1、3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例,類型一面積、體(容)積有關(guān)的最值問題 【典例1】如圖,四邊形ABCD是一塊邊長為4km的正方形 地域,地域內(nèi)有一條河流MD,其經(jīng)過的路線是以AB的中 點(diǎn)M為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線(河流寬度忽略不計(jì)). 新長城公司準(zhǔn)備投資建一個(gè)大型矩形游樂園PQCN(P為,河流MD上任意一點(diǎn)),問如何施工才能使游樂園的面積最大?并求出最大面積.,【解題指南】首先依據(jù)圖形建立合適的坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),引入變量構(gòu)建與面積有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,再利用導(dǎo)數(shù)求最值.,【解析】以M為原點(diǎn),AB所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則D(4,2).,設(shè)拋物線方程為y2=2px. 因?yàn)辄c(diǎn)D在拋物線上, 所以

2、22=8p,解得p= . 所以拋物線方程為y2=x(0 x4). 設(shè)P(y2,y)(0y2)是曲線MD上任一點(diǎn),則|PQ|=2+y,|PN|=4-y2. 所以矩形游樂園的面積為 S=|PQ|PN|=(2+y)(4-y2)=8-y3-2y2+4y. 求導(dǎo)得S=-3y2-4y+4,令S=0, 得3y2+4y-4=0,解得y= 或y=-2(舍).,當(dāng)y 時(shí),S0,函數(shù)S為增函數(shù); 當(dāng)y 時(shí),S0,函數(shù)S為減函數(shù). 所以當(dāng)y= 時(shí),S有最大值,得 |PQ|=2+y=2+ = , |PN|=4-y2=4-,所以游樂園最大面積為Smax= (km2), 即游樂園的兩鄰邊分別為 km, km時(shí),面積最大,最

3、 大面積為 km2.,【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的基本流程,【鞏固訓(xùn)練】已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上,另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y=4-x2在x軸上方的曲線上,求矩形的面積最大時(shí)的邊長.,【解析】設(shè)矩形邊長AD=2x,則|AB|=y=4-x2. 則矩形面積為S=2x(4-x2)(00;當(dāng)x 時(shí),S0,所以當(dāng)x= 時(shí),S取得最大值,此時(shí),S最大= 即矩形的邊長分別為 時(shí),矩形的面積最大.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】用長為90cm、寬為48cm的長方形鐵皮 做一個(gè)無蓋的容器,先在四個(gè)角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角,再焊接而成(如圖所示),問該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大?最大容積是多少?,【解

4、析】設(shè)容器的高為xcm,容器的容積為V(x)cm3, 則V(x)=x(90-2x)(48-2x) =4x3-276x2+4320 x(0x24), V(x)=12x2-552x+4320 =12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36). 令V(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).,當(dāng)00,V(x)是增函數(shù); 當(dāng)10x24時(shí),V(x)0,V(x)是減函數(shù). 因此,在定義域(0,24)內(nèi),函數(shù)V(x)只有當(dāng)x=10時(shí)取得最大值,其最大值為 V(10)=10(90-20)(48-20)=19600(cm3).,故當(dāng)容器的高為10cm時(shí),容器的容積最大,最大容積是19600cm3

5、.,類型二費(fèi)用(用料)最省問題 【典例2】(2017重慶高二檢測(cè))某企 業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度, 長度單位:米).其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均 為半球形,按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為 立方米.假 設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部,分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為4千元.設(shè)該容器的總建造費(fèi)用為y千元.,(1)將y表示成r的函數(shù)f(r),并求該函數(shù)的定義域. (2)討論函數(shù)f(r)的單調(diào)性,并確定r和l為何值時(shí),該容器的建造費(fèi)用最小,并求出最小建造費(fèi)用.,【解題指南】(1)總造價(jià)等于兩個(gè)半球合成一個(gè)球的表面的造價(jià)加上圓柱的側(cè)面的造價(jià). (2)對(duì)y

6、=f(r)求導(dǎo)然后研究單調(diào)性與最值.,【解析】(1)因?yàn)槿萜鞯捏w積為 立方米, 所以 解得 所以圓柱的側(cè)面積為,兩端兩個(gè)半球的表面積之和為4r2, 所以 又 所以定義域?yàn)?0, ).,(2)因?yàn)?所以令f(r)0,得2r ; 令f(r)0,得0r2, 所以f(r)的單調(diào)增區(qū)間為 單調(diào)減區(qū)間為(0,2). 所以當(dāng)r=2時(shí),該容器的建造費(fèi)用最小,為96千元,此 時(shí),l=,【延伸探究】 1.試討論該容器表面積有無最小值,若有,求出最小值;若沒有,說明理由?,【解析】因?yàn)槿萜鞯捏w積為 立方米, 所以 解得 所以圓柱的側(cè)面積為,兩端兩個(gè)半球的表面積之和為4r2, 故該容器的表面積S= 則S= 令S=0,

