1、高等機構(gòu)學(xué),YSU,燕山大學(xué)機械工程學(xué)院,螺旋理論基礎(chǔ) 基于螺旋理論的自由度分析原理 空間機構(gòu)的位置分析 運動影響系數(shù)原理 空間機構(gòu)動力學(xué) 基于約束螺旋理論的并聯(lián)機構(gòu)型綜合 空間機構(gòu)的奇異分析,本門課程的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容,空間直線的螺旋表示 螺旋表示運動和作用力 螺旋的相關(guān)性 螺旋的相逆性,螺旋理論基礎(chǔ),直線的矢量方程,兩個點：,兩點之間的距離或直線段的長度為,假設(shè)：,L、M、N是有向線段S的方向數(shù)，而l、m、n是S的方向余弦，且滿足,則直線方程可寫為：,或,S0 稱為矢量 S 對原點的線矩,直線的矢量方程,可寫為行列式的形式,展開，有,其中P、Q、R為,直線的矢量方程,若S是單位矢量, ，則線矩

2、S0的模表示直線到原點的距離； 若矢量S過原點，其線矩為零： 當S及S0給定后，直線在空間的方向及位置都被確定，而且它們是一一對應(yīng)的； 矢量S與其對原點之線矩S0是互為正交的：,直線的矢量方程,可知：,決定直線的矢量方程中的兩個參數(shù)S及S0是齊次坐標，標量 構(gòu)成的 S 及 S0 依然滿足直線方程 表示是同一條直線。,這種滿足正交條件的齊次坐標(S ; S0) 表示了直線在空間的位置及方向，(S ; S0)稱為直線的 Plcker 坐標。,直線的Plcker坐標,直線的 Plcker坐標(S ; S0)中的兩個矢量S 和S0 都可以用直角坐標系的三個分量表示，這樣Plcker坐標的標量形式即為

3、(L, M, N ; P, Q, R )，L、M、N是有向線段S的方向數(shù)，P、Q、R是該線段S對原點的線矩在X、Y、Z 三軸的分量。 這六個量L、M、N、P、Q、R 之間存在關(guān)系式,所以六個分量中只有五個是獨立的，在三維空間中就有5 條不同方向、位置和長度的有向線段。,直線的Plcker坐標,兩個矢量S和S0決定了一條直線在空間的方向和位置（對偶矢量） 空間的一條直線與一組對偶矢量(S ; S0)有著一一對應(yīng)的關(guān)系,直線的Plcker坐標,直線的Plcker坐標,直線到原點的距離,若有過原點的矢量P垂直相交于直線(S ; S0)，則矢量OP的模|P|是從原點O到直線的距離，由于矢量P的端點在直

4、線上，即有,將此等式兩邊左面叉乘S,展開左邊矢量的三重叉積，有,即,直線到原點的距離,解出P,這里e是單位矢量，其方向由 決定， 這樣直線S到原點的距離為,因為直線S與線矩相互垂直，上式可寫為,直線到原點的距離,當S0=0，則 ，直線到原點的距離為零，即直線過原點，此時直線的 Plcker 坐標可寫為,可知：,或,反之，若S =0，而 為有限值，則 ，此時直線位于距原點無窮遠的平面上，寫成Plcker 坐標為(0 ; S0)。 此時對于任何選擇的原點，無窮遠處的一個無窮小的矢量，它對原點的線矩皆為 S0。S0與原點位置選擇無關(guān)，這說明(0 ; S0)為自由矢量。,兩直線的互矩,設(shè)空間有相錯的兩

5、條直線，它們不平行也不相交,若它們的公垂線矢量為 ，其中 為單位矢量， 而其系數(shù) 是兩線間的垂直距離，兩線之間的扭向角記為 A、B兩點是兩直線間公垂線的兩個垂足,兩直線的互矩,直線S2對S1線上垂足A 點的線矩 與直線S1的點積，稱為直線S2關(guān)于S1的矩,同樣，直線S1對直線S2上垂足B點的線矩與直線S2的點積，稱為直線S1關(guān)于S2的矩,顯然此兩點積是相等的,兩直線的互矩,兩直線的互矩(mutual moment)，記以Mm,可以看出：兩直線的互矩是由兩直線Plcker 坐標的兩個矢量和兩線矩交換下標后的點積之和,展開此式并考慮到,得到互矩的一般表達式為,兩直線的互矩,當S1和S2都是單位矢量

