1、平面向量中的三角形“四心”問題在三角形中，“四心”是一組特殊的點(diǎn)，它們的向量表達(dá)形式具有許多重要的性質(zhì)，在近年高考試題中，總會出現(xiàn)一些新穎別致的問題，不僅考查了向量等知識點(diǎn)，而且培養(yǎng)了考生分析問題、解決問題的能力現(xiàn)就“四心”作如下介紹：1“四心”的概念與性質(zhì)(1)重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫重心它到三角形頂點(diǎn)距離與該點(diǎn)到對邊中點(diǎn)距離之比為21.在向量表達(dá)形式中，設(shè)點(diǎn)G是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)G是ABC的重心時，有0或()(其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn))反之，若0，則點(diǎn)G是ABC的重心在向量的坐標(biāo)表示中，若G，A，B，C分別是三角形的重心和三個頂點(diǎn)，且分別為G(x，y)，A(x1，y1)，B(

2、x2，y2)，C(x3，y3)，則有x，y.(2)垂心：三角形三條高線的交點(diǎn)叫垂心它與頂點(diǎn)的連線垂直于對邊在向量表達(dá)形式中，若H是ABC的垂心，則或222222.反之，若，則H是ABC的垂心(3)內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)心內(nèi)心就是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到三角形三邊的距離相等在向量表達(dá)形式中，若點(diǎn)I是ABC的內(nèi)心，則有|0.反之，若|0，則點(diǎn)I是ABC的內(nèi)心(4)外心：三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)叫外心外心就是三角形外接圓的圓心，它到三角形的三個頂點(diǎn)的距離相等在向量表達(dá)形式中，若點(diǎn)O是ABC的外心，則()()()0或|.反之，若|，則點(diǎn)O是ABC的外心2關(guān)于“四心”的典型例題例1已知O

3、是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個動點(diǎn)，若動點(diǎn)P滿足()，(0，)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的_心解析由原等式，得()，即()，根據(jù)平行四邊形法則，知是ABC的中線所對應(yīng)向量的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過ABC的重心答案重點(diǎn)評探求動點(diǎn)軌跡經(jīng)過某點(diǎn)，只要確定其軌跡與三角形中的哪些特殊線段所在直線重合，這可從已知等式出發(fā)，利用向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算得之例2已知ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系230，試求SBOCSCOASAOB 之值解延長OB至B1，使BB1OB，延長OC至C1，使CC12OC，連接AB1，AC1，B1C1，如圖所示，則2，3，由條件，得0，所以點(diǎn)O是AB1C1的重心從而SB

4、1OC1SC1OASAOB1S，其中S表示AB1C1的面積，所以SCOAS，SAOBS，SBOCSB1OCSB1OC1S.于是SBOCSCOASAOB123.點(diǎn)評本題條件230與三角形的重心性質(zhì)0十分類似，因此我們通過添加輔助線，構(gòu)造一個三角形，使點(diǎn)O成為輔助三角形的重心，而三角形的重心與頂點(diǎn)的連線將三角形的面積三等分，從而可求三部分的面積比引申推廣已知ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系1230，則SBOCSCOASAOB123.例3求證：ABC的垂心H、重心G、外心O三點(diǎn)共線，且|HG|2|GO|.證明對于ABC的重心G，易知，對于ABC的垂心H，設(shè)m()，則m()(m1) mm.由0，得(m1) mm

5、()0，(m1) ()m(22)0，因?yàn)閨，所以(m1) ()0.但與不一定垂直，所以只有當(dāng)m1時，上式恒成立所以，從而，得垂心H、重心G、外心O三點(diǎn)共線，且|2|.引申推廣重心G與垂心H的關(guān)系：()點(diǎn)評這是著名的歐拉線，提示了三角形的“四心”之間的關(guān)系我們選擇恰當(dāng)?shù)幕紫蛄縼肀硎舅鼈儯?dāng)然最佳的向量是含頂點(diǎn)A、B、C的向量例4設(shè)A1，A2，A3，A4，A5 是平面內(nèi)給定的5個不同點(diǎn)，則使0成立的點(diǎn)M的個數(shù)為()A0B1C5D10解析根據(jù)三角形中的“四心”知識，可知在ABC中滿足0的點(diǎn)只有重心一點(diǎn)，利用類比的數(shù)學(xué)思想，可知滿足本題條件的點(diǎn)也只有1個答案B點(diǎn)評本題以向量為載體，考查了類比與化歸，歸納與猜想等數(shù)學(xué)思想本題的詳細(xì)解答過程如下：對于空間兩點(diǎn)A，B來說，滿足0的點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)；對于空間三點(diǎn)A，B，C來說，滿足0，可認(rèn)為是先取AB的中點(diǎn)G，再連接CG，在CG上取點(diǎn)M，使MC2MG，則M滿足條件，且唯一；對于空間四點(diǎn)A，B，C，D來說，滿足0，可先取ABC的重心G，再連接GD，在GD上取點(diǎn)M，使DM3MG，則M滿足條件，且