1、1.2.1 任意角的三角函數(shù)(二),1.相關(guān)概念 (1)單位圓 以原點(diǎn)O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓. (2)有向線段 帶有_(規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn))的線段叫做有向線段 規(guī)定：方向與x軸或y軸的正方向一致的為正值，反之為負(fù)值,方向,2.三角函數(shù)線,MP,OM,AT,1.判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值.( ) (2)三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負(fù).( ) (3)若角的正弦線長度為1，則sin =1.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值. (2)正確.凡是與x軸或y軸正向同向的為正值，反向的為負(fù)值. (3)錯(cuò)誤.沒

2、有指明正弦線的方向，故sin=1. 答案：(1)(2)(3),2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)如圖 的正弦線是_，余弦線是_，正切 線是_. (2)比較大?。簊in 1_sin (填“”或“”) (3)若sin 0，則的取值范圍是_,【解析】(1)由三角函數(shù)線的定義知正弦線是MP，余弦線是 OM，正切線是AT. 答案：MP OM AT (2) 結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線知 答案： (3)由sin 0，如圖,利用三角函數(shù)線可得 2k2k，kZ. 答案：2k，2k(kZ),【要點(diǎn)探究】 知 識(shí) 點(diǎn) 三角函數(shù)線 對(duì)三角函數(shù)線的四點(diǎn)說明 (1)正弦線、余弦線、正切線分別是正弦、余弦、正切函

3、數(shù)的幾何表示，這三種線段都是與單位圓有關(guān)的有向線段，這些特定的有向線段的數(shù)值可以用來表示三角函數(shù)值,(2)三角函數(shù)線都是有向線段因此在用字母表示這些線段時(shí)，也要注意它們的方向，分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書寫順序也不能顛倒為此，我們規(guī)定凡由原點(diǎn)出發(fā)的線段，以原點(diǎn)為起點(diǎn)；不從原點(diǎn)出發(fā)的線段，以三角函數(shù)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為起點(diǎn),(3)三角函數(shù)線的畫法： 作正弦線、余弦線時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線，得到垂足，從而得正弦線和余弦線 作正切線時(shí)，應(yīng)從A(1,0)點(diǎn)引x軸的垂線，交的終邊(為第一或第四象限角)或終邊的反向延長線(為第二或第三象限角)于點(diǎn)T，即可得到正切線AT.,(4)三

4、角函數(shù)線的主要作用： 解三角不等式及比較同角異名三角函數(shù)值的大小. 是以后學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ),【微思考】 (1)三角函數(shù)線的長度和方向各表示什么？ 提示：長度等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù). (2)三角函數(shù)線的方向有何特點(diǎn)？ 提示：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)(1,0)指向與終邊的交點(diǎn).,【即時(shí)練】 1.下列說法不正確的是( ) A.當(dāng)角的終邊在x軸上時(shí)，角的正切線是一個(gè)點(diǎn) B當(dāng)角的終邊在y軸上時(shí)，角的正切線不存在 C.正弦線的始點(diǎn)隨角的終邊位置的變化而變化 D余弦線和正切線的始點(diǎn)都是原點(diǎn) 【解析】選D. 余弦線始點(diǎn)是原點(diǎn)

5、，正切線的始點(diǎn)是點(diǎn)(1,0).,2.已知是銳角，若sin cos ，則角的取值范圍是_ 【解析】如圖單位圓中，0MPOM，所以 答案：,【題型示范】 類型一 三角函數(shù)線的概念問題 【典例1】 (1)已知 則x的取值集合是_. (2)在單位圓中畫出滿足 的角的終邊并作出其正弦線、余弦線和正切線,【解題探究】1.題(1)中滿足 的角x有多少個(gè)？它們 之間有什么關(guān)系？ 2.題(2)中滿足 的角是什么？ 【探究提示】1.滿足 的角x有無窮多個(gè).它們之間相 差180的整數(shù)倍. 2.滿足 的角為 或,【自主解答】(1) 如圖所示： 在0360范圍內(nèi)，正切值為 的角有兩個(gè)：60和 240，滿足tan x=

6、的角x的終邊與60和240的終邊 重合，則x的取值集合是x|x=60+k360或x=240+ k360,kZ，即x|x=60+k180,kZ. 答案：x|x=60+k180,kZ,(2)如圖作直線y 交單位圓于P,Q，則OP,OQ為角的終邊 如圖所示，當(dāng)?shù)慕K邊是OP時(shí)，角的正弦線為MP，余弦線 為OM，正切線為AT. 當(dāng)?shù)慕K邊為OQ時(shí)，角的正弦線為NQ，余弦線為ON，正切線 為AT.,【延伸探究】若將題(2)中“sin ”改為“sin ”，其他條件不變，則角的終邊落在什么范圍內(nèi)？ 【解析】結(jié)合題(2)解析可知，當(dāng) sin 時(shí)，角的終邊 與 相交.角的終邊在 內(nèi).,【方法技巧】單位圓中求作角的終