6、時,其中S1與S2間的扭向角 的值是以 為正向，按右手螺旋方向度量,互矩Mm還可寫為,則,兩直線的互矩,若兩直線的S及S0均以標量表示,互矩還可以寫成代數(shù)式,互矩的幾種表達形式,兩直線的互矩,互矩只與兩直線間的距離及扭向角有關(guān)，與原點位置的選擇無關(guān)，即互距與坐標系的選擇無關(guān)。 如果兩直線平行，或者說兩直線相交于無窮遠處， 則它們的互矩為零。 如果兩直線相交，其垂直距離 就等于零，它們的互矩也為零 所以空間兩直線相交于有限遠處、無限遠處，或說兩直線共面，則兩直線的互矩為零。,由互矩表達式 可以看出：,線矢量和螺旋,線矢量：如果空間一個單位矢量被約束在一條方向、位置固定的直線上，這個被直線約束的矢

7、量定義為線矢量，簡稱線矢，也記以 (S ; S0) 。,在前面建立的空間直線矢量方程的基礎(chǔ)上，進一步引申,在表示線矢量的對偶矢量(S ; S0)中 S 是單位矢量，而 S0一般不是單位矢量 這個線矢量在空間的位置和方向，可由矢量 S 和其上一點矢徑 r 來決定。這里矢徑 r 反映在“線矩” S0中，即 ，顯然 S 與 S0為正交，,線矢量和螺旋,線矢量在幾何上反映了一直線在空間的方向和位置。 矢量 S 表示直線的方向，它與原點的位置無關(guān)；而線矩S0 則與原點的位置有關(guān)。若原點的位置改變，由B點移至A點，而矢量 S 對點 A之線矩 SA則轉(zhuǎn)變?yōu)?線矢量和螺旋,螺旋：原部矢量和對偶部矢量點積不為零

8、的對偶矢量 在數(shù)學(xué)上定義為螺旋，（也稱旋量）。記為 $,當對偶矢量(S ; S0)中的兩個矢量不滿足矢量的正交條件，則可以得到更一般的情況,在表示螺旋的對偶矢量(S ; S0)中 S 是單位矢量，而 S0一般不是單位矢量 這樣，線矢量就可看成是螺旋的特殊情況，當組成螺旋的兩對偶矢量的點積為零時，螺旋退化為線矢量。 為了能夠清楚地區(qū)分線矢量和螺旋，將 的螺旋的對偶部矢量以 S0 標記，以表示與線矢量的區(qū)別,線矢量和螺旋,在螺旋的兩矢量中，S與原點的選擇無關(guān)，而矢量S0 卻是與原點的位置有關(guān)。 當將原點由 B 移至 A 時，螺旋 變?yōu)?，依然滿足,將上式兩邊點乘 S，得到,雖然 S0 與原點位置有

9、關(guān)，但 與原點的位置無關(guān)，是原點不變量。,線矢量和螺旋,螺旋的節(jié)距pitch（原點不變量）,如果某旋量的原級矢量S為單位矢量， ，這是單位旋量，此時,線矢量和螺旋,線矢量在空間對應(yīng)一條確定的直線；同樣，一個旋量， 在空間也對應(yīng)有一條確定的軸線,將S0 分解為垂直和平行于 S 的兩個分量， hS 和 S0 -hS,線矢量和螺旋,其中 S0 hS 是垂直于S的，這是因為,因此螺旋的軸線方程即是,由此,線矢量和螺旋,影響螺旋的四個因素：,（1）螺旋軸線的位置 （2）螺旋的節(jié)距 （3）螺旋的方向 （4）螺旋的大小,如果是單位螺旋，則只包含前三個因素,螺旋可以寫為,線矢量和螺旋,對于螺旋 ，當節(jié)距 h

10、變化時,若 h=0 ，螺旋變?yōu)?若 h=，,線矢量和螺旋,例： 表示什么樣的螺旋？,螺旋大小,螺旋方向,螺旋節(jié)距,螺旋軸線,表示節(jié)距為 a，軸線過原點的螺旋,線矢量和螺旋,例： 表示什么樣的螺旋？,螺旋大小,螺旋方向,螺旋節(jié)距,螺旋軸線,表示節(jié)距為1，軸線過原點的單位螺旋,線矢量和螺旋,例： 表示什么樣的螺旋？,螺旋大小,螺旋方向,螺旋節(jié)距,螺旋軸線,這也是一個軸線過原點沿方向 節(jié)距為1的單位螺旋,線矢量和螺旋,例： 表示什么樣的螺旋？,螺旋大小,螺旋方向,螺旋節(jié)距,螺旋軸線,表示節(jié)距為 1/2，不過原點的非單位螺旋,螺旋的代數(shù)運算,螺旋 可以用一對對偶矢量來表示,其中 被稱為對偶標識符，且有

