1、最新 料推薦組合知識框架圖7- 5- 1 組合及其應(yīng)用7 計數(shù)綜合7- 5 組合7- 5- 2 排除法7- 5- 3 插板法教學(xué)目標1.使學(xué)生正確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2.了解組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的組合；3.掌握組合的計算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4.會分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對組合的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，重點掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等知識要點一、組合問題日常生活中有很多 “分組 ”問題如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同

2、學(xué)中選出幾人參加某項活動等等這種 “分組 ”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問題一般地，從n 個不同元素中取出m 個 ( mn )元素組成一組不計較組內(nèi)各元素的次序，叫做從n 個不同元素中取出 m 個元素的一個組合從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān)如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合從 n 個不同元素中取出m 個元素 ( mn )的所有組合的個數(shù)，叫做從n 個不同元素中取出m 個不同元素的組合數(shù)記作Cnm 一般地，求從 n 個不同元素中取出

3、的 m 個元素的排列數(shù)Pmn 可分成以下兩步：第一步：從 n 個不同元素中取出 m 個元素組成一組，共有Cnm 種方法；第二步：將每一個組合中的m 個元素進行全排列，共有Pmm 種排法根據(jù)乘法原理，得到 PnmCnm Pmm 1最新 料推薦mmn（）（）Pnn 1 n 2)n m 1因此，組合數(shù) Cnmm（m）（）3 2 1Pm1m2這個公式就是組合數(shù)公式二、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：CnmCnn m ( mn )這個公式的直觀意義是：Cnm 表示從 n 個元素中取出m 個元素組成一組的所有分組方法Cnn m 表示從 n 個元素中取出 ( nm )個元素組成一組的所有分組

4、方法顯然，從 n 個元素中選出 m 個元素的分組方法恰是從n 個元素中選 m 個元素剩下的 ( nm )個元素的分組方法例如，從5 人中選 3 人開會的方法和從5 人中選出 2 人不去開會的方法是一樣多的，即C53C52 規(guī)定 Cnn1， Cn01 例題精講模塊一、組合及其應(yīng)用【例 1 】 計算：C62 ， C64 ； C72， C75 （2 級）2P 2654P4654 3【解析】 C6615， C661522443 2P21P412P727 65P75765 4 3C72221， C7554 321P21P52 1【小結(jié)】 注意到上面的結(jié)果中，有C62C64 ， C72C75 【例 2 】

5、 計算：C200198 ；C5655 ；C100982C100100 （2 級）【解析】 198200 1982P200220019919900；C200C200C200P22125556 551P156C56C56C565656 ；P1112C100982C100100C100221P1002100992 4948 P2212【鞏固】 計算：399822C12 ；C1000 ； P8C8 （2 級）2最新 料推薦【解析】 C123121110220321 C1000998C10002100099949950021 P82C828 78 756 28 28 21【例 3 】6 個朋友聚會，每兩

6、人握手一次，一共握手多少次？（2 級）【解析】 這與課前挑戰(zhàn)的情景是類似的因為兩個人握手是相互的，6 個朋友每兩人握手一次，握手次數(shù)只與握手的兩個人的選取有關(guān)而與兩個人的順序無關(guān)，所以這是個組合問題由組合數(shù)公式知，C626515 (次 )所以一共握手15 次21【鞏固】某班畢業(yè)生中有 20名同學(xué)相見了，他們互相都握了一次手，問這次聚會大家一共握了多少次手？（2 級）【解析】 C202 2019190 (次 )21【例 4 】 （難度等級）學(xué)校開設(shè)6門任意選修課，要求每個學(xué)生從中選學(xué)3門，共有多少種不同的選法？（ 4 級）【解析】 被選中的3門排列順序不予考慮，所以這是個組合問題由組合數(shù)公式知，

