖形排列整齊、清晰和作圖簡便，可以采用不指明軸旋轉(zhuǎn)法根據(jù)前面所述的直線和 平面旋轉(zhuǎn)規(guī)律 2：直線或平面圖形繞垂直軸旋 圖 4.26 平面的旋轉(zhuǎn) 圖 427 不指明軸旋轉(zhuǎn)法圖 4.28確定旋轉(zhuǎn)軸 轉(zhuǎn)時，在軸所垂直的投影面上的投影，形狀和大小不變所以可以將圖 426 畫成圖 427 的形式，只要保證 a1n1X 和a1b1c1abc，則ABC 就旋轉(zhuǎn)成正垂面實際上這種作圖還是繞某一鉛垂