11、,螺旋的對偶矢量表示,螺旋的代數(shù)運算,兩個螺旋的原部和對偶部分別求和，稱為兩螺旋的代數(shù)和。,兩個節(jié)距為非零有限值的螺旋之和一般仍然是節(jié)距為非零有限值的螺旋，但也可能出現(xiàn)節(jié)距為零的線矢量。,不共面的兩線矢之和一般為節(jié)距不為零的螺旋，,螺旋的代數(shù)和,螺旋的代數(shù)運算,若兩線矢共面，且兩原部之和非零時，其和依然為線矢量。,對于線矢量(S1; S01)和(S2; S02) ，由于原部和對偶部矢量滿足正交性，有,又已知兩直線共面，則其互矩為零,則兩線矢之和滿足,證明：,證畢,螺旋的代數(shù)運算,對于共面的兩線矢量，和線矢過兩線矢的交點,由于共面兩線矢的和仍為線矢量，其矢量方程為,若以 r1 表示兩線矢交點的矢

12、徑。 r1 應(yīng)分別在兩線矢上，即同時滿足兩線矢方程,將兩式相加有,證明：,此式表明兩線矢的交點 滿足和線矢作用線方程，所以和線矢過兩線矢的交點。證畢,螺旋的代數(shù)運算,兩螺旋的原部矢量與對偶矢量下標交換后做點積之和稱為兩螺旋的互易積,互易積是螺旋理論中最有意義的一種運算。若$1及$2 是兩線矢量，則,可以看出，兩線矢的互易積就是兩直線的互矩。兩線矢共面的充要條件就是其互易積為零,螺旋的互易積,螺旋的代數(shù)運算,兩個螺旋 ，它們的互易積與原點的選擇無關(guān),這兩個新的螺旋的互易積為,當原點從點 O移動到點 A，這兩個螺旋變成,證明：,證畢,剛體的瞬時螺旋運動,在三維空間里剛體最一般的運動形式為螺旋運動，

13、即同時存在剛體繞軸的轉(zhuǎn)動與沿同軸方向的移動。剛體的純轉(zhuǎn)動和純移動都只是螺旋運動的特殊情況。,剛體的瞬時螺旋運動,若剛體 2 相對剛體 1做繞 S 軸的瞬時轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角速度為,剛體的瞬時轉(zhuǎn)動,但轉(zhuǎn)動軸線的空間位置還并不明確。所以應(yīng)采用角速度線矢量來表示物體的轉(zhuǎn)動運動，即角速度的大小與一個表示旋轉(zhuǎn)軸作用線的單位線矢之積,其中 為標量，S 為單位矢量。,其中 S0為 S 對原點的線矩，與 S 正交。,剛體的瞬時螺旋運動,轉(zhuǎn)動軸線方程可寫為,可以看出，轉(zhuǎn)動線矢量的第二項是剛體上與原點O重合的點的速度，也即是做旋轉(zhuǎn)運動的物體上產(chǎn)生的原點重合點的切向速度,角速度線矢的第二項可以展開為,剛體的瞬時螺旋運動,

14、構(gòu)成剛體的轉(zhuǎn)動線矢的對偶矢量是包括角速度矢量 和剛體上與坐標原點重合點的線速度矢量 v0,當坐標系原點與轉(zhuǎn)軸重合時， ，轉(zhuǎn)動線矢變?yōu)?剛體的瞬時轉(zhuǎn)動運動的Plcker坐標為,剛體的瞬時螺旋運動,若剛體 2 相對剛體 1做移動運動，速度v 沿單位矢量 S方向，速度矢量可以表示為,剛體的瞬時移動,此單位矢量 S 通常是選在移動副導(dǎo)路的中心方向。 當S 平行移動后，不會改變剛體的運動狀態(tài)，因此這樣的移動速度矢量是自由矢量。,剛體的瞬時螺旋運動,剛體的瞬時移動也可以看作是繞一個無窮遠處的軸線的瞬時轉(zhuǎn)動 由于無窮遠處的軸線與 S 正交，且位于無窮遠處，則此軸線的Plcker坐標為 (0;S)，繞此軸的瞬