7、邊的方法 應(yīng)用三角函數(shù)線可以求作滿足形如f()=m的三角函數(shù)的角的終邊.(1)作出直線y=m或x=m與單位圓的交點(diǎn).(2)將原點(diǎn)與交點(diǎn)連接所得射線即為所求角的終邊.,【變式訓(xùn)練】試作出角 的正弦線、余弦線、正切線 【解析】如圖： = 的正弦線、余弦線、正切線分別為MP，OM，AT.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】若是第一象限角，則sin cos 的值與1的大小關(guān)系是( ) A.sin cos 1 Bsin cos 1 C.sin cos 1 D不能確定,【解析】選A. 如圖，角的終邊與單位圓交于P點(diǎn)，過P作PMx軸于M點(diǎn)，由三角形兩邊之和大于第三邊可知sin cos 1.,類型二 利用三角函數(shù)線比較大小 【典例

8、2】 (1)(2014宿州高一檢測)如果 那么下列不等式成立的是( ) A.cos sin tan B.tan sin cos C.sin cos tan D.cos tan sin (2)利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?【解題探究】1.題(1)中能否從三角函數(shù)線上比較三角函數(shù)值的大??？ 2.題(2)中當(dāng)角的終邊在第二象限時(shí)如何作出其正切線？ 【探究提示】1.可在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出正弦線、余弦線和正切線，通過“形”的直觀來比較大小. 2.可通過作角終邊的反向延長線作出正切線.,【自主解答】(1)選A.如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線MP、余弦線OM、正切線AT，很容易地觀察出OMM

9、PAT，即cos sin tan .,(2)如圖所示，角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，其反向延長 線與單位圓的過點(diǎn)A的切線的交點(diǎn)為T，作PMx軸，垂足為M， 則,的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，其反向延長線與單位圓的 過點(diǎn)A的切線交點(diǎn)為T，作PMx軸，垂足為M，則 由圖可見，MPMP0，ATAT0， 所以 ,【方法技巧】三角函數(shù)線比較大小的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)三角函數(shù)線是一個(gè)角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長度是三角函數(shù)值的絕對(duì)值 (2)比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小，不僅要看其長度，還要看其方向,【變式訓(xùn)練】比較大?。簊in 1 155_sin(1 654)(填“”).,

10、【解析】sin(3360+75)=sin 75，sin(5360 +146)=sin 146，在單位圓中，分別作出sin 75和 sin 146的正弦線M2P2和M1P1，如圖： 因?yàn)镸1P1sin(1 654). 答案：,【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè) 則a,b,c的大小順序?yàn)開 (按從小到大的順序排列). 【解析】如圖,在單位圓中分別作出 的正弦線M1P1， 的余弦線OM2、正切 線AT.由 知，M1P1=M2P2， 又 易知OM2M2P2AT， 所以 故bac. 答案：bac,類型三 利用三角函數(shù)線解三角不等式 【典例3】 (1)(2014濟(jì)南高一檢測)函數(shù) 的定義域?yàn)?_. (2)求下列函數(shù)的定義域：

11、 ,【解題探究】1.題(1)中開偶次方根時(shí)，對(duì)被開方數(shù)有什么 要求？ 2.題(2)中需滿足什么要求? 【探究提示】1.開偶次方根時(shí)要求被開方數(shù)為非負(fù)數(shù). 2.中需滿足 中需滿足,【自主解答】(1)要使 有意義， 則必須滿足2sin x+10即sin x 結(jié)合三角函數(shù)線(如圖所示)知x的取值范 圍是 答案：,(2)要使函數(shù)有意義，則 所以 如圖所示， 所以,要使函數(shù)有意義，則 所以 如圖所示， 所以,【方法技巧】解形如f()m或f()m(|m|1)的三角不等式的方法 (1)在直角坐標(biāo)系及單位圓中，標(biāo)出滿足f()=m的兩個(gè)角的終邊. 若f為sin，則角的終邊是直線y=m與單位圓的兩個(gè)交點(diǎn)與原點(diǎn)的連

12、線； 若f為cos，則角的終邊是直線x=m與單位圓的兩個(gè)交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線；,若f為tan，則角的終邊與角的終邊的反向延長線表示的正切值相同. (2)根據(jù)三角函數(shù)值的大小，找出在02內(nèi)的取值，再加上k2(kZ).,【變式訓(xùn)練】利用三角函數(shù)線，寫出滿足下列條件的角的 集合：,【解析】(1)由圖知：當(dāng)sin 時(shí)，角滿足的集合為,(2)由圖知：當(dāng)cos 時(shí)，角滿足的集合為 (3)如圖，作出單位圓 所以角滿足的集合為,【補(bǔ)償訓(xùn)練】若0,2)，且 求角的取值 范圍 【解析】如圖， OM為0,2)內(nèi)的角 和 的余弦線，欲使 則角的余弦線大于等于OM，當(dāng)OM伸長時(shí)，OP與OQ掃過部分為 扇形POQ，所以,【易錯(cuò)誤區(qū)】對(duì)三角函數(shù)線概念理解不準(zhǔn)而致誤 【典例】(2014天水高一檢測)已知角的余弦線是長度為單位長度的有向線段，那么角的終邊在( ) A.x軸的正半軸上 B.x軸的負(fù)半軸上 C.x軸上 D.y軸上,【解析】選C.由角的余弦線是長度為單位長度的有向線段，得cos =1， 故角的終邊在x軸上.,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 正確理解有向線段和三角函數(shù)線 有向線段既有長度又有方向，如本例中長度為