1、1.4全稱量詞與存在量詞 1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞,【自主預(yù)習(xí)】 1.全稱量詞與全稱命題 (1)全稱量詞:在指定范圍內(nèi),表示整體或全部的含義的 短語,如“_”“_”,符號:_. (2)全稱命題:含有_的命題叫做全稱命題.符 號表示:_.,所有的,任意一個,全稱量詞,xM,p(x),2.存在量詞與特稱命題 (1)存在量詞:表示個別或一部分的含義的短語,如 “_”“_”.符號:_. (2)特稱命題:含有_的命題叫做特稱命題.符 號表示:_.,存在一個,至少有一個,存在量詞,x0M,p(x0),【即時小測】 1.下列命題中,不是全稱命題的是() A.任何一個實數(shù)乘以0都等于0 B.自然數(shù)

2、都是正整數(shù) C.每一個向量都有大小 D.一定存在沒有最大值的二次函數(shù) 【解析】選D.A,B,C都是全稱命題,D是特稱命題.,2.下列命題中的假命題是() A.存在實數(shù)和,使cos(+)=coscos+ sinsin B.不存在無窮多個和,使cos(+)=coscos+ sinsin,C.對任意和,有cos(+)=coscos-sinsin D.不存在這樣的和,使cos(+)coscos-sinsin,【解析】選B.如=k(kZ)時,cos(+)= coscos+sinsin,故B為假命題,其余為真命題.,3.對任意x3,xa恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是_. 【解析】對任意x3,xa恒成立,即大

3、于3的數(shù)恒大于a,所以a3. 答案:(-,3,4.已知命題:“存在x01,2,使x02+2x0+a0”為真命題,則a的取值范圍是_. 【解析】要使命題為真命題,則22+22+a0,即a-8. 答案:-8,+),【知識探究】 探究點全稱量詞(全稱命題)與存在量詞(特稱命題)的理解 1.你能說出一些常用的全稱量詞和存在量詞嗎? 提示:全稱量詞:一切、任意、任給、每一個、都是(有)、全體、全部、,存在量詞:有一個、有一些、有的、對某個、不都是、個別的、部分、.,2.全稱命題xM,p(x)為真的含義是什么? 提示:對M中的每一個個體x,都具有或滿足性質(zhì)p(x),毫無例外. 3.特稱命題x0M,p(x0

4、)為真的含義是什么? 提示:在M的個體中,至少有一個x0具有或滿足性質(zhì)p(x0),而不是所有的個體都不具有性質(zhì)p(x).,【歸納總結(jié)】 1.理解全稱命題及特稱命題時應(yīng)關(guān)注的三點 (1)全稱命題就是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題,常見的全稱量詞還有“一切”“每一個”等,相應(yīng)的詞語是“都”.,(2)有些命題省去了全稱量詞,但仍是全稱命題,如“有理數(shù)是實數(shù)”,就是“所有的有理數(shù)都是實數(shù)”. (3)特稱命題就是陳述某集合中存在一個或部分元素具有某種性質(zhì)的命題,常見的存在量詞還有“存在”等.,2.全稱命題與特稱命題的區(qū)別 (1)全稱命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)所有對象都具有某一性質(zhì),無一例外

5、,強調(diào)“整體、全部”. (2)特稱命題中的存在量詞則表明給定范圍內(nèi)的對象有例外,強調(diào)“個別、部分”.,易錯警示:通過舉例驗證的方式判斷全稱命題為真易犯以偏概全的錯誤.,類型一全稱命題與特稱命題的判定 【典例】1.下列語句不是特稱命題的是() A.有的無理數(shù)的平方是有理數(shù) B.有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù) C.對于任意xZ,2x+1是奇數(shù) D.存在x0R,2x0+1是奇數(shù),2.判斷下列語句是全稱命題,還是特稱命題: (1)凸多邊形的外角和等于360. (2)有些實數(shù)a,b能使|a-b|=|a|+|b|. (3)對任意a,bR,若ab,則 (4)有一個函數(shù),既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).,【解題探究】 1