15、時轉(zhuǎn)動，就可以表示為 v(0;S) 或(0; v),剛體的瞬時螺旋運動,若剛體 2 相對剛體 1 既有相對轉(zhuǎn)動又有相對移動,剛體通過回轉(zhuǎn)副 1 繞軸S1 旋轉(zhuǎn),剛體同時又通過移動副 2 沿S2 做相對移動,剛體的瞬時轉(zhuǎn)動和瞬時移動的合成,剛體的絕對瞬時運動應(yīng)是此兩個運動的合成，按螺旋代數(shù)和計算,剛體的瞬時螺旋運動,其中下角標 i 表示合成的絕對瞬時運動，其原部及對偶部分別是,可以看出,與 一般不滿足正交的條件，為一般螺旋運動,剛體的瞬時螺旋運動,則合成運動的節(jié)距為,可以看出若轉(zhuǎn)動和移動的夾角 ，則合運動螺旋的節(jié)距為零，說明合成后依然是一個純轉(zhuǎn)動，但轉(zhuǎn)動的軸線發(fā)生偏移，偏移量大小與 v2 大小有

16、關(guān) 。,合成運動的軸線為 ， 將前面得到的 、hi 代入可得,剛體的瞬時螺旋運動,此時合成運動可表示為如下兩項,右側(cè)第一項：是繞軸線 Si 的純轉(zhuǎn)動括號中的對偶矢量部分只表示原點重合點的切向速度分量,則合成運動的軸線方程為,右側(cè)第二項 ：是純移動分量，移動速度大小為 而移動速度的方向也是沿 Si 方向,剛體的瞬時螺旋運動,總之，剛體最一般的運動形式為螺旋運動，表示螺旋運動的物理量是運動螺旋（twist），記為,螺旋的節(jié)矩還可表示為,螺旋軸線為,這樣合成運動的對偶矢量部分仍表示物體上原點重合點的速度 （轉(zhuǎn)動切向速度+沿螺旋軸移動速度）,剛體的瞬時螺旋運動,對偶部矢量表示剛體上原點重合點的線速度矢

17、量，既包含由轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的線速度也包含沿軸線的線速度，假設(shè)沿軸線移動速度為 vi ，是與繞軸線的轉(zhuǎn)動無關(guān)的量。,由于存在關(guān)系式 ，可知 ，即運動螺旋的節(jié)距還等于與螺旋軸線共線的速度 vi 除以角速度 i,當 i 為零時， ，運動螺旋變?yōu)?可見純移動也可看作節(jié)距無窮大的螺旋運動,剛體的瞬時螺旋運動,例：已知一剛體的角速度矢為 ，其上一點的線速度矢為 vP，兩者方向不同。試求螺旋運動的節(jié)距及軸線。,與 共軸的線速度分量為,則螺旋軸線為,將線速度為 vP 的點選做坐標原點，則 vP 即是物體上原點重合點的線速度，則螺旋節(jié)距為,由于,力螺旋,與表示剛體瞬時運動相似，剛體上的作用力也可以用螺旋來表示。,剛體

18、上的作用力,此力對坐標原點之矩C0可表示為，標量 f 與單矢量 S 的線矩 S0 之積，,如剛體上有一作用力 f，它可寫為標量 f 與單位矢量 S 之積,力螺旋,C0 是力 f 對原點之矩，即,此時表示此力的 Plcker 坐標為,當力 f 過原點時，力對原點之矩為零，,或,所以作用在剛體上的力如以單位線矢量表示,力螺旋,在剛體上作用兩個大小相等方向相反的平行力 f1、 f2,剛體上的作用力偶,自由矢量的齊次坐標為(0 ; S)，因此力偶可表示為,顯然此力偶矢量 C 是沿力偶平面的法線方向。,力偶是自由矢量，它在剛體內(nèi)自由地平行移動而不會改變它對剛體作用的效果。,力螺旋,這樣力偶旋量 C$ 也

