1、第十章 粘性流體動力學基礎,本章概述:粘性是流體的重要屬性之一，自然界中存在的流體都具有粘性。理論和實驗表明，對于氣體繞物體的流動，粘性影響主要在靠近物體表面的薄層內(nèi)（稱為附面層）。這樣求解粘性流動的問題，可以通過求解粘性流動的基本方程，也可以求解附面層內(nèi)的流動。因此研究附面層的目的，一方面是解決計算氣流繞物體的摩擦阻力，而另一方面是估算物體上各點的熱流量。從而尋求減小摩擦阻力，減輕氣動加熱的途徑，采取必要的設計措施。 本章首先討論粘性流動的基本方程，由于連續(xù)方程并不涉及到粘性問題，因此本章主要討論動量方程和能量方程，然后導出湍流流動的雷諾方程，最后討論附面層基本知識。本章內(nèi)容構(gòu)成了粘性流體流

2、動的基本知識。,10.1微分形式的動量方程（N-S） 10.2微分形式的能量方程 10.3 初始條件和邊界條件 10.4 雷諾方程和雷諾應力 10.5附面層基本知識 10.6附面層微分方程 10.7附面層積分方程,10.1微分形式的動量方程（N-S）,圖10.1動量方程推導用圖,稱為粘性應力張量， 為對稱張量，即 ，當 時，因此該張量有6個獨立分量。表面力的合力包含壓強梯度和粘性應力散度兩部分。將(10.11 ) ，(10.9) ，代入（10.5） 最后得出對于無限小微元體的微分形式動量方程,用文字表示該方程的物理意義為 單位體積所受的質(zhì)量力單位體積所受的壓力 單位體積所受的粘性力密度加速度

3、（10.14）,式(3.118 ) 又稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。將(3.118 ) 代入到(3.116 ) 可得出,式（10.18）即為描述牛頓粘性流體運動的微分方程式，又稱為納維爾斯托克斯（Navier-Stokes）方程，簡稱N-S方程。它是由C.L.M.H.Navier(1785-1836) 和Sir George G. Stokes(1819-1903)分別獨立導出的，方程即以他們的名字聯(lián)合命名。,N-S方程為二階非線性偏微分方程組。在一般情況下，從數(shù)學上精確求解此方程是不可能的。但是對于一些簡單的流動，如平行平板的定常層流流動、圓管內(nèi)的定常層流流動等是可以得到精確解的，而且這些精確解與

4、實驗結(jié)果完全一致。,10.2微分形式的能量方程,傳熱量 可以分為兩大類，一類是由于熱傳導對微元控制體的傳熱，另一類是輻射、化學反應等其它形式的熱量傳遞。 用來表示第二種形式對控制體內(nèi)單位質(zhì)量流體的傳熱量。,q dxdydz (10.24),圖10.3分析粘性應力做功率,與上述分析質(zhì)量流量、動量流量和熱流量完全相同可以得出，在與x軸垂直的兩個面上粘性應力的做功率為,同理可以得出另外兩個方向上的功率，因此總的粘性應力做功率應為,通過上式可以看出 0，也就是說耗散項永遠是正的，即粘性應力所做的功總是消耗機械能，使流體的內(nèi)能增加。,(10.33) (10.34),注意到 ， ， (10.37),10.

5、3 初始條件和邊界條件,通過上邊的推導，我們得出了描述牛頓流體運動的微分方程組，共5個方程，包括連續(xù)方程（1個），動量方程（3個），能量方程（1個），而未知量有6個 （以直角坐標為例，柱坐標結(jié)果一樣），因此方程并不封閉，所以還要補充一個熱力學的關(guān)系式即，完全氣體狀態(tài)方程,(10.40),這樣包括狀態(tài)方程在內(nèi)，基本方程組共有6個方程，構(gòu)成封閉的方程組。但是要得到具體的解還要給定相應的初始和邊界條件，這些條件統(tǒng)稱為定解條件。,（一）初始條件,在初始時刻，方程組的解應該等于該時刻給定的函數(shù)值。在數(shù)學上可以表示為 在,（二）邊界條件,在運動流體的邊界上，方程組的解所應滿足的條件稱為邊界條件。邊界條件隨

