1、1.1.3 四種命題間的相互關系,【閱讀教材】 根據(jù)下面的知識結構閱讀教材，并識記四種命題間的相互關系及真假關系，并會將命題等價轉化.,【知識鏈接】 1.四種命題：原命題、逆命題、否命題、逆否命題. 2.判斷命題真假的方法：根據(jù)已學過的數(shù)學知識，直接判斷或推證或取特值否定.,主題一：四種命題之間的相互關系 【自主認知】 1.觀察下面四個命題，命題(1)與命題(2)(3)(4)的條件和結論之間分別有什么關系？ (1)若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù). (2)若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù). (3)若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù). (4)若f(x)不是周期函數(shù)

2、，則f(x)不是正弦函數(shù).,提示：命題(1)的條件是命題(2)的結論，且命題(1)的結論是命題(2)的條件，對于命題(1)和(3)，其中一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定；對于命題(1)和(4)，其中一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論的否定和條件的否定.,2.通過問題1中的探究，你發(fā)現(xiàn)其中任意兩個命題之間的相互關系嗎？你能用數(shù)學語言描述出來嗎？ 提示：命題(2)(3)是互為逆否命題，命題(2)(4)是互否命題，命題(3)(4)是互逆命題.,根據(jù)以上探究過程，試著寫出四種命題之間的相互關系：,若q,則p,若p,則q,若q,則p,【合作探究】 1.判斷兩個命題之間

3、的關系關鍵看命題的條件與結論的哪方面？ 提示：判斷兩個命題之間的關系關鍵看兩個命題的條件和結論之間是否互換了，是否都否定了. 2.一個命題的逆命題與否命題是等價命題嗎？ 提示：可以通過命題的結構形式，即它的條件和結論分析，逆命題與否命題是互為逆否命題，故逆命題與否命題是等價的.,3.在四種命題中，原命題是固定的嗎？ 提示：不固定，是相對而言的.,【過關小練】 1.命題p：“若m0，則x2+x-m=0有實根”，與命題q：“若x2+x-m=0沒有實根，則m0”的關系是() A.互逆 B.互否 C.互為逆否 D.互否或互為逆否 【解析】選C.因q的條件為p的結論的否定，而結論為p的條件的否定.,2.

4、命題p：“若x2+y2=0，則x，y全為零”，與命題q：“若x2+y20，則x，y不全為零”的關系是_. 【解析】由四種命題之間的關系知為互否命題. 答案：互否命題,主題二：四種命題的真假性及等價關系 【自主認知】 1.主題一自主認知1中的四個命題，它們的真假性如何？ 提示：命題(1)為真命題，(2)是假命題，(3)是假命題，(4)是真命題.,2.若命題(1)為原命題，你發(fā)現(xiàn)哪兩個命題的真假性相同？這種關系是否對任意的有這種關系的兩個命題都成立？ 提示：原命題與逆否命題，逆命題與否命題，真假性相同.且這種關系對任意兩個互為逆否的命題都成立.,根據(jù)以上探究過程，試著寫出四種命題真假性之間的關系：

5、 1.兩個命題互為逆否命題，它們有_的真假性. 2.兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系.,相同,【合作探究】 1.在四種命題中，真命題的個數(shù)可能有幾個？ 提示：因為原命題與逆否命題、逆命題與否命題均互為逆否命題，它們同真或同假，所以真命題的個數(shù)可能是0，2或4. 2.當判斷一個命題的真假比較困難時可否利用其逆否命題的真假判斷？ 提示：因為原命題與逆否命題總是具有相同的真假性，所以當判斷一個命題的真假比較困難時，可以利用它與逆否命題的等價性來證明.,【拓展延伸】等價命題的證法與反證法的區(qū)別 運用逆否命題的證法實質是把命題等價轉化，而反證法是先假設結論不成立，接著推出矛盾，從而得出