7、解得r=,所以應(yīng)在r= 時(shí),取得最小值,而由(1)可知r 取不到 ,所以無最小值.,2.若由于場(chǎng)地的限制,該容器的半徑要限制在 范圍內(nèi),求容器建造費(fèi)用的最小值.,【解析】因?yàn)閥= 所以令y0,得2r ; 令y0,得0r2, 故當(dāng)r 時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減, 故當(dāng)r= 時(shí),ymin=,【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x). (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x),解方程f(x)=0.,(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)=0成立的點(diǎn)的數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值. (4)寫出答案.,【

8、補(bǔ)償訓(xùn)練】甲、乙兩地相距400千米,汽車從甲地勻 速行駛到乙地,速度不得超過100千米/時(shí),已知該汽車 每小時(shí)的運(yùn)輸成本P(元)關(guān)于速度v(千米/時(shí))的函數(shù)關(guān) 系是P=,(1)求全程運(yùn)輸成本Q(元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式. (2)為使全程運(yùn)輸成本最少,汽車應(yīng)以多大速度行駛?并求此時(shí)運(yùn)輸成本的最小值.,【解析】(1)Q=P,(2)Q= -5v,令Q=0,則v=0(舍去)或v=80. 當(dāng)00, 所以當(dāng)v=80千米/時(shí)時(shí),全程運(yùn)輸成本取得極小值,即最 小值,且Qmin=Q(80)= (元).,類型三利潤最大問題 【典例3】某公司為了獲得更大的利益,每年要投入一定的資金用于廣告促銷.經(jīng)調(diào)查,每年投入廣

9、告費(fèi)t(單位:百萬元),可增加銷售額約為-t2+5t(單位:百萬元,且0t5).,(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在3百萬元之內(nèi),則應(yīng)投入多少廣告費(fèi),才能使該公司由此獲得的收益最大?,(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬元,分別用于廣告促銷和 技術(shù)改造.經(jīng)預(yù)測(cè),每投入技術(shù)改造費(fèi)x(單位:百萬元), 可增加的銷售額約為- x3+x2+3x(單位:百萬元).請(qǐng)?jiān)O(shè) 計(jì)一個(gè)資金分配方案,使該公司由此獲得的收益最大 (注:收益=銷售額-投入).,【解析】(1)設(shè)投入t百萬元的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)百萬元,則有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t =-(t-2)2+4(0t3), 所以當(dāng)t=2時(shí),

10、f(t)取得最大值4, 即投入2百萬元的廣告費(fèi)時(shí),該公司由此獲得的收益最大.,(2)投入技術(shù)改造的資金為x百萬元,則用于廣告促銷的 資金為(3-x)百萬元,設(shè)由此獲得的收益是g(x),則 g(x)= -(3-x)2+5(3-x)-3=- x3+4x+3 (0 x3), 所以g(x)=-x2+4. 令g(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.,當(dāng)0 x0;當(dāng)2x3時(shí),g(x)0, 故g(x)在0,2)上是增函數(shù),在(2,3上是減函數(shù). 所以當(dāng)x=2時(shí),g(x)取最大值,即將2百萬元用于技術(shù)改造,1百萬元用于廣告促銷時(shí),該公司由此獲得的收益最大.,【方法總結(jié)】利潤問題中的等量關(guān)系 解決此類有關(guān)利

11、潤的實(shí)際應(yīng)用題,應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件,建立利潤的函數(shù)關(guān)系,常見的基本等量關(guān)系有: (1)利潤=收入-成本; (2)利潤=每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù).,【鞏固訓(xùn)練】 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(噸)與 每噸產(chǎn)品的價(jià)格p(元/噸)之間的關(guān)系式為p=24200- x2,且生產(chǎn)x噸產(chǎn)品的成本為R=50000+200 x(元).問該 工廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大?最大利 潤是多少?(利潤=收入-成本),【解析】每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤為 f(x)= (50000+200 x) =- x3+24000 x-50000(x0), 則f(x)=- x2+24000, 令f(x)=0, 解得x

12、1=200,x2=-200(舍去).,因?yàn)閒(x)在0,+)內(nèi)只有一個(gè)極大值點(diǎn)x=200, 故它就是最大值點(diǎn),且最大值為 f(200)=- 2003+24000200-50000 =3150000(元). 所以每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤達(dá)到最大,最大利潤為 315萬元.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2017沈陽高二檢測(cè))某商品每件成本 9元,售價(jià)為30元,每星期賣出432件,如果降低價(jià)格,銷售量將會(huì)增加,且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位:元,0 x30)的平方成正比,已知商品單價(jià)降低2元時(shí),一星期將多賣出24件.,(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù). (2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期

13、的商品銷售利潤最大?,【解題指南】(1)先求出比例系數(shù),再依據(jù)題設(shè)求出多賣的商品數(shù),再根據(jù)銷售利潤=銷售收入-成本,列出函數(shù)關(guān)系式,即可得到答案.(2)根據(jù)f(x)的解析式,用導(dǎo)數(shù)求最值.,【解析】(1)設(shè)商品降價(jià)x元,則多賣出的商品件數(shù)為kx2,若記商品一個(gè)星期的獲利為f(x),則依題意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2). 又由已知條件,24=k22,于是有k=6. 所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x0,30.,(2)根據(jù)(1)有f(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12), 當(dāng)x變化時(shí),f(x),

