1、第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì),1.了解等比數(shù)列的單調(diào)性與首項a1及公比q的關(guān)系. 2.結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，了解等比數(shù)列的性質(zhì). 3.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，并能綜合應(yīng)用解決有關(guān)問題.,1.等比數(shù)列的常用性質(zhì) 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則 (1)an=amqn-m(m，nN*). (2)若m+n=k+l(m，n，k，lN*)，則_.,aman=akal,2.等比數(shù)列的單調(diào)性 (1)當(dāng)a10，_或a10，_時，an為遞增數(shù)列. (2)當(dāng)_，0q1或a10，_時，an為遞減數(shù)列. (3)當(dāng)_時，an為常數(shù)列.,q1,0q1,a10,q1,q=1,1.在等比數(shù)列an中，a6=6，a9=9，則a3=() A.3

2、B.C.D.4 【解析】選D.由a3，a6，a9成等比數(shù)列，得a62=a3a9，所以a3=4.,2.已知數(shù)列an是等比數(shù)列，若an0，且a2a4+2a3a5+a4a6=25，則a3+a5=. 【解析】因為數(shù)列an是等比數(shù)列，所以a2a4=a32， a4a6=a52，所以a2a4+2a3a5+a4a6 =a32+2a3a5+a52=(a3+ a5)2= 25， 又an0，所以a3+a5=5. 答案：5,3.在等比數(shù)列an中，a3a5a7a9a11=243，則 =. 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知a3a11=a5a9=a72得a75=243，所以 a7=3，而a7a11=a92，所以 =a7=3. 答

3、案：3,等比數(shù)列的性質(zhì) 探究1：已知等比數(shù)列an：1，2，4，8，16，2n-1， (1)計算a1a4=；a2a3=.并說明a1a4與a2a3有什么關(guān)系？它們項數(shù)之間有什么關(guān)系？ 提示：a1a4=8，a2a3=8，所以a1a4=a2a3；項數(shù)之和對應(yīng)相等，即1+4=2+3.,(2)若項數(shù)滿足4+5=2+7，那么項之間滿足a4a5=a2a7嗎？ 提示：滿足，因為a4=23=8，a5=24=16，a2=2， a7=26=64，所以a4a5=128=a2a7.,(3)若m+n=p+l(m，n，p，lN*)，那么aman=apal嗎？ 提示：相等，aman=2m-12n-1=2m+n-2， apal=

4、2p-12l-1=2p+l-2，因為m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.,探究2：對任意的等比數(shù)列an，若有m+n=p+l(m，n，p，lN*)，那么aman=apal嗎？ 提示：相等，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1a1ql-1=a12qp + l-2， 因為m+n=p+l，所以aman=apal.,探究3：對任意的等比數(shù)列an，若aman=apal(m，n，p，lN*)，則m+n=p+l嗎？

5、 提示：不一定相等，當(dāng)數(shù)列an為常數(shù)列時，m+n與p+l不一定相等.,【探究總結(jié)】 1.等比數(shù)列性質(zhì)的關(guān)注點 (1)利用性質(zhì)m+n=p+qaman=apaq時要注意只有序號之和 相等時才成立，且aman=apaq m+n=p+q. (2)性質(zhì)的特殊情況：若m+n=2p，則aman=ap2.,2.等比數(shù)列四個常用性質(zhì) (1)下標(biāo)成等差數(shù)列，則其對應(yīng)項成等比數(shù)列. (2)從第二項起，每一項都是與它等距離的前后兩項的等比 中項. (3)奇數(shù)項(或偶數(shù)項)依次仍組成等比數(shù)列. (4)若an，bn都是等比數(shù)列，則anbn， an(0)， 仍是等比數(shù)列.,類型一利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量 1.(2014