6、具體問題而定，一般來講可能有以下幾種情況：固體壁面（包括可滲透壁面）上的邊界條件；不同流體的分界面（包括自由液面、氣液界面、液液界面）上的邊界條件；無限遠或管道進出口處的邊界條件等。 對于不可滲漏的固體邊界速度為無滑移條件、溫度為無突躍條件，即 Vfluid = Vwall， Tfluid = Twall (10.42) 如果固體邊界為可滲漏，則邊界條件要根據(jù)具體情況來確定。 對于所有的流動進出口截面，應給出每時刻截面上速度、壓力和溫度的分布。對于流體繞流物體的問題，進出口邊界變成了無窮遠邊界，應給出無窮遠邊界條件。,10.4 雷諾方程和雷諾應力,從對湍流的研究可知，湍流運動中任何物理量都隨時

7、間和空間不斷的變化，所以要想用方程求解這種運動的瞬時速度是非常困難的。研究表明，雖然湍流運動十分復雜，但是它仍然遵循連續(xù)介質(zhì)運動的特征和一般力學規(guī)律，因此，雷諾提出用時均值概念來研究湍流運動的方法，導出了以時間平均速度場為基礎的雷諾時均NS方程。 雷諾從不可壓縮流體的NS方程導出湍流平均運動方程（后人稱此為雷諾方程）并引出雷諾應力的概念。之后，人們引用時均值概念導出湍流基本方程，使湍流運動的理論分析得到了很大的發(fā)展。,10.4.1常用的時均運算關(guān)系式,設A、B、C為湍流中物理量的瞬時值， 為物理量的時均值， 為物理量的脈動值，則具有以下的時均運算規(guī)律。,推論: (10.49),10.4.2 湍

8、流運動的連續(xù)方程,由于湍流流動中各物理量都具有某種統(tǒng)計特征的規(guī)律，所以基本方程中任一瞬間物理量都可用平均物理量和脈動物理量之和來代替，并且可以對整個方程進行時間平均的運算。 在湍流運動中，瞬時運動的速度應滿足粘性流體的基本方程。其連續(xù)方程為,對其進行時均運算,對于不可壓縮湍流運動， ，則連續(xù)方程可化為,可見，對不可壓湍流運動，時均運動和脈動運動的連續(xù)方程和瞬時運動的連續(xù)方程具有相同的形式。,10.4.3雷諾方程,（10.54b）,由于 ，應用時均物理量與脈動物理量之積的時均值等于零的運算規(guī)則，即（ ），可得,這樣式（10.55）經(jīng)過化簡后，可表示為,方程組（10.56）就是著名的不可壓縮流體作

9、湍流運動時的時均運動方程稱為雷諾方程。 將時均運動方程（10.56）和NS方程（10.54 a）相比可以看出，湍流中的應力，除了由于粘性所產(chǎn)生的應力外，還有由于湍流脈動運動所形成的附加應力，這些附加應力稱為雷諾應力。雷諾方程與NS方程在形式上是相同的，只不過在粘性應力項中多出了附加的湍流應力項。,以上導出的雷諾方程和連續(xù)方程中，除過要求解的四個變量 、 、 和 外，還有與脈動速度有關(guān)的如 、 等六個未知數(shù)。四個方程中有十個未知數(shù)，即方程組不封閉。要使方程組封閉，必須補充其它未知量的關(guān)系式才能夠進行求解。,10.4.4雷諾應力,將雷諾方程與粘性流體應力形式的動量方程進行比較，由式（10.56）可

10、以看出，在湍流的時均運動中，除了原有的粘性應力分量外，還多出了由脈動速度乘積的時均值 、,式（10.57）中的各項構(gòu)成了所謂的雷諾應力。雷諾應力的物理意義可理解如下 在穩(wěn)定湍流中繞某點M處取一微元六面體圖10.4a，考察過點M取與x軸垂直的某微元面 ，其面積為 。在單位時間內(nèi)通過單位面積的動量為 ，其時均值為,上速度脈動所傳遞的動量。根據(jù)動量定理，通過 面有動量傳遞，那么在 面上就有力的作用。式（10.58）中各項都具有力的因次，從而證明了在湍流情況下，沿x方向的時均真實應力，應等于時均運動情況下x方向上的應力加上由于湍流中的x方向脈動引起的附加應力。對 面來說，附加應力 與它垂直，所以是法向