19、可以認為是一個作用在剛體上的 “無限遠處的”“無限小的力”引起對原點的矩，該力的作用線與力矩的方向 S 正交。,此無限遠處的力所在軸線的 Plcker 坐標為(0 ; S),所以由這個力產(chǎn)生的力偶旋量可表示為,力螺旋,一般情況下作用于一個剛體上的空間力系都可以簡化為一個力 和一個力偶,剛體上的作用力和作用力偶的合成,此力線矢及力偶螺旋又可按旋量代數(shù)和結(jié)合為一個和旋量,這里S1及S2都是單位矢量。此力和力偶可能有不同的方向,式中 Si 為單位矢量，,力螺旋,根據(jù)螺旋代數(shù)和的規(guī)則，合成力的原部和對偶部分別為,可以看出,與 一般不滿足正交的條件，則為一個力螺旋,力螺旋,力螺旋的節(jié)距 hi 為,可以看

20、出若力和力偶的夾角 ，則合力螺旋的節(jié)距為零，說明合成后依然是一個作用力，但力的作用線發(fā)生偏移，偏移量大小與 C2 大小有關(guān) 。,合力螺旋的軸線為 ，將前面得到的 、 hi 代入可得,力螺旋,此時合力螺旋可表示為如下兩項,右側(cè)第一項：是一個純作用力，沿軸線 S1方向 ， 表示 對原點之矩。,合成后作用力的作用軸線為,右側(cè)第二項 ：是純力偶，力偶大小為 而力偶的作用方向也是沿 S1 方向,力螺旋,剛體上作用的空間任意力系，最后可以合成為一個有確定位置的力螺旋（wrench），即一個力線矢 和與其共線的力偶矢 之和,力螺旋的節(jié)矩還可表示為,螺旋軸線為,力螺旋的對偶矢量部分表示或者說是整個力系對原點之

21、矩（線矢力產(chǎn)生的矩+沿線矢力方向力偶矩）,力螺旋,假設(shè)力螺旋的對偶部矢量中沿線矢力軸線方向的力偶分量為 Ci ，這是線矢力大小 fi 無關(guān)的量。,由于存在關(guān)系式 ，可知 ，即力螺旋的節(jié)距還等于與螺旋軸線共線的力偶Ci 除以力的大小 fi,當 fi 為零時， ，力螺旋變?yōu)?可見純力偶也可看作節(jié)距無窮大的力螺旋,運動螺旋和力螺旋的對比,比較運動學(xué)中的運動螺旋及靜力學(xué)中的力螺旋，看到兩者都可以用一個數(shù)量與一個單位旋量的乘積表示，有相似的數(shù)學(xué)關(guān)系。 運動螺旋和力螺旋的節(jié)矩都是原點不變量，都是沿螺旋方向的兩個量之比。,運動螺旋的節(jié)矩,力螺旋的節(jié)矩,運動螺旋和力螺旋的對比,運動學(xué)及靜力學(xué)中的物理量對比,螺

22、旋系及其相關(guān)性,螺旋系（screw system）的概念可以從運動學(xué)引出,螺旋系,因此，決定剛體運動的所有螺旋所組成的集合就是螺旋系。,對于一個開鏈機構(gòu)，或開鏈機器人，末端剛體的運動可以表示為諸構(gòu)件運動的疊加；當每個運動表示為螺旋時，末端的運動就是諸螺旋的線性組合。,適合線性組合規(guī)則的諸螺旋構(gòu)成一個螺旋系。,螺旋系及其相關(guān)性,線性無關(guān)的螺旋最多只有六個。,按螺旋的數(shù)目螺旋系可分為：僅含一個螺旋的單螺旋系，含兩個線性無關(guān)螺旋的雙螺旋系，也稱螺旋2系或2系螺旋；含3個線性無關(guān)螺旋的3系螺旋，以及4系螺旋，5系螺旋和6系螺旋等等,在這些螺旋系中螺旋2系及螺旋3系是最重要又是最基本的，研究的也比較充分

23、,螺旋系及其相關(guān)性,例：一個串聯(lián)機械臂的螺旋系,當所有運動副都表示為螺旋時，按理論力學(xué)，其末端件的運動是所有連接構(gòu)件運動的疊加，在這里也就是所有螺旋的線性組合，這些螺旋就構(gòu)成一個典型的螺旋系。,由于每個運動副有一個相對轉(zhuǎn)動角速度 i，運動可以用一個螺旋$i 表示，那么這個運動副的相對運動就可以表示為 i$i。,螺旋系及其相關(guān)性,例：一個串聯(lián)機械臂的螺旋系,末端件的瞬時運動可以由下面的螺旋方程求得,這里的 n 個螺旋，$1 , $2 , , $n，就構(gòu)成了一個螺旋系。當 n 6 時，它們線性無關(guān)，構(gòu)成一個 n 系螺旋。,其中,螺旋系及其相關(guān)性,對于 n 個螺旋 ， ， 若可以找到一組不全為零的實