6、假設不成立.,【過關小練】 1.命題“若p不正確，則q不正確”的逆命題的等價命題是() A.若q正確，則p不正確 B.若q不正確，則p正確 C.若p正確，則q不正確 D.若p正確，則q正確 【解析】選D.與逆命題等價的是否命題，否命題是若p正確，則q正確.,2.已知命題p：“若|a|=|b|，則a=b”，則命題p及其逆命題、否命題、逆否命題中，正確命題的個數(shù)是() A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 【解析】選B.因為a=-b時，|a|=|b|，則命題p為假命題，命題p的逆命題為：若a=b，則|a|=|b|，為真命題； 又因為命題的逆命題與否命題互為逆否命題，原命題與其逆否命題互為逆否命題

7、，故真命題的個數(shù)是2個.,【歸納總結】 1.對四種命題間關系的說明 對于兩個命題的條件和結論之間的關系，若“只換位不換質”，則兩者之間就是“互逆命題”；若“只換質不換位”，則兩者之間就是“互否命題”；若“既換位又換質”，則兩者之間就是“互為逆否命題”.,2.等價命題的兩個關注點 (1)當兩個命題互為逆否命題時，這兩個命題是等價命題. (2)由于原命題與其逆否命題，原命題的逆命題與原命題的否命題是互為逆否關系，所以原命題與其逆否命題是等價命題，原命題的逆命題與原命題的否命題是等價命題.,類型一：四種命題之間的相互關系 【典例1】(1)命題“若函數(shù)y=f(x)是冪函數(shù)，則它的圖象不過第四象限”與命

8、題“若函數(shù)y=f(x)不是冪函數(shù)，則它的圖象過第四象限”的關系是_. (2)命題“等底等高的兩個三角形是全等三角形”與命題“全等三角形是等底等高的兩個三角形”的關系是_. (3)命題“若ab，則c-2ac-2b”與命題“若c-2ac-2b，則ab”的關系是_.,【解題指南】解答本題先要分清涉及兩個命題的條件和結論，再比較兩個命題的條件和結論之間的關系，進而得到兩個命題間的相互關系. 【解析】(1)已知兩命題的條件和結論分別互否，故它們是互否關系. (2)已知兩命題的條件和結論正好互換，故它們是互逆關系. (3)已知兩命題的條件和結論分別互否且正好交換，故它們是互為逆否關系. 答案：(1)互否關

9、系(2)互逆關系(3)互為逆否關系,【規(guī)律總結】判斷四種命題關系的兩個要領 (1)分清條件與結論.在判斷四種命題之間的關系時，首先要分清命題的條件和結論，再比較每個命題的條件和結論之間的關系. (2)兩個互為逆否命題.原命題與逆否命題互為逆否命題，逆命題與否命題也互為逆否命題.,【鞏固訓練】下列說法中，不正確的是() A.“若p，則q”與“若q，則p”互為逆命題 B.“若p，則q”與“若q，則p”互為逆否命題 C.“若p，則q”是“若p，則q”的逆否命題 D.“若p，則q”與“若p，則q”互為否命題 【解析】選C.A正確，滿足互逆命題的概念；B正確，滿足互為逆否命題的概念；D正確，滿足互否命題

10、的概念，只有C是錯誤的，應是否命題，而不是逆否命題.,【補償訓練】下列說法錯誤的是_. “四條邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四條邊相等的四邊形不是正方形”； “若x2=9，則x=3”的否命題的逆否命題是“若x29，則x3”； “若ab，則7a7b”的逆否命題是“若7a7b，則ab”. 【解題指南】從條件和結論的關系上進行分析判斷.,【解析】“四條邊相等的四邊形是正方形”的否命題應為：“四條邊不相等的四邊形不是正方形”，說法錯誤；“若x2=9，則x=3”的否命題的逆否命題應為：“若x=3，則x2=9”，說法錯誤；正確. 答案：,類型二：四種命題的真假性 【典例2】(2014陜西高考)原命題