6、永安高一檢測)等比數(shù)列an中，首項a1=1，公比q=2，則數(shù)列an2的通項是. 2.在等比數(shù)列an中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比為整數(shù)，則a10=.,【解題指南】1.先由an為等比數(shù)列，求出an的通項，判斷an2是等比數(shù)列，再求其通項. 2.利用若m+n=p+q(m，n，p，qN*)，則aman=apaq求解.,【自主解答】1.因為an=2n-1，所以 =4， 所以an2是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，故an2=4n-1. 答案：an2=4n-1 2.由a4a7=-512，得a3a8=-512. 由 解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍). 所以q

7、= =-2. 所以a10=a3q7=-4(-2)7=512. 答案：512,【延伸探究】題2條件不變，求數(shù)列an的通項公式. 【解析】由a4a7=-512，得a3a8=-512. 由 解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍). 所以q= =-2， 所以an=a3qn-3=-4(-2)n-3=(-1)n2n-1.,【規(guī)律總結(jié)】解決等比數(shù)列問題常用的兩種方法 (1)基本量法：利用等比數(shù)列的基本量a1，q，然后求出其他量.這是等比數(shù)列常用的方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用.缺點是計算較煩瑣. (2)數(shù)列性質(zhì)法：利用性質(zhì)整體求值，簡化運算過程.巧妙地利用性質(zhì)m+n=p+qaman=ap

8、aq和anam=ap2 (m + n =2p，m，n，pN*)可以簡化解題過程.,【加固訓(xùn)練】已知an為等比數(shù)列，a4+a7=2，a5a6=-8，則 a1+a10=() A.7B.5C.-5D.-7 【解析】1.選D.因為數(shù)列an為等比數(shù)列，所以a5a6=a4a7= -8，聯(lián)立 解得 或 所以q3=- 或 q3=-2，故a1+a10= +a7q3=-7.,類型二等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 1.(2015菏澤高二檢測)已知數(shù)列an為正項等比數(shù)列，若 a3，a7是方程2x2-7x+6=0的兩個根，則a1a3a5a7a9的 值是() A. B.9C.9D.35 2.已知數(shù)列an為等差數(shù)列，公差d0，由an中

9、的部分項組成的數(shù)列ab1，ab2，abn，為等比數(shù)列，其中b1=1，b2= 5，b3= 17.求數(shù)列bn的通項公式.,【解題指南】1.由根與系數(shù)的關(guān)系得a3a7=3，又a1a9= a3a7=a52，可得a1a3a5a7a9的值. 2.根據(jù)ab1，ab2，ab3成等比數(shù)列，得出等差數(shù)列an的首項與公差的關(guān)系，從而求出數(shù)列abn的通項，再根據(jù)abn為等差數(shù)列an中的第bn項，求出數(shù)列bn的通項.,【自主解答】1.選B.因為a3，a7是方程2x2-7x+6=0的兩根，故a3a7=3， 又根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得 a1a9=a3a7=a52=3，故a5= ， 所以a1a3a5a7a9=33 =9 .,2.

10、依題意a52=a1a17，即(a1+4d)2= a1(a1+16d)，所以a1d = 2d2，因為d0，所以a1=2d，數(shù)列abn的公比q= =3， 所以abn=a13n-1， 又abn=a1+(bn-1)d= a1， 由得a13n-1= a1. 因為a1= 2d0，所以bn= 23n-1-1.,【規(guī)律總結(jié)】等差、等比數(shù)列綜合問題的解題技巧 對于等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，既可以按等差數(shù)列設(shè)項，也可以按等比數(shù)列設(shè)項，然后再根據(jù)條件求出其他項，一般是根據(jù)條件列方程組求解.同時解題時要注意運用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)得出相應(yīng)的條件，再對式子做出靈活變形求解.,【變式訓(xùn)練】已知遞增的等比數(shù)列an滿足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中項. (1)求數(shù)列an的通項公式. (2)若bn=log2an+1，Sn是數(shù)列bn的前n項和，求使Sn42+4n成立的n的最小值.,【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，依題意有 2