24、數(shù) i ，使得和螺旋為零， ，則這 n 個螺旋為線性相關(guān),螺旋的相關(guān)性,按螺旋的加法規(guī)則，則這些螺旋的原部和對偶部的和分別為零，即,螺旋系及其相關(guān)性,螺旋系的線性相關(guān)可以由用Plcker坐標所表示的螺旋矩陣的秩來判斷。,如前所述螺旋的Plcker坐標可以表示為這樣的6個元素（l m n; p q r）。n個螺旋系的相關(guān)性，就可以由螺旋系的Plcker坐標表示的矩陣的秩來判斷,螺旋的Plcker坐標有6個分量，顯然三維空間中線性無關(guān)的螺旋的數(shù)目最多6個。,螺旋系及其相關(guān)性,螺旋的相關(guān)性與坐標系的選擇無關(guān),設(shè)有n個螺旋，其原部和對偶部對于坐標系O表示為,已知這n個螺旋是線性相關(guān)的，按螺旋線性相關(guān)的

25、定義，必可找到一組不全為零的數(shù) i ，使得和螺旋為零,當坐標系由O點移至A點后，各螺旋相應(yīng)地表示為,證明：,螺旋系及其相關(guān)性,螺旋的相關(guān)性與坐標系的選擇無關(guān),按螺旋做和原理和螺旋為,證明（續(xù)）：,和螺旋原部及對偶部三項均為零，所以仍保持有,證畢,螺旋系及其相關(guān)性,將空間直線的相關(guān)性按其表達螺旋的秩來分類,Grassmann線幾何原理（線矢量的相關(guān)性）,線簇秩為 1 時，在3維空間僅有一條直線。,線簇秩為 2 時，有兩種情況： (a) 空間相錯的兩條直線 (b) 平面匯交的線束,螺旋系及其相關(guān)性,線簇秩為 3 時，常見有四種情況。 (a) 空間不平行不相交的三條直線（單葉雙曲面） (b) 匯交點

26、在兩個平面的交線上的兩個平面線束 (c) 空間共點線束 (d) 共面線束,螺旋系及其相關(guān)性,線簇秩為 4 時，也稱為線匯，常見有四種情況。 (4a) 四條相互在空間不平行不相交的直線 (4b) 能同時與另兩條直線相交的若干條直線 (4c) 有1條公共交線的3個平面線束 (4d) 包括共點及共面的直線簇，而且匯交點在其平面上,螺旋系及其相關(guān)性,線簇秩為 5 時，也稱為線性叢，常見有兩種情況。 (5a) 一般線性叢，線性無關(guān)的空間五條不相交的直線 (5b) 特殊線性叢，所有直線能與一條直線相交（因為選該公共交線為Z軸時，所有直線對Z軸的線矩為零）,螺旋系及其相關(guān)性,偶量的相關(guān)性,偶量的情況比較簡單

27、，由于偶量為自由矢量，方向相同的偶量都是線性相關(guān)的，因此只有如下三種情況： (a) 相同方向的偶量只有一個是獨立的 (b) 平面中存在兩個獨立的偶量 (c) 三維空間中存在三個獨立的偶量,螺旋系及其相關(guān)性,線矢量和偶量的混合螺旋系,兩平行線矢和一法向偶量 如果某物體承受了 3 個螺旋，$1， $2 和$3 。前2個是節(jié)距為零的線矢量，第 3 個是節(jié)距為無窮大的偶量，而且后者與前2個螺旋軸線組成的平面相垂直,可以看出：線性無關(guān)的只有兩個,螺旋系及其相關(guān)性,線矢量和偶量的混合螺旋系,共面三線矢和一法向偶量 如果空間有四個螺旋，$1， $2 ，$3和$4 。前3個是節(jié)距為零的線矢量且它們共面，第 4