7、365420 (種 )C6321所以共有20種不同的選法【例 5 】 某校舉行排球單循環(huán)賽，有12個隊參加問：共需要進行多少場比賽？（2 級）【解析】 因為比賽是單循環(huán)制的，所以，12 個隊中的每兩個隊都要進行一場比賽，并且比賽的場次只與兩個隊的選取有關(guān)而與兩個隊選出的順序無關(guān)所以，這是一個在12 個隊中取2 個隊的組合問題由組合數(shù)公式知，共需進行2121166 (場 )比賽C1221【鞏固】 芳草地小學(xué)舉行足球單循環(huán)賽，有24 個隊參加問：共需要進行多少場比賽？（2 級）【解析】 由組合數(shù)公式知，共需進行C2422423276 (場 )比賽21【例 6 】 一批象棋棋手進行循環(huán)賽，每人都與其

8、他所有的人賽一場，根據(jù)積分決出冠軍，循環(huán)賽共要進行78 場，那么共有多少人參加循環(huán)賽？（4 級）【解析】 從若干人中選出2人比賽，與選出的先后順序無關(guān)，這是一個組合問題依題意，假設(shè)有n 個人參Cn2n（n）1） 782 1312 ，所以 n13 ，即一共有13 人加循環(huán)賽，應(yīng)該有2178 ，所以 n （ n1參加循環(huán)賽【例 7 】 某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3 個階段進行，第一階段：將參加比賽的48 名選手分成8 個小組，每組6 人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將8 個小組產(chǎn)生的前2 名共 16 人再分成 4個小組，每組 4人，分別進行單循環(huán)賽； 第三階段： 由 4 個小組產(chǎn)生的4個第

9、1名進行2 場半決賽和2 場決賽，確定1至4 名的名次問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？（4 級）3最新 料推薦【解析】 第 一 段中，每個小 內(nèi)部的6個人每2 人要 一 ， 內(nèi) C62 6515 ，共 8 個小 ，有2115 8 120 ；第二 段中，每個小 內(nèi)部4人中每2432 人 一 ， 內(nèi) C426 ，共 4 個小 ，有 6 4 241 ；第三 段 2 2 4 根據(jù)加法原理，整個 程一共有120 24 4 148 比 【例 8 】 從分 寫有 1、 3、 5 、 7 、 9 的五 卡片中任取兩 ，做成一道兩個一位數(shù)的乘法 ， ： 有多少個不同的乘 ？ 有多少個不同的乘法算式？（6 ）

10、【解析】 要考 有多少個不同乘 由于只要從5 卡片中取兩 ，就可以得到一個乘 ，所以，有多少個乘 只與所取的卡片有關(guān)，而與卡片取出的 序無關(guān)，所以 是一個 合 由 合數(shù)公式，共有2P525410 (個 )不同的乘 C5P2212 要考 有多少個不同的乘法算式， 它不 與兩 卡片上的數(shù)字有關(guān)， 而且與取到兩 卡片的 序有關(guān)，所以 是一個排列 由排列數(shù)公式，共有P525420 (種) 不同的乘法算式【鞏固】9、 8、 7、 6、5、 4、 3、 2、 1、 0 這 10 個數(shù)字中劃去7 個數(shù)字，一共有多少種方法？（4 ）【解析】 相當于在10 個數(shù)字 出7 個劃去，一共有10 9 8 76 5 4

11、（ 7 6 5 43 2 1） =10 9 8（ 3 2 1） =120 種【鞏固】從分 寫有 1、 2 、 3、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 的八 卡片中任取兩 ，做成一道兩個一位數(shù)的加法 ，有多少種不同的和？（4 ）2P287【解析】 C8828 (種 )P2221【例 9 】 在 1100 中任意取出兩個不同的數(shù)相加，其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法？（6 ）【解析】兩個數(shù)的和是偶數(shù)，通 前面 學(xué) 的奇偶分析法， 兩個數(shù)必然同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，而取出的兩個數(shù)與 序無關(guān)，所以是 合 從 50個偶數(shù)中取出2個，有 C50250491225 (種 )取法；21從 50個奇數(shù)中取出2個，