11、應力，因此稱之為附加湍流正應力。,圖 10.4a 湍流應力分析,圖 10.4b 湍流應力分析,由于在點M處沿y方向上有脈動速度 ，則在單位時間內(nèi)通過微元面 （垂直于y軸）上的單位面積流入的質(zhì)量為 如圖10.4a所示 ，這部分流體本身具有x方向的速度 ，因而隨之傳遞的x方向上的動量為 ，其時均值為,式（10.59a）表明，在單位時間內(nèi)通過垂直于y方向的 面的單位面積所傳遞出去的x方向動量為 ，因而該單位面積就受到一個沿x方向的大小為 的作用力。式（10.59b）說明了這個力的變化量。可以理解為：當流體質(zhì)點由時均速度較高的流體層向時均速度較低的流體層脈動時由于脈動引起的動量傳遞，使低速層被加速。反

12、過來，如果脈動由低速層向高速層發(fā)生，高速層被減速，因此這兩層流體在x方向上各受到切應力的作用。 是湍流中流體微團的脈動造成的，稱為湍流切應力，記作 。,湍流正應力和湍流切應力統(tǒng)稱為雷諾應力。,10.4.5普朗特混合長度理論,從雷諾方程可以看出，由于湍流運動采用了時均方法，在運動方程中出現(xiàn)了雷諾應力，從而增加了方程中的未知量，因此需要補充新的關(guān)系式才能求解。如果補充的關(guān)系式是一個代數(shù)方程，而不需要補充任何附加的微分方程來求解時均流場，則稱這種模型為零方程模型；若補充的關(guān)系式是一個微分方程（如湍流脈動動能方程），則稱為一方程模型；若是兩個微分方程，則稱為雙方程模型等等。本節(jié)所討論的普朗特混合長度理

13、論即是所謂的代數(shù)模型（零方程模型）。,混合長度理論是基于經(jīng)驗性的一個經(jīng)過實驗驗證的理論模型。在許多問題中得到了較好的應用。其基本思想是如果能夠找出湍流應力與其它流場參數(shù)之間的關(guān)系，即找到了這些物理量的補充關(guān)系式，就可以使方程組封閉。為此普朗特把湍流脈動與氣體分子運動相比擬，認為雷諾應力是由流體微團的脈動,另一方面，湍流應力與脈動速度有關(guān)，為了確定這種關(guān)系，普朗特做出了第一個假設：即流體微團x方向脈動速度 近似等于兩層流體的時均速度之差，即,這一假設的基礎是認為流體微團在y方向脈動，從這一層跳入另一層時，要經(jīng)過一段與其他流體微團不相碰撞的距離 （參看圖10.5），在這段距離上速度保持不變。這個距

14、離,稱為混合長度，它是流體微團在湍流運動中的自由行程的平均值。經(jīng)過 距離后，流體微團以自己原來的動量進入另一層和周圍流體相摻混。,考慮到湍流切應力的符號 應與粘性切應力的符號 相同。為,10.5附面層基本知識,10.5.1附面層的概念,層厚度，用 表示。在航空上，有實際意義的問題大多屬于大雷諾數(shù)下的流動問題。此時緊貼物面法線方向速度梯度很大的這一層都是很薄的，因此附面層厚度 是個小量。氣流流過物體表面的距離越長，附面層厚度也越大，即附面層厚度隨氣流流過物體的距離而增加。粘性影響較大的另一種情況是流體在物體后面的部分，通常要離開物體的表面，即在物體后面形成所謂的尾跡區(qū)。由于粘性的作用較強，粘性切

15、應力作用較大，因而形成流動阻力。顯然，該阻力產(chǎn)生的根源是流體與物體表面之間的摩擦以及附面層分離引起的。之外，由于附面層脫離后的尾跡區(qū)中，還會導致物體表面上產(chǎn)生流動方向的壓力差，因而形成所謂的壓差阻力。 在附面層外邊界，流速接近于外邊界速度，因此附面層外邊界的速度梯度很小。而空氣的粘性系數(shù)也很小，所以在附面層之外，可以忽略粘性的影響，而作為理想流動來處理?？傊诳拷矬w表面的附面層內(nèi)以及在物體之后的尾跡區(qū)內(nèi)，粘性都有顯著的影響。,2附面層中沿物面的法向壓強保持近似不變,在附面層內(nèi)，除了速度梯度 很大外，還有另外一個重要的特點，對于物面曲率半徑比較大，即物面不太彎曲的情況，沿著其物面的法線方向流