6、.典例1中特稱命題的特征是什么? 提示:含有存在量詞,如:有的,有些等. 2.典例2中判斷一個命題是全稱命題,還是特稱命題的關(guān)鍵是什么? 提示:關(guān)鍵是分清量詞類型,若沒有量詞可根據(jù)命題的意義將量詞補上.,【解析】1.選C.因為“有的”“存在”為存在量詞,“任意”為全稱量詞,所以選項A,B,D均為特稱命題,選項C為全稱命題.,2.(1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360”,是全稱命題. (2)含有存在量詞“有些”,故是特稱命題. (3)含有全稱量詞“任意”,故是全稱命題. (4)含有存在量詞“有一個”,是特稱命題. 【延伸探究】把本例1中的各個選項用符號,表示:,【解析】A:x0無理數(shù)

7、,x02Q. B:x0無理數(shù), x02Q. C:xZ,2x+1是奇數(shù). D:x0R,2x0+1是奇數(shù).,【方法技巧】判斷一個語句是全稱命題還是特稱命題的步驟 (1)判斷語句是否為命題,若不是命題,就當(dāng)然不是全稱命題或特稱命題. (2)若是命題,再分析命題中所含的量詞,含有全稱量詞的命題是全稱命題,含有存在量詞的命題是特稱命題.,(3)當(dāng)命題中不含量詞時,要注意理解命題含義的實質(zhì). 特別提醒:全稱命題可能省略全稱量詞,特稱命題的存在量詞一般不能省略.,【拓展延伸】全稱命題、特稱命題不同表述形式的應(yīng)用,【變式訓(xùn)練】設(shè)非空集合P,Q滿足PQ,則表述正確的是() A.xQ,有xP B.xP,有xQ C

8、.x0Q,使得x0P D.x0P,使得x0Q 【解析】選B.因為PQ,則由子集的定義,P集合中的任何一個元素都在Q中,所以選B.,類型二全稱命題與特稱命題的真假判斷 【典例】1.(2016新鄉(xiāng)高二檢測)有下列四個命題: xR,2x2-3x+40;x1,-1,0,2x+10; x0N,x02x0;x0N*,x0為29的約數(shù).其中真命題的個數(shù)為() A.1 B.2 C.3 D.4,2.(2016太原高二檢測)已知命題p:x0,x+ 4; 命題q:x0(0,+), 則下列判斷正確的是 () A.p是假命題 B.q是真命題 C.p(q)是真命題 D.(p)q是真命題,【解題探究】1.全稱命題和特稱命題

9、為真的含義是什么? 提示:全稱命題為真必須所給范圍內(nèi)每一個元素都滿足后面的性質(zhì),特稱命題為真必須至少一個元素滿足后面的性質(zhì).,2.基本不等式的內(nèi)容和指數(shù)函數(shù)的定義域是什么? 提示:基本不等式:a,bR+時, ,指數(shù)函數(shù)的定義域為R.,【解析】1.選C.對于,這是全稱命題,因為=(-3)2-4240恒成立,故為真命題;對于,這是全稱命題,因為當(dāng)x=-1時,2x+10不成立,故為假命題;對于,這是特稱命題,當(dāng)x0=0或x0=1時,有x02x0成立,故為真命題;對于,這是特稱命題,當(dāng)x0=1時,x0為29的約數(shù)成立,所以為真命題.,2.選C.由基本不等式知命題p正確;由 知,x0=-1,故命題q不正

10、確;結(jié)合邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義可知應(yīng)選C.,【延伸探究】 1.本例2中命題p改為xR(x0),x+ 4,判斷其真假. 【解析】當(dāng)xR(x0)時,x+ (-,-44,+),故命題為假命題.,2.本例2中命題q改為x(0,+),2x ,判斷其真假. 【解析】當(dāng)x(0,+)時,2x1 恒成立,所以命題為真命題.,【方法技巧】全稱命題與特稱命題的真假判斷的技巧 (1)全稱命題的真假判斷: 要判定一個全稱命題是真命題,必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立;但要判定全稱命題是假命題,卻只要能舉出集合M中的一個x=x0,使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”).,(2)特稱命題的真假