12、也有 C50250 491225 (種 )取法2 1根據(jù)加法原理，一共有 1225 1225 2450 (種 )不同的取法【小 】 在本 中， 兩個數(shù)的和限定了條件不妨 個條件 行分 ，如把和 偶數(shù)分成兩奇數(shù)相加或兩偶數(shù)相加 可以把 化【鞏固】從 19 、 20、 93、 94 這 76個數(shù)中， 取兩個不同的數(shù)，使其和 偶數(shù)的 法 數(shù)是多少？（6 ）【解析】 19 、 20 、 、 93 、 94 中 有 38 個 奇 數(shù) ， 38 個 偶 數(shù) ， 從 38 個 數(shù) 中 任 取 2 個數(shù) 的 方 法 有 ：4最新 料推薦C3823837703 (種 )，所以選法總數(shù)有：703 21406 (種

13、 )21【例 10 】一個盒子裝有 10個編號依次為1， 2， 3， ， 10的球，從中摸出 6 個球，使它們的編號之和為奇數(shù)，則不同的摸法種數(shù)是多少？（6級）【解析】 10個編號中5 奇 5 偶，要使6 個球的編號之和為奇數(shù)，有以下三種情形：5奇 1偶，這時對奇數(shù)只有1種選擇，對偶數(shù)有 5種選擇由乘法原理，有1 5 5 (種 )選擇；3奇 3偶，這時對奇數(shù)有C5354310 (種)選擇，對偶數(shù)也有 C53 54310 (種)選擇由乘321321法原理，有 10 10100 (種 )選擇； 1 奇 5 偶，這時對奇數(shù)有 5 種選擇，對偶數(shù)只有 1 種選擇由乘法原理，有 5 1 5 (種 )選擇

14、由加法原理，不同的摸法有5 100 5 110(種 )【例 11 】用 2 個 1， 2 個 2， 2 個 3 可以組成多少個互不相同的六位數(shù)？用 2個0 ， 2 個 1， 2個 2可以組成多少個互不相同的六位數(shù)？（6 級）【解析】 先考慮在 6 個數(shù)位上選2 個數(shù)位放 1 ，這兩個 1的順序無所謂，故是組合問題，有265C6215 (種 )1選法；再從剩下的4 個數(shù)位上選2個放 2243，有 C426 (種 )選法；剩下的 2 個數(shù)位放 3 ，只有 1種1選法由乘法原理，這樣的六位數(shù)有15 6 1 90 (個 )在前一問的情況下組成的90個六位數(shù)中， 首位是 1、 2 、 3的各 30個如果

15、將 3全部換成0 ，這 30 個首位是 0 的數(shù)將不是六位數(shù)，所以可以組成互不相同的六位數(shù)9030 60(個 )【例 12 】從 1， 3， 5 ， 7 ， 9 中任取三個數(shù)字，從2 ，4 ，6， 8中任取兩個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，一共可以組成多少個數(shù)？（6 級）【解析】 整個過程可以分三步完成：第一步， 從 1， 3 ， 5， 7， 9 中任取三個數(shù)字， 這是一個組合問題， 有 C53種方法；第二步，從 2， 4， 6，8 中任取兩個數(shù)字，也是一個組合問題，有C42種方法；第三步，用取出的5個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，有 P5種方法 所以總的個數(shù)為：C 3C2P5 720055