28、 個是節(jié)距為無窮大的偶量，而且與前3個螺旋軸線所在的平面相垂直,可以看出：線性無關(guān)的只有三個,螺旋系及其相關(guān)性,線矢量和偶量的混合螺旋系,空間平行三線矢及一個相垂直的偶量 這四個螺旋，$1， $2 ，$3和$4 中，前3個是節(jié)距為零且相互平行的線矢量，它們分布在空間不同的平行平面上，第 4 個是節(jié)距為無窮大的偶量，而且后者與前3個螺旋軸線相垂直。,可以看出：線性無關(guān)的只有三個,螺旋系及其相關(guān)性,螺旋系及其相關(guān)性,螺旋系及其相關(guān)性,螺旋的相逆性,反螺旋,剛體被一個螺旋副約束，只允許沿著螺旋 作螺旋運動，其運動螺旋為 有一力螺旋 沿著單位螺旋 作用于物體。,在運動副所允許的位移上，此力螺旋對物體所

29、做的瞬時功率應(yīng)等于力 f2 和力矩 C2 引起的瞬時功率之和,螺旋的相逆性,瞬時功率為,展開并整理,進一步化簡,螺旋的相逆性,另外，此運動螺旋與力螺旋的互易積可表示為,展開并整理,進一步化簡,螺旋的相逆性,通過對比前兩頁結(jié)果，可以得到一個重要結(jié)論： 表示力螺旋和運動螺旋的互易積正是該兩螺旋產(chǎn)生的瞬時功率,如果所研究的兩螺旋 互易積為零,這表示力螺旋對作螺旋運動物體的瞬時功率為零 這里稱這個與螺旋1構(gòu)成互易積為零的螺旋2為螺旋1的反螺旋,螺旋的相逆性,當兩個螺旋的互易積為零時： （1）若一個螺旋表示了機械系統(tǒng)的約束反力，另一個則是為機械系統(tǒng)所允許的運動； （2）反之，若一個螺旋表示了物體的運動，

30、另一個則是機械系統(tǒng)所產(chǎn)生的約束。,當兩個螺旋的互易積不為零時： （1）若物體發(fā)生了運動，則這個做功的力就是物體的驅(qū)動力； （2）若該力螺旋表示機械系統(tǒng)的約束反力，則滿足互易積不為零的運動螺旋就是被系統(tǒng)約束的運動。,螺旋的相逆性,兩螺旋互易積為零的解析式還可以寫為,可知：螺旋的相逆性只與兩個螺旋的參數(shù)有關(guān)，而與坐標系的選擇無關(guān)。,由于,螺旋的相逆性,線矢量和偶量的相逆性概括如下： （1）兩線矢量相逆的充要條件是他們共面，不共面的兩線矢量必不相逆； （2）兩個偶量必相逆； （3）線矢量與偶量僅當垂直才相逆，不垂直不相逆； （4）線矢量和偶量皆自逆；,螺旋的相逆性,兩個線矢量,兩線矢量相逆的充要條件

31、是他們共面（相交或平行）,可知,根據(jù)前面的互易積公式，有,螺旋的相逆性,兩個偶量,可知，此式恒等于零,兩個偶量必相逆。,根據(jù)前面的互易積公式，有,螺旋的相逆性,一個線矢量和一個偶量,根據(jù)互易積公式，有,線矢與偶量僅當垂直才相逆,可知互逆的條件為,螺旋的相逆性,由于滿足,線矢量和偶量皆自逆,一個線矢量和一個偶量,螺旋的相逆性,一般螺旋的相逆性概括如下： （1）任何垂直相交的兩旋量必相逆，與節(jié)距大小無關(guān)； （2）共面時節(jié)距大小相等而符號相反的兩旋量才相逆； （3）同軸時節(jié)距大小相等而符號相反的兩旋量也相逆； （4）當給出節(jié)距為 h1的旋量，在與其相錯的空間另一條確定的直線上，存在唯一的節(jié)距為 h2的反螺旋；,螺旋的相逆性,例：有一單位螺旋 ，有一直線 求過 $2與$1 相逆的反螺旋 $r ?,由于$r 經(jīng)過$2 ，則直線$2 為$r 的軸線，有,式中只有h2是未知的，且可以根據(jù)下式進行求解,螺旋相逆性條件（4）當給出節(jié)距為h1的旋量，在與其相錯的空間另一條確定的直線上，存在唯一的節(jié)距為h2的反螺旋；,螺旋的相逆性,反螺旋系,用一螺旋副 $1將一物體聯(lián)于機架，物體具有一個自由度，若轉(zhuǎn)動角速度為，運動螺旋為$1，其Plcker 坐標為,如另外有一力螺旋 f$r作用于物體上，其Plcker 坐標為,若f$r是運動螺旋$1的反螺旋，則,因此，則當