16、體壓強保持近似不變。如果測量流體流過平板的附面層內(nèi)沿y方向的壓強梯度，的確可以得到在附面層內(nèi)壓強p沿y方向不變,即 。該結(jié)論非常重要，它可以使附面層運動方程大大簡化。同時它還使得理想流體的結(jié)論具有實際意義。當按理想流體理論計算附面層外邊界的壓強分布后，即可得到物面上對應點的壓強。,3位移厚度 和動量損失厚度,所謂的位移厚度 就是由于附面層內(nèi)速度降低而要求流道加寬的厚度，即全部粘流所占的流道比無粘流體流動應占流道所加寬的部分，即是位移厚度。,圖10.6 附面層位移厚度,設物體上某點處的附面層厚度為 如圖10.6所示，垂直紙面方向為單位寬度。則粘性流體與理想流體同時流過該物面時，由于粘性流體中附面

17、層的影響，所減少的質(zhì)量流量為,其中 是附面層外邊界處理想流體的密度和速度； 分別是附面層內(nèi)的密度和速度。這些減少的質(zhì)量流量要在主流中擠出 的距離才能流過去。因此它應等于以理想流體 流過,距離上的質(zhì)量流量，即,所以得 （10.62）,由此可見，在質(zhì)量流量相等的條件下，猶如將理想流體的流動區(qū)域自物面向外移動了一個 的距離。它表示了由于粘性的作用，附面層內(nèi)流體質(zhì)量流量相對理想流體減小的程度。,根據(jù)以上的分析，如果按理想流體設計的型面，為了使相同質(zhì)量流量的粘性流體能夠通過則物面應向外移動一個 的距離。,位移厚度的概念，對于流動方向要求嚴格的流道設計具有重要的意義。特別是對于管道內(nèi)出現(xiàn)聲速截面時，實際管

18、道壁面必須進行修正。由于流通面積的復雜性，精確的 的距離很難計算準確，下面給出一種相對簡便的近似方法進行修正，即,設附面層位移厚度取決于當?shù)伛R赫數(shù)和沿流動下游的距離，即假設位移厚度與流向距離成正比，則根據(jù)經(jīng)驗知位移厚度隨馬赫數(shù)的變化按下列規(guī)律確定：,由于附面層內(nèi)的流速小于理想流體的流速，因此附面層內(nèi)流體的動量也會減小。單位時間內(nèi)通過附面層厚度 的流體實際具有的動量為 ，此部分流體若以附面層外邊界上理想流體速度 運動時，所具有的動量為 ，因此其動量損失應等于單位時間內(nèi)以速度 、密度 的流體流過一層厚度為,的流體所具有的動量，即,10.5.2附面層的轉(zhuǎn)捩,根據(jù)雷諾實驗，粘性流體存在著兩種流態(tài)，即層

19、流和湍流。附面層流動和管流一樣有層流附面層和湍流附面層之分。實驗觀察表明，流體從物體前緣開始，先形成層流附面層。層流附面層的存在有一個極限情況，超過此極限時，層流處于不穩(wěn)定狀態(tài)，并逐漸過渡為湍流附面層。圖10.7是均勻來流流過平板時的流動圖形，圖中O-A稱為層流附面層，A-B稱為轉(zhuǎn),圖10.7 平板上的附面層,由上式可見，轉(zhuǎn)捩點的位置與流體的粘性系數(shù)、密度、來流速度和臨界雷諾數(shù)有關(guān)。 文獻5引用了米歇爾（Michel）基于實驗提出的轉(zhuǎn)捩點位置XT和相應的動量損失厚度之間的關(guān)系為,10.6附面層微分方程,附面層概念的提出，可以將粘性流動的求解簡化為求解附面層內(nèi)的流動和附面層外邊界的理想流動。要求

20、解附面層內(nèi)的詳細流動細節(jié)，必須求解附面層微分方程。,10.6.1層流附面層微分方程,由于附面層內(nèi)的流動為粘性流動，因此應符合 方程，所以可以根據(jù)附面層的特點，將 方程簡化得到附面層微分方程。為了簡化推導，考慮二維不可壓縮層流流動，取物面為 坐標軸，垂直于物面為 軸。如果忽略壁面曲率和質(zhì)量力的影響，則連續(xù)方程和 可表示為,（10.68）,為了簡化式（10.68），對它進行無量綱化。根據(jù)附面層流動的特點，選取附面層外邊界速度 、物體的特征長度 、附面層厚度 及密度 為特征量，對上式進行無量綱化，即令,（10.70）,（10.71）,上式即為平面壁的二維不可壓層流附面層方程。由上式的最后一個方程可以