16、45（個）【例 13 】從 0 、 0、1、 2 、 3 、 4 、5這七個數(shù)字中， 任取 3 個組成三位數(shù)， 共可組成多少個不同的三位數(shù)？（這里每個數(shù)字只允許用1次，比如 100、210 就是可以組成的， 而 211 就是不可以組成的） （ 2008年“陳省身杯”國際青少年數(shù)學(xué)邀請賽五年級）（ 4 級）【解析】 若三位數(shù)不含有 0，有5 4360 （個），若含有一個0 ，有 5 42 40（個），若含有兩個 0 ，有5 （個），所以共有60405105（個）【例 14 】用 2 個 1，2 個 2，2 個 3 可以組成多少個互不相同的六位數(shù)？用 2 個 0，2 個 1，2 個 2 可以組成多

17、少個互不相同的六位數(shù)？（ 6 級）【解析】先考慮在6 個數(shù)位上選2 個數(shù)位放1，這兩個 1 的順序無所謂，故是組合問題有C6215 種選法；再從剩下的4 個數(shù)位上選2 個放 2，有 C426 種選法；剩下的2 個數(shù)位放 3，只有 1 種選法由乘法原理，這樣的六位數(shù)有 15 6190個5最新 料推薦在前一問的情況下組成的90 個六位數(shù)中，首位是1、 2、 3 的各 30個如果將 3 全部換成0，這 30個首位是 0 的數(shù)將不是六位數(shù)，所以可以組成互不相同的六位數(shù)9030 60 個【鞏固】用兩個 3，一個 2，一個1，可以組成多少個不重復(fù)的4 位數(shù)？（ 6 級）【解析】這道題由于3 有 2 個，是

18、其中最特殊的，所以從它入手先從四位數(shù)的4 個數(shù)位中選擇2 個來放 3，有 C426種選法；然后剩下的兩個數(shù)位放1 和 2，有 2 種放法；根據(jù)乘法原理，共有6212 種不同的方法，所以可以組成12 個不重復(fù)的四位數(shù)【例 15 】工廠某日生產(chǎn)的 10 件產(chǎn)品中有2 件次品，從這10 件產(chǎn)品中任意抽出3 件進行檢查，問：（ 1）一共有多少種不同的抽法？（ 2）抽出的3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少種？（ 3）抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有多少種？（6 級）【解析】 （ 1）從 10 件產(chǎn)品中抽出3 件，抽法總數(shù)為 C103 錯誤！未找到引用源。=120（種）（ 2） 3 件中恰好一件次

19、品，那么還有兩件正常品抽法總數(shù)為 錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。=56（種）（ 3）與 “至少有一件是次品 ”互補的事件是 “全都不是次品 ”全都不是次品的抽法總數(shù)為 C83 錯誤！未找到引用源。 =56（種）所以至少有一件次品的抽法總數(shù)為120-56=64 （種）【例 16 】 200 件產(chǎn)品中有5 件是次品，現(xiàn)從中任意抽取4 件，按下列條件，各有多少種不同的抽法（只要求列式）？都不是次品；至少有1 件次品；不都是次品（ 6 級）【解析】 第 題：與順序無關(guān)；都不是次品，即全部都是正品，正品有195 件第 題：與順序無關(guān)；至少有 1 件次品，即有1 件次品、 2 件次品、 3 件次

20、品、 4 件次品等四類情況，次品共5 件可用直接法解答，也可用間接法解答第 題：與順序無關(guān)；不都是次品，即至少有1 件是正品 都不是次品，即全部為正品共有抽法 C1954 種 至少有 1 件次品，包括1件、 2 件、 3 件、 4 件次品的情況共有抽法 (C1953C51C1952C52C1951C53C54 ) 種（或 (C2004C1954 ) 種） 不都是次品，即至少有1件正品共有抽法 (C1951C53C1952C52C1953C51C1954 ) 種（或 (C2004C54 ) 種）【例 17 】在一個圓周上有10個點，以這些點為端點或頂點，可以畫出多少不同的： 直線段；三角形； 四