11、判斷: 要判定一個特稱命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個x=x0,使p(x0)成立即可;否則,這一特稱命題就是假命題. 特別提醒:判斷全稱命題為假比判斷其為真容易,只需一個反例即可;判斷特稱命題為真比判斷其為假容易,只需一個特例.,【補償訓(xùn)練】1.下列命題的否定為假命題的是() A.xR,-x2+x-1x C.x,yZ,2x-5y12 D.x0R,sin2x0+sinx0+1=0,【解析】選A.命題的否定為假命題亦即原命題為真命題,只有選項A中的命題為真命題,其余均為假命題.,2.下列命題中是真命題且為特稱命題的是() A.棱柱是多面體 B.對任意R,函數(shù)f(x)=sin(2x+)都不

12、是偶函數(shù) C.對任意實數(shù)x,有cosx1 D.至少有一條直線過點(2,0)且與圓x2+y2=1相交,【解析】選D.A省略了全稱量詞“所有的”是全稱命題;B,C中命題都是全稱命題.,類型三全稱命題與特稱命題的應(yīng)用 【典例】1.(2016雅安高二檢測)若命題“x0R使 得x02+mx0+2m+50”為假命題,則實數(shù)m的取值范圍是 () A.-10,6 B.(-6,2 C.-2,10 D.(-2,10),2.(2015山東高考)若“x ,tanxm”是真命題,則實數(shù)m的最小值為_.,【解題探究】1.典例1中二次不等式解集非空時,判別式應(yīng)滿足什么條件? 提示:大于0. 2.典例2中正切函數(shù)在 上的單調(diào)

13、性是怎樣的? 提示:增函數(shù).,【解析】1.選C.命題“x0R, x02+mx0+2m+50,解得m10,所以當(dāng)命題為假時,m的取值范圍是-2,10.,2.若“x ,tanxm”是真命題,則m大于或等于函數(shù)y=tanx在 上的最大值. 因為函數(shù)y=tanx在 上為增函數(shù),所以,函數(shù)y=tanx在 上的最大值為1. 所以,m1,即實數(shù)m的最小值為1. 答案:1,【方法技巧】應(yīng)用全稱命題與特稱命題求參數(shù)范圍的兩類題型 (1)全稱命題的常見題型是“恒成立”問題,全稱命題為真時,意味著命題對應(yīng)的集合中的每一個元素都具有某種性質(zhì),所以利用代入可以體現(xiàn)集合中相應(yīng)元素的具體性質(zhì);也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識來解決

14、.,(2)特稱命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述.解答這類問題,一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè),然后從肯定的假設(shè)出發(fā),結(jié)合已知條件進行推理證明,若推出合理的結(jié)論,則存在性隨之解決;若導(dǎo)致矛盾,則否定了假設(shè).,【變式訓(xùn)練】若xR,f(x)=(a2-1)x是單調(diào)減函數(shù),則a的取值范圍是_. 【解析】依題意有: 0a2-11 - a-1或1a . 答案:(- ,-1)(1, ),【補償訓(xùn)練】若xR,函數(shù)f(x)=mx2+x-m-a的圖象和x軸恒有公共點,求實數(shù)a的取值范圍.,【解析】(1)當(dāng)m=0時,f(x)=x-a與x軸恒相交,所以aR. (2)當(dāng)m0時

15、,二次函數(shù)f(x)=mx2+x-m-a的圖象和x軸恒有公共點的充要條件是=1+4m(m+a)0恒成立,即4m2+4am+10恒成立. 又4m2+4am+10是一個關(guān)于m的二次不等式,恒成立的充要條件是=(4a)2-160,解得-1a1. 綜上所述,當(dāng)m=0時,aR;當(dāng)m0時,a-1,1.,自我糾錯全稱命題與特稱命題的應(yīng)用 【典例】f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),x1-1, 2,x0-1,2,使f(x1)=g(x0),則a的取值范圍 是( ) A. B. C.3,+) D.(0,3),【失誤案例】,分析解題過程,找出錯誤之處,并寫出正確答案. 提示:錯誤的根本原因是對“x1-1,2,x0 -1,2,使f(x1)