1、選修45不等式選講,-2-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,1.絕對(duì)值三角不等式 (1)定理1:若a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立; (2)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是實(shí)數(shù),則|a-c|,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立.,|a|+|b|,ab0,|a-b|+|b-c|,(a-b)(b-c)0,-3-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,2.絕對(duì)值不等式的解法 (1)含絕對(duì)值的不等式|x|a(a0)的解法 |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c; |ax+b|c. (3)|x-a|+|x-b|c(c

2、0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法 利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想; 利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想; 通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程及數(shù)形結(jié)合的思想.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,-4-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,2ab,-5-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,4.柯西不等式 (1)若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立. (3)柯西不等式的向量形式:設(shè),是兩個(gè)向量,則|,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在實(shí)數(shù)k,使=k時(shí),等號(hào)成

3、立.,-6-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,5.不等式證明的方法 證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法等.,2,-7-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)對(duì)|a-b|a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立.() (2)|a+b|+|a-b|2a|.() (3)|x-a|+|x-b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a,b的距離之和. () (4)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時(shí)假設(shè)為“a,b,c全不為0”. () (5)若m=a+2b,n=a+b2+1,則nm.(),答案,-8-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,A.

4、2a3B.1a2 C.1a3D.1a4,答案,解析,-9-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,答案,解析,-10-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,答案,解析,-11-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,5.已知x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,則x+y的取值范圍為.,答案,解析,-12-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,例1已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a. (1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)6的解集; (2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.當(dāng)xR時(shí),f(x)+g(x)3,求a的取值范圍. 思考絕對(duì)值不等式的常見解法有哪些?,-13-,考點(diǎn)1,

5、考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,解 (1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+26得-1x3. 因此f(x)6的解集為x|-1x3. (2)當(dāng)xR時(shí), f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x| |2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 當(dāng)x= 時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)xR時(shí),f(x)+g(x)3等價(jià)于|1-a|+a3. (分類討論) 當(dāng)a1時(shí),等價(jià)于1-a+a3,無解. 當(dāng)a1時(shí),等價(jià)于a-1+a3,解得a2. 所以a的取值范圍是2,+).,-14-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,解題心得絕對(duì)值不等式的常見解法有: (1)解絕對(duì)值不等式主要是通過同

6、解變形去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)進(jìn)行求解. (2)含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式,一般可用零點(diǎn)分段法分類討論求解. (3)對(duì)于形如|x-a|+|x-b|m或|x-a|+|x-b|a的解集,可以作出函數(shù)f(x)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合法求解.,-15-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在圖中畫出y=f(x)的圖象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,-16-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-17-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-18-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5

7、,(1)證明:f(x)2; (2)若f(3)5,求a的取值范圍. 思考如何求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值?,-19-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-20-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,解題心得求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值,利用絕對(duì)值三角不等式最方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函數(shù)只有最小值,形如y=|x-a|-|x-b|的函數(shù)既有最大值又有最小值.,-21-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2016遼寧沈陽三模)已知函數(shù)f(x)=|ax+1|,aR. (1)若xR,f(x)+

8、f(x-2)1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;,解 (1)由題意可得f(x)+f(x-2) =|ax+1|+|a(x-2)+1|=|ax+1|+|2a-ax-1| |ax+1+2a-ax-1|=|2a|,-22-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-23-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,例3已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0. (1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)1的解集; (2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍. 思考求解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題的常用基本方法是什么?,-24-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-25-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)

9、2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,解題心得求解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題,常用的基本方法是根據(jù)絕對(duì)值的定義,分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后數(shù)形結(jié)合解決.,-26-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-27-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-28-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,(1)求M; (2)證明:當(dāng)a,bM時(shí),|a+b|1+ab|. 思考證明不等式常用的方法有哪些?,-29-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-30-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,(2)由(1)知,當(dāng)a,bM時(shí),-1a1,-1b1, 從而(a+b)2-(1+ab)2=a2

10、+b2-a2b2-1 =(a2-1)(1-b2)0. 因此|a+b|1+ab|.,-31-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,解題心得證明不等式常用的方法: (1)比較法證明不等式,比較法又包含作差比較法和作商比較法. (2)用分析法證明不等式,使用分析法證明的關(guān)鍵是尋找推理的每一步的充分條件. (3)用綜合法證明不等式,在用綜合法證明不等式時(shí),常用到不等式的性質(zhì)和基本不等式等.,-32-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2016山西太原三模)已知函數(shù)f(x)=|x-1|. (1)解不等式f(x-1)+f(x+3)6;,(1)解 f(x)=|x-1|,f(x-1)+f

11、(x+3)6等價(jià)于|x-2|+|x+2|6. 當(dāng)x2時(shí),不等式等價(jià)于x-2+x+26,即2x6,解得x3; 當(dāng)-2x2時(shí),不等式等價(jià)于2-x+x+26,即46,此時(shí)不成立. 當(dāng)x-2時(shí),不等式等價(jià)于2-x-x-26,即2x-6,即x-3. 綜上可知原不等式的解集為(-,-33,+).,-33-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,只需證(ab-1)2-(b-a)2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)0, 因?yàn)閨a|0成立, 從而原不等式成立.,-34-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,例5已知a0,b0,c0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4. (1)求a+b+c的值; 思考如何利用柯西不等式證明不等式或求最值?,解 (1)因?yàn)閒(x)=|x+a|+|x-b|+c |(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c, 當(dāng)且僅當(dāng)-axb時(shí),等號(hào)成立. 又a0,b0,所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值為a+b+c. 又已知f(x)的最小值為4,所以a+b+c=4.,-35-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,-36-,考