21、邊形（ 6 級）【解析】 由于 10個點全在圓周上， 所以這 10個點沒有三點共線，故只要在 10個點中取 2 個點，就可以畫出一條線段；在 10 個點中取3 個點，就可以畫出一個三角形；在10 個點中取 4 個點，就可以畫出一個四邊形，三個問題都是組合問題由組合數(shù)公式：2P 2109 可畫出 C101045 (條 )直線段P22216最新 料推薦3P1031098120 可畫出 C(個 )三角形10P 332134 可畫出 C104P1010987210 (個) 四邊形P444321【鞏固】 平面內(nèi)有10 個點，以其中每2 個點為端點的線段共有多少條？（4 級）【解析】 這道題不考慮線段兩個

22、端點的順序，是組合問題， 實際上是求從10 個元素中取出2 個元素的組合數(shù)，由組合數(shù)公式，C10210945 ，所以以 10個點中每 2 個點為端點的線段共有45條21【鞏固】 在正七邊形中，以七邊形的三個頂點為頂點的三角形共有多少個？（4 級）【解析】 三角形的形狀與三個頂點選取的先后順序無關(guān)，所以這是一個組合問題，實際上是求從7 個點中選出 3個點的選法，等于C7376535 (種)321【例 18 】平面內(nèi)有12個點，其中6 點共線，此外再無三點共線 可確定多少個三角形？可確定多少條射線？（ 6 級）【解析】 分三類： 有 2個頂點在共線的6 點中，另 1個頂點在不共線的6 點中的三角形

23、有266590 個；6 C621 有 1個頂點在共線的6 點中，另 2個頂點在不共線的6 點中的三角形有6 C6266590 (個)；21 3個頂點都在不共線的6 點中的三角形有3654個C632201根據(jù)加法原理，可確定909020200 個三角形 兩點可以確定兩條射線，分三類： 共線的 6 點，確定 10條射線； 不共線的 6點，每兩點確定兩條射線，共有265(條 )射線；2 C623021 從共線的 6點與不共線的6 點中各取一個點可以確定6 62 72 (條 )射線根據(jù)加法原理，可以確定 1030 72 112 (條)射線【鞏固】 如圖，問：圖 1中，共有多少條線段？ 圖 2 中，共有

24、多少個角？（4 級）BP 9.P3P 2AC 1 C 2 C 3 C 4 C 5BP1OA圖 1圖 2【解析】 在線段 AB 上共有 7 個點（包括端點A 、 B ）注意到，只要在這七個點中選出兩個點，就有7最新 料推薦一條以這兩個點為端點的線段，所以，這是一個組合問題，而C72 表示從 7 個點中取兩個不同點的所有取法，每種取法可以確定一條線段，所以共有C72條線段由組合數(shù)公式知，共有2P7276C7P2221(條 )不同的線段；12 從 O 點出發(fā)的射線一共有11條，它們是 OA ， OP1 ， OP2 ， OP3 ， OP9 ， OB 注意到每兩條射線可以形成一個角，所以，只要看從 11

25、條射線中取兩條射線有多少種取法，就有多少個角 顯然，是組合問題，共有C112 種不同的取法，所以，可組成C112 個角2P11211 10由組合數(shù)公式知，共有C11P222155 (個 )不同的角【例 19 】某班要在 42名同學(xué)中選出3名同學(xué)去參加夏令營，問共有多少種選法？如果在42人中選3人站成一排，有多少種站法？（6 級）【解析】 要在 42人中選 3人去參加夏令營，那么，所有的選法只與選出的同學(xué)有關(guān)，而與三名同學(xué)被選出的順序無關(guān)所以，應(yīng)用組合數(shù)公式，共有C423 種不同的選法要在 42人中選出 3人站成一排，那么，所有的站法不僅與選出的同學(xué)有關(guān)，而且與三名同學(xué)被選出的順序有關(guān)所以，應(yīng)用