21、看出，對于直壁，沿垂直于壁面方向，壓強近似保持不變。即附面層內(nèi)橫向截面上的壓強近似等于附面層外邊界處的主流壓強。因此在求解繞平面物體（或物面曲率半徑比較大的物體）的流動時，第三個方程可以去掉,而壓強可以用附面層外邊界的壓強代替 。因此，平面壁的二維不可壓附面層方程為,對于曲面物體，采用沿曲面壁方向作為 坐標軸， 軸與 坐標軸垂直并從壁面算起。采用正交曲線坐標系，并采用與上述同樣的分析方法，考慮到物面的曲率半徑為 ，經(jīng)數(shù)量及分析后，得到曲線坐標系中的附面層方程為,求解附面層方程（10.73）或（10.74），必須根據(jù)具體問題提出相應的邊界條件和初始條件。下面給出初始條件和附面層內(nèi)外邊界上的邊界條

22、件。,初始條件： 時， ，,10.6.2湍流附面層微分方程,對于二維不可壓湍流附面層， 方程（10.68）中的動量方程中存在有湍流切應力的附加應力項，省略各時均化參數(shù)的記號，則有,（10.75）,10.7附面層積分方程,雖然附面層微分方程比較有了很大的簡化，但是要求解這一組偏微分方程，其計算工作量仍然很大，需要借助于計算機進行數(shù)值求解。求解附面層問題的另一種方法是附面層積分法。這種方法的基本思想是使流動參數(shù)在總體上滿足附面層基本方程。在求解時，近似的給定一個只依賴于x坐標的單參數(shù)速度分布來代替附面層內(nèi)真實的速度分布。解法的精確度取決于所選定的速度分布。,10.7.1 附面層的動量積分方程,附面

23、層積分方程可以由兩種方法導出，一種是將附面層微分方程在整個附面層厚度 的區(qū)間上積分，另一種是在附面層內(nèi)取一微元段，運用基本方程。前者主要是從數(shù)學上推導，而后者的物理概念比較清楚。下面我們采用后一種推導方法來得出附面層動量積分方程。,圖10.8 動量積分方程的推導,圖10.8 給出了附面層內(nèi)流體沿某一壁面的流動。設流動為定常的平面不可壓縮流動。在附面層中取一微元控制體ABDCA，其中AB和CD是垂直于壁面的兩個控制面，相距為dx，BD是壁面，AC是附面層外邊界。垂直于紙面控制體的寬度取單位寬度。對控制體運用動量定理。,由于dx是無限小量，所以將AC邊界上的流體速度都看作是 ，實際上， 是 的函數(shù)

24、， 由壁面形狀決定。,在單位時間內(nèi)，通過界面流出與流入控制體的動量的差值為,在上表中，AC面上的壓強取A點和C點的壓強的平均值。AC面積在x方向的投影面積大小為 。符號 表示壁面上的摩擦應力。CD和BD上的作用力方向與x方向相反 ，,式（10.77）稱附面層積分方程。該方程對于層流附面層和湍流附面層都適用。對于后一種情況，可直接將附面層連續(xù)和動量方程相加后沿附面層積分得到，積分時注意到在壁面上及附面層外邊界處湍流應力等于零。,對不可壓流，式（10.77）化為,（10.78）,在式（10.79）中，一共有四個未知數(shù) 、 、 和 ，其中， 未知數(shù) 是由理想流動計算獲得，而 和 由 和 決定，因此方

25、程尚有三個未知量 、 和 。在求解式（10.79）時，通常補充附面層內(nèi)速度分布 和壁面摩擦切應力 的表達式。,10.7.2速度分布在邊界上應滿足的邊界條件,時 （10.82）,再把動量方程對y求導，有,只要選定的速度分別滿足邊界條件，則表明它在近物體表面和邊界層外部附近都和真實速度分布接近。在附面層中間部分雖然可能有一定的誤差，但是在應用積分法時，由于總體上滿足動量積分方程，因此可以得到滿足工程需要的結(jié)果。 在上述邊界條件中，無滑移條件（10.81）和壓強梯度條件（10.82）反映了物面及物面形狀對速度分布的影響，因此在附面層計算中，為了保證一定計算精度，應滿足這些條件。,10.7.3不可壓縮

26、平板層流附面層計算,有一直勻流速度為 ，密度為 流過如圖10.7所示的平板。假設平板的厚度無限薄，平板長度為1，寬度為b,下面用上節(jié)介紹的附面層積分法對其進行求解，求解的內(nèi)容有：速度近似分布；附面層厚度；切應力；摩擦阻力系數(shù)等。,根據(jù)假設，可以認為平板不影響附面層外的流動，仍然可以將附面層以外的流動看成是與平板平行的理想流動。于是，附面層外的流速 ，且沿平板 。將其代入動量積分關(guān)系式（10.79），則方程簡化為,（10.84）,式中的待定系數(shù) 是未知的，它們必須由速度分布應遵循的邊界條件確定。式中的冪次方 可根據(jù)具體要求選取。實驗證明，取 ，即可與實驗得到的速度分布曲線吻合很好，即,于是， （