11、為“若 nN*，則an為遞減數(shù)列”，關于逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是( ) A.真、真、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假,【解題指南】因為原命題和其逆否命題同真假，逆命題和否命題同真假，所以只要判斷原命題和它的逆命題的真假即可. 【解析】選A.由已知條件可以判斷原命題為真，所以它的逆否命題也為真；而它的逆命題為真，所以它的否命題亦為真.,【延伸探究】若把本例中“若 a2a3”，其他條件不變，則結果如何？ 【解析】由已知條件可以判斷原命題為真，所以它的逆否命題也為真，而它的逆命題為真，所以它的否命題亦為真.,【規(guī)律總結】判斷四種命題真假的兩種方法 (1

12、)直接判斷：利用命題真假判斷的方法判斷. (2)等價轉化：由于互為逆否命題的真假具有等價性，因而在判斷四種命題的真假時，可以轉化為先判斷原命題和逆(否)命題的真假，再利用互為逆否命題的真假具有等價性即可完成.,【鞏固訓練】已知命題p：若a0，則方程ax2+2x=0有解，則其原命題、否命題、逆命題及逆否命題中真命題的個數(shù)() A.4 B.2 C.1 D.0 【解析】選B.易知原命題和逆否命題都是真命題，否命題和逆命題都是假命題.,【補償訓練】命題“已知a，b為正實數(shù)，若 則ab”與它的 逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)是() A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】選D.互為逆

13、否的命題同真假，原命題是真命題，故其逆否命 題也為真，逆命題為“已知a，b為正實數(shù)，若ab，則 ”， 這個命題是真命題，故否命題也為真，從而有4個是真命題.,類型三：等價命題的確定及應用 【典例3】判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集，則a2”的逆否命題的真假. 【解題指南】利用原命題與逆否命題的真假性相同判斷.,【解析】方法一：原命題的逆否命題為“已知a，x為實數(shù)，若a2，則關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集不是空集”. 判斷真假如下： 拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2的開口向上，判別式=(2a+1)2-4(a2+

14、2) =4a-7， 因為a2，所以4a-70， 即拋物線與x軸有交點，所以關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集不是空集，故原命題的逆否命題為真.,方法二：先判斷原命題的真假如下： 因為a，x為實數(shù)，關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集為空集， 所以=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70. 所以a 2. 所以原命題是真命題. 因為互為逆否命題的兩個命題同真同假，所以原命題的逆否命題為真命題.,【延伸探究】 1.(改變問法)判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集，則a2”的逆命題的真假.,【解析】原命題的逆命題

15、為“已知a，x為實數(shù)，若a2，則關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集是空集”.判斷真假如下： 拋物線y=x2+(2a+1)x+a2+2的開口向上，判別式=(2a+1)2-4(a2+2) =4a-7， 因為a2，所以4a-71，當01時拋物線與x軸有交點，當0時拋物線與x軸無交點. 故原命題為逆命題為假.,2.(變換條件)判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關于x的不等式 x2+(2a+1)x+a2+20的解集是R，則a ”的逆否命題的真假.,【解析】先判斷原命題的真假如下： 因為a，x為實數(shù)，關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集為R，且 拋物線y=x2+(2a+1)x

16、+a2+2的開口向上，所以=(2a+1)2-4(a2+2)= 4a-70. 所以a .所以原命題是真命題. 因為互為逆否命題的兩個命題同真同假，所以原命題的逆否命題為真 命題.,【規(guī)律總結】等價命題的兩大應用 (1)判斷命題的真假 當判斷一個命題的真假比較困難，或者在判斷真假時，涉及分類討論時，通常轉化為判斷它的逆否命題的真假，因為互為逆否命題的真假是等價的，也就是我們講的“正難則反”的一種策略. (2)正面證明較難入手的命題 直接證明較困難時，常?？紤]用證明其逆否命題的方法.,【拓展延伸】轉化與化歸的數(shù)學思想 轉化與化歸的思想方法是應用等價轉化的思想方法去解決數(shù)學問題；它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉換；它可以將較為煩瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題；通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題(相對來說，自己較熟悉的問題)，并通過對新問題的求解，達到解決原問題的目的.,【補償訓練】1.命題“若x+y5，則x2或y3”是_命題(填“真”或“假”). 【解析】借助數(shù)軸對結論否定，可得其逆否命題：“若x2且y3，