26、排列數(shù)公式，共有P423 種不同的站法由組合數(shù)公式，共有3P423424140C42P33211480 (種 )不同的選法；13由排列數(shù)公式，共有P4234241 4068880 (種 )不同的站法【鞏固】學(xué)校新修建的一條道路上有12 盞路燈，為了節(jié)省用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中2 盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2 盞燈，那么熄燈的方法共有多少種？（6 級）【解析】 要熄滅的是除兩端以外的2 盞燈，但不相鄰可以看成有10 盞燈，共有9 個空位，在這9 個空位中找2 個空位的方法數(shù)就是熄滅2 盞燈的方法數(shù)，那么熄燈的方法數(shù)有298C9236 (種 )1【例 20 】將三盤同

27、樣的紅花和四盤同樣的黃花擺放成一排，要求三盤紅花互不相鄰，共有_ 種不同的方法（ 2007 年“希望杯”第一試） （ 4 級）【解析】 因為三盤紅花不能相鄰，所以可以先將四盤黃花擺好，紅花只能擺在黃花之間或者黃花的兩邊這樣 共 有 5 個 空 ， 每 個 空 最 多 只 能 放 一 盤 紅 花 ， 相 當 于 從 5 個 元 素 中 取 出 3 個 ， 所 以 共 有C5354310 種不同的放法123【例 21 】在一次合唱比賽中，有身高互不相同的8 個人要站成兩排，每排4 個人，且前后對齊而且第二排的每個人都要比他身前的那個人高，這樣才不會被擋住 一共有多少種不同的排隊方法？（ 4 級）【

28、解析】 因為所有人的身高兩兩不同，所以只要確定了位于同一列的兩個人是誰，也就確定了他們的前后關(guān)8最新 料推薦系所以排隊方法總數(shù)為：C82C62C42281562520 （種）【例 22 】在一次考試的選做題部分， 要求在第一題的4 個小題中選做 3 個小題，在第二題的3 個小題中選做 2個小題，在第三題的 2 個小題中選做 1個小題，有多少種不同的選法？（6 級）【解析】 由于選做的題目只與選取的題目有關(guān)，而與題目的順序無關(guān)，所以在三道題中選題都是組合問題第一題中， 4個小題中選做3個，有 C434324 (種)選法；321第二題中， 3個小題中選做2個，有 C32323 (種 )選法；21第

29、三題中， 2 個小題中選做1個，有121(種 )選法C221根據(jù)乘法原理，一共有 43 2 24(種 )不同的選法【例 23 】某年級 6 個班的數(shù)學(xué)課，分配給甲、乙、丙三名數(shù)學(xué)老師任教，每人教兩個班，分派的方法有多少種？（ 6 級）【解析】 分三步進行：第一步，取兩個班分配給甲，與先后順序無關(guān)，是組合問題，有265(種 )選法；C62151第二步，從余下的4 個班中選取兩個班給乙，有C42 436 (種 )選法；21第三步，剩余的兩個班給丙，有1種選法根據(jù)乘法原理，一共有 156 190 (種 )不同的分配方法【例 24 】 ( 2007 年“迎春杯”高年級初賽) 將 19 枚棋子放入 5

30、5的方格網(wǎng)內(nèi)，每個方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子個數(shù)均為奇數(shù)個，那么共有_ 種不同的放法 （4 級）【解析】 5 5 的方格網(wǎng)共有25 個方格，放入 19 枚棋子，說明還有6 個空格由于棋子的數(shù)目較多，直接考慮棋子比較困難，可以反過來考慮6 個空格由于每行每列的棋子個數(shù)均為奇數(shù)個，而每行每列都有 5 個方格，說明每行每列的空格數(shù)都是偶數(shù)個那么每行每列的空格數(shù)可能為0， 2 或 4如果有某一行或某一列的空格數(shù)為4 個，為保證每行每列的空格數(shù)都是偶數(shù)個，那么這4 個空格所在的列或行都至少還有另外1 枚棋子，這樣至少有8 個空格，與題意不符，所以每行每列的空格數(shù)不能為4 個，只能為 0 個或