27、10.87）,式中， 是距平板前緣為x處的當?shù)乩字Z數(shù)。由上式可見，層流附面層厚度與 成正比，與當?shù)乩字Z數(shù)的平方根成反比。,10.7.4光滑平板不可壓湍流附面層計算,一般情況，如果繞物體的附面層不發(fā)生嚴重的脫體現(xiàn)象，曲壁附面層的摩擦阻力與平板情形相差不大，因此可以簡化計算。,一、光滑平板湍流附面層 當流動雷諾數(shù)足夠大時，在靠近平板前緣一段是層流附面層，而靠近平板后一段是湍流附面層，下面討論假設平板從前緣開始就是湍流附面層的情況。 為了求解湍流附面層，根據(jù)普朗特的假設：沿平板的附面層流動與管流的情況沒有顯著的差別。因此對于充分發(fā)展的湍流，可以把管流看作一種附面層流動，其中附面層厚度已達到管道半徑，

28、管中心的最大速度 相當于附面層外邊界的速度 。實驗證明，當 時，平板湍流附面層的速度分布與管流的速度分布一致。切應力的關(guān)系也可采用圓管的結(jié)果。,式中， ， 是平均速度，當用七分之一次方分布時，它與圓管軸線上的速度 的關(guān)系是 。當用圓管中的結(jié)果于附面層計算時，要用附面層厚度去代替管徑即 ：用附面層外邊界上的速度 去代替 ，這樣，應用壁面切應力 與 的關(guān)系，并應用式（10.95）就可得到 的表達式。,（10.96）,或,應用式（10.96），（10.97），可以得到平板湍流附面層當?shù)啬Σ料禂?shù)為,上面的公式是應用七分之一次方速度分布得出的結(jié)果，一般認為在 的范圍內(nèi)較合適，隨著 的增加，偏差也增大。通

29、常在 的范圍內(nèi)采用下列計算公式,二、湍流附面層與層流附面層的比較,湍流附面層與層流附面層在基本特性上有較大差別： （1）.湍流附面層的速度分布曲線比層流速度分布曲線要飽滿得多，附面層內(nèi)流體平均動量比層流的大，因此不易分離； （2）湍流附面層的厚度比層流附面層的厚度增長的快，因為湍流附面層的 與 成正比，而層流附面層的 與 成正比，可見湍流附面層比層流附面層要厚得多； （3）對于湍流附面層來說，作用在平板上的摩擦阻力 與 參數(shù) 及 成正比； 對于層流附面層來說，作用在平板上的摩擦阻力 與 及 成正比；因此，從減小摩擦阻力來看，層流附面層將優(yōu)于湍流附面層。,10.7.5光滑平板混合附面層計算,在高

30、雷諾數(shù)的情況下，繞物體流動的附面層往往是混合附面層，即從平板前緣開始先是一段層流附面層，經(jīng)過過度段再變?yōu)橥牧鞲矫鎸尤鐖D10.9所示。在計算中忽略過渡段，即認為從轉(zhuǎn)捩點開始，都是湍流附面層，混合附面層的摩擦阻力計算方法如下：,圖10.9高雷諾數(shù)的情況下混合附面層,令 表示平板總長度； 表示平板上層流附面層長度；,表示從前緣開始平板上全為湍流附面層時的摩擦阻力系數(shù)； 表示段上為湍流附面層的摩擦阻力系數(shù)； 表示段上層流附面層的摩擦阻力系數(shù)； 表示混合附面層的摩擦阻力系數(shù)。 它們之間的關(guān)系為,10.8 附面層分離與控制,10.8.1附面層分離,圖10.10 曲壁附面層分離現(xiàn)象,附面層分離點S的準確計算非常困難，因為點S是在附面層厚度很小，并按外部勢流場的壓力分布求出的。在分離點之前的流動阻力可按前述的附面層方法計算得到。而一旦附面層出現(xiàn)分離，附面層厚度增加很快，即 （物體特征尺寸）的條件不再滿足，此時附面層理論失效。因此要用完整的粘性流方程來求解。,附面層分離后，流動中出現(xiàn)了強烈的旋渦，結(jié)果是流動阻力,急劇