14、f(x)的變化情況如表:,故當(dāng)x=12時(shí),f(x)取到極大值,因?yàn)閒(0)=9072, f(12)=11664, 所以定價(jià)為30-12=18(元)時(shí)能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大.,類型四效率最高問題 【典例4】我們知道,汽油的消耗量w(單位:L)與汽車的 速度v(單位:km/h)之間有一定的關(guān)系,汽油的消耗量w 是汽車速度v的函數(shù).通過大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn) 行分析、研究,人們發(fā)現(xiàn),汽車在行駛過程中,汽油平均 消耗率g(即每小時(shí)的汽油消耗量,單位:L/h)與汽車行,駛的平均速度v(單位:km/h)之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系g=f(v).且點(diǎn)(90,5)為直線y=kx與函數(shù)g=f(v)相切時(shí)

15、的切點(diǎn),那么汽車平均速度為多少時(shí),汽油使用率最高,此時(shí)的每千米耗油量大約是多少L?,【解題指南】研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量 與汽車行駛路程的比值.如果用G表示每千米平均的汽 油消耗量,那么G= ,其中,w表示汽油消耗量(單位:L), s表示汽車行駛的路程(單位:km).從圖中不能直接解決 汽油使用效率最高的問題.因此,我們首先需要將問題,轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率g(即每小時(shí)的汽油耗量,單位:L/h)與汽車行駛的平均速度v(單位:km/h)之間的關(guān)系的問題.然后利用圖象中的數(shù)據(jù)信息.解決汽油使用效率最高的問題.,【解析】設(shè)G表示每千米平均的汽油消耗量,s表示汽車 行駛的路程(單位:km).

16、因?yàn)镚=,這樣,問題就轉(zhuǎn)化為求 的最小值.從圖象上看, 表示 經(jīng)過原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的直線的斜率,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),當(dāng)直 線與曲線相切時(shí),其斜率最小.在此切點(diǎn)處速度約為 90km/h.,因此,當(dāng)汽車行駛距離一定時(shí),要使汽油的使用效率最 高,即每千米的汽油消耗量最小,此時(shí)的車速約為 90km/h,從數(shù)值上看,每千米的耗油量就是圖中的切線 的斜率,即f(90),約為 (L/km).,【方法總結(jié)】效率最高問題的解題途徑,【鞏固訓(xùn)練】 統(tǒng)計(jì)表明:某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油 量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表 示為y= (0x120).已知甲、乙兩地 相距100千米,當(dāng)汽車以多大的

17、速度勻速行駛時(shí),從甲地 到乙地耗油最少?最少為多少升?,【解析】當(dāng)速度為x千米/時(shí)時(shí),汽車從甲地到乙地行駛 了 小時(shí),設(shè)耗油量為h(x)升, 依題意得h(x)=,令h(x)=0,得x=80. 因?yàn)閤(0,80)時(shí),h(x)0,h(x)是增函數(shù), 所以當(dāng)x=80時(shí),h(x)取得極小值h(80)=11.25(升). 因?yàn)閔(x)在(0,120上只有一個(gè)極小值,所以它是最小值.,答:汽車以80千米/時(shí)勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在直線y=0和y=a(a0)之間表示的 是一條河流,河流的一側(cè)河岸(x軸)是一條公路,且公路 隨時(shí)隨處都有公交車來往,家住A(0

18、,a)的某學(xué)生在位于 公路上B(d,0)(d0)處的學(xué)校就讀.每天早晨該學(xué)生都 要從家出發(fā),可以先乘船渡河到達(dá)公路上某一點(diǎn),再乘 公交車去學(xué)校;或者直接乘船渡河到達(dá)公路上B(d,0)處,的學(xué)校.已知船速為v0(v00),車速為2v0.(水流速度忽略不計(jì)),(1)若d=2a,求該學(xué)生早晨上學(xué)時(shí),從家出發(fā)到達(dá)學(xué)校所 用的最短時(shí)間. (2)若d= ,求該學(xué)生早晨上學(xué)時(shí),從家出發(fā)到達(dá)學(xué)校所 用的最短時(shí)間.,【解析】(1)設(shè)該學(xué)生從家出發(fā)先乘船渡河到達(dá)公路上 某一點(diǎn)P(x,0)(0 xd),再乘公交車去學(xué)校,所用的時(shí) 間為t,則t=f(x)= (0 xd).令f(x)=0 得x= a,當(dāng)0 x0.,所以當(dāng)x= a時(shí),所用的時(shí)間最短,最短時(shí)間 所以當(dāng)d=2a時(shí),該學(xué)生從家里出發(fā)到學(xué)校所用的最短時(shí) 間是,(2)由(1)的討論知,當(dāng)d= 時(shí),t=f(x)為 上的減函 數(shù),所以當(dāng)d= 時(shí),即該學(xué)生直接乘船渡河到達(dá)公路上 學(xué)校所用時(shí)間最短,最短時(shí)間為t=,【課堂小結(jié)】