1、2010暑假建模培訓(xùn),1,模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用,2010暑假建模培訓(xùn),2,一、模糊數(shù)學(xué)引言 1、發(fā)展 精確數(shù)學(xué)：確定性 統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)：偶然性、隨機(jī)性 模糊數(shù)學(xué)：模糊性,2、數(shù)學(xué)模型的分類 確定性模型 隨機(jī)性模型 模糊性模型,2010暑假建模培訓(xùn),3,二、模糊數(shù)學(xué)基本概念,1、論域，被討論對(duì)象的全體叫做論域，對(duì)稱全域，通常用大寫字母U、E、X、Y等來表示。,2010暑假建模培訓(xùn),4,3、模糊集A有下列三種常見的表示形式。 zadeh 表示法 序偶表示法 向量表示法,2010暑假建模培訓(xùn),5,2010暑假建模培訓(xùn),6,隸屬函數(shù)舉例,A(70) 0.94 ，即“70 歲”屬于“年老”的程度為0.94。A(6

2、0) 0.8 ，B(60) 0.02， 可認(rèn)為“60 歲”是“較老的”,2010暑假建模培訓(xùn),7,4、隸屬函數(shù)的構(gòu)造,常用方法： 1、例證法 2、模糊統(tǒng)計(jì)法 3、二元對(duì)比法 4、模糊分布法（指派法）,模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬度的思想。應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。,2010暑假建模培訓(xùn),8,5、模糊關(guān)系 模糊矩陣,模糊關(guān)系: 通過描述關(guān)系程度的量來補(bǔ)充描述 的關(guān)系 , 其中的關(guān)系程度通過隸屬度來表示。,設(shè)R = (rij)mn，若0rij1，則稱R為模糊矩陣. 當(dāng)rij只取0或1時(shí)，稱R為布爾(Boole)矩陣. 當(dāng)模糊方陣R = (rij)nn的對(duì)角線上的元素r

3、ii都為1時(shí)，稱R為模糊自反矩陣.,2010暑假建模培訓(xùn),9,2010暑假建模培訓(xùn),10,2010暑假建模培訓(xùn),11,身高與體重間的模糊關(guān)系矩陣,2010暑假建模培訓(xùn),12,三、模糊模式識(shí)別,在模糊數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用中,有時(shí)需要比較兩個(gè)模糊集合之間的相似程度,例如工程應(yīng)用中的模糊識(shí)別，氣象應(yīng)用中確定天氣類型或氣候區(qū)等。 模式識(shí)別：將事物的整體劃分為若干類型而得到一組標(biāo)準(zhǔn)模式，對(duì)于一個(gè)確定的對(duì)象它屬于哪一類問題稱為模式識(shí)別。 模糊模式識(shí)別：若整體被劃分的類型與被識(shí)別的對(duì)象之中至少有一個(gè)是用模糊集表示的模式識(shí)別問題,2010暑假建模培訓(xùn),13,貼近度,貼近度是對(duì)兩個(gè)模糊集接近程度的一種度量。,2010

4、暑假建模培訓(xùn),14,常用的貼近度計(jì)算式,1、海明貼近度,2、歐幾里得貼近度,2010暑假建模培訓(xùn),15,模糊模式識(shí)別原則,模糊模式識(shí)別方法主要建立在 “最大隸屬原則”主要用于個(gè)體的識(shí)別 “擇近原則”群體模型的識(shí)別,2010暑假建模培訓(xùn),16,2010暑假建模培訓(xùn),17,老年,2010暑假建模培訓(xùn),18,中年,2010暑假建模培訓(xùn),19,青年,某人40歲，根據(jù)上式， A1 (40) = 0 ， A2(40) = 1 ， A3 (40) = 0 ， 則A2 (40) =maxA1 (40) ，A2(40) ，A3 (40) = 1。按最大隸屬原則，他應(yīng)該是中年人。 又如當(dāng)x = 35時(shí)， A 1(

5、35) = 0.125 ， A2(35) = 0.875 ， A3(35) = 0?？梢?5 歲的人應(yīng)該是中年人。,2010暑假建模培訓(xùn),20,擇近原則,2010暑假建模培訓(xùn),21,四、模糊聚類與模糊決策,對(duì)帶有模糊特征的事物進(jìn)行聚類分析，一般采用模糊數(shù)學(xué)的方法，模糊聚類分析一般分為三大類 ： 1、系統(tǒng)聚類法：是一類基于模糊關(guān)系的分類法。其中包括基于模糊等價(jià)關(guān)系的聚類方法和基于模糊相似關(guān)系的聚類方法。 2、迭代聚類法。 3、混合法。,2010暑假建模培訓(xùn),22,系統(tǒng)聚類法的基本步驟,第一步：數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化 1、數(shù)據(jù)矩陣： 設(shè)論域 為被分類的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象又由 個(gè)指標(biāo)表示其性狀： 于是得到原始數(shù)據(jù)矩

6、陣。,2010暑假建模培訓(xùn),23,2、數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化 在實(shí)際問題中，不同的數(shù)據(jù)一般有不 同的量綱，為了使所有不同的量綱的量也 能進(jìn)行比較，通常需要對(duì)數(shù)據(jù)作適當(dāng)?shù)淖?換 在模糊數(shù)學(xué)里，一般將數(shù)據(jù)壓縮到區(qū)間 0，1上。,2010暑假建模培訓(xùn),24,通常需要作如下兩種變換： 1）平移、標(biāo)準(zhǔn)差變換,2010暑假建模培訓(xùn),25,經(jīng)過變換后，每個(gè)變量的均值為0，標(biāo)準(zhǔn) 差為1，且消除了量綱的影響，但是，這樣得 到的 還不一定在區(qū)間0，1上。,2）平移、極差變換,2010暑假建模培訓(xùn),26,第二步：標(biāo)定（建立模糊相似矩陣） 建立模糊相似矩陣 的方法主要借用傳統(tǒng)聚類分析的相似系數(shù)法、距離法。 用距離法時(shí)，總是令 其

7、中 為適當(dāng)選取的參數(shù)，它可使得 經(jīng)常采用海明距離和歐氏距離。,2010暑假建模培訓(xùn),27,海明距離,歐式距離,2010暑假建模培訓(xùn),28,第三步：聚類。 基于模糊等價(jià)矩陣聚類方法： 1、傳遞閉包法 根據(jù)標(biāo)定所得的模糊矩陣，只是一個(gè)模糊相似矩陣，不一定具有傳遞性，因此模糊矩陣不一定是等價(jià)矩陣。 2、直接聚類：在建立模糊相似矩陣之后，不求傳遞閉包。 3、布爾矩陣法,2010暑假建模培訓(xùn),29,五、模糊決策分析方法,模糊數(shù)學(xué)中有一個(gè)研究的熱點(diǎn)問題就是“模糊決策”，它就是研究在模糊環(huán)境下或者模糊系統(tǒng)中進(jìn)行決策的數(shù)學(xué)理論和方法。模糊決策的目標(biāo)是把決策論域中的對(duì)象在模糊環(huán)境下進(jìn)行排序，或按某些模糊限制條件

8、從決策域中選擇出最優(yōu)對(duì)象。 1、模糊綜合評(píng)價(jià)方法 是應(yīng)用模糊關(guān)系合成的原理，從多個(gè)因素(指標(biāo))對(duì)被評(píng)價(jià)事物隸屬等級(jí)狀況進(jìn)行綜合性評(píng)判的一種方法，其具體的步驟為:,確定被評(píng)判對(duì)象的因素論域U ， (2) 確定評(píng)語等級(jí)論域V ， 通常評(píng)語有V = 很高，高，較高，較低，低，很低； (3) 進(jìn)行單因素評(píng)判，建立模糊關(guān)系矩陣R,2010暑假建模培訓(xùn),30,(4) 確定評(píng)判因素權(quán)向量A = (a1, a2, , an) ，A是U 中各因素對(duì)被評(píng)事物的隸屬關(guān)系，它取決于人們進(jìn)行模糊綜合評(píng)判時(shí)的著眼點(diǎn)，即根據(jù)評(píng)判時(shí)各因素的重要性分配權(quán)重； (5) 選擇評(píng)價(jià)的合成算子，將A與R合成得到B =(b1, b2,

9、bm) 。,(6) 對(duì)模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果B 作分析處理。,2010暑假建模培訓(xùn),31,例：現(xiàn)對(duì)某種試銷服裝進(jìn)行評(píng)價(jià)，以對(duì)最終 的投產(chǎn)量決策提供科學(xué)依據(jù)。 設(shè)考慮的因素集合為 評(píng)判集合 單因素評(píng)價(jià)結(jié)果如下：,2010暑假建模培訓(xùn),32,花色式樣：(0.2 0.7 0.1 0 ) 耐穿程度：(0 0.4 0.5 0.1) 價(jià)格費(fèi)用：(0.2 0.3 0.4 0.1) 綜合單因素評(píng)判集合可得出模糊關(guān)系,2010暑假建模培訓(xùn),33,因 素,評(píng) 判,現(xiàn)假設(shè)有兩類顧客，他們對(duì)U中給出的諸因素權(quán)重分配為,2010暑假建模培訓(xùn),34,則可求得他們對(duì)這種服裝的 綜合評(píng)價(jià)矩陣： 最后可按最大隸屬原則可直接判斷他們對(duì)服裝的評(píng)價(jià)。,2010暑假建模培訓(xùn),35,2、多目標(biāo)模糊綜合評(píng)價(jià)決策法 當(dāng)被評(píng)價(jià)的對(duì)象有兩個(gè)以上時(shí)，從多個(gè)對(duì)象中選擇出一個(gè)最優(yōu)的方法稱為多目標(biāo)模糊綜合評(píng)價(jià)決策法。 評(píng)價(jià)的步驟： 對(duì)每個(gè)對(duì)象按上面多個(gè)因素進(jìn)行模糊綜合評(píng)價(jià)； 將模糊評(píng)語量化，計(jì)算各對(duì)象的總評(píng)分。假設(shè)模糊評(píng)價(jià)評(píng)語量化集（或評(píng)價(jià)尺度）為S ，則各對(duì)象的總評(píng)分為： 3、多層次模糊綜合評(píng)價(jià)法,2010暑假建模培訓(xùn),36,練習(xí),（工程評(píng)標(biāo)問題）某建設(shè)單位