31、 2 個則肯定是某 3 行和某 3 列中每行每列各有2 個空格，如下：其中表示空格，表示有棋子的方格，其它的方格則全部有棋子選擇有空格的3 行 3 列有C53C5310 10 100 種選法，在這3 行 3 列中選擇6 個空格 ( 也相當于每行每列選擇 1枚棋子 ) 有 3216 種選法，所以總共有1006 600種不同的放法【例 25 】甲射擊員在練習(xí)射擊，前方有三種不同類型的氣球，共3串，有一串是紅氣球3 個，有一串是黃氣球 2 個，有一串是綠氣球4 個，而且每次射擊必須射最下面的氣球，問有多少種不同的射法？（ 6 級）9最新 料推薦紅黃綠【解析】根據(jù)射擊規(guī)則，任意一種打法都對應(yīng)三個紅色氣

32、球，二個黃色氣球，四個綠色氣球，即9個物體的排列，當然有987654321種排列方法但是，其中三個紅色氣球是不能隨意排列的，應(yīng)該是固定由下到上的，而上面卻包括了它的隨意排列的情況，所以應(yīng)該除以321 ，其他黃色氣球、綠色氣球依此類推所以共有射擊方法：(987654321)(321)(21)(4321)(9 8 7 6 54)(21)(4321) 1260 ( 種 ) 本題也可以這樣想：任意一種打法都對應(yīng)9 個物體的排列，從中先選出3 個位置給紅色氣球，有 C93種選法；這 3個紅色氣球的順序是固定的，所以它們之間只有一種排列順序；再從剩下的6 個位置中選出 2 個給黃色氣球， 有 C62 種選

33、法； 它們之間也只有一種排列順序；剩下的 4 個位置給綠色氣球，它們之間也只有一種排列順序所以，根據(jù)乘法原理，共有C93C621260種不同的射法【例 26 】有 8 個隊參加比賽，采用如下圖所示的淘汰制方式問在比賽前抽簽時，可以得到多少種實質(zhì)不同的比賽安排表？（ 6 級）【解析】 ( 法 1) 先選 4 人，再考慮組合的方法8 選 4 有 C8470 種組合，其中實質(zhì)不同的有一半，即70 2 35 種；對每一邊的4 個人，共有實質(zhì)性不同的C422 3 種，所以，可以得到353 3315種實質(zhì)不同的比賽安排表( 法 2) 先考慮所有情況，再考慮重復(fù)情況首先是 8!87654321考慮到實質(zhì)相同

34、：1、 2； 3、 4； 5、 6；7、 8；一、二；三、四；A 、 B ，以上 7 組均可交換，即每一種實際上重復(fù)計算了78! 27315 2 次，答案為：【例 27 】某池塘中有 A、B、C 三只游船，A船可乘坐 3人， B 船可乘坐2 人， C 船可乘坐 1 人，今有 3 個成人和 2 個兒童要分乘這些游船，為安全起見， 有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們 5 人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？（6 級）【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有1個成人陪同，所以兒童不能乘坐C 船 若這 5 人都不乘坐 C 船，則恰好坐滿A、B 兩船， 若兩個兒童在同一條船上，

35、只能在A 船上，10最新 料推薦此時 A 船上還必須有 1個成人，有 C133 種方法； 若兩個兒童不在同一條船上，即分別在A、B 兩船上，則 B 船上有 1 個兒童和 1個成人， 1 個兒童有 C212 種選擇， 1 個成人有 C313 種選擇，所以有236 種方法故 5 人都不乘坐 C 船有 369 種安全方法； 若這 5 人中有 1人乘坐 C 船，這個人必定是個成人，有 C313 種選擇 其余的 2 個成人與 2 個兒童， 若兩個兒童在同一條船上，只能在A 船上，此時A 船上還必須有 1 個成人，有 C122 種方法，所以此時有 326 種方法； 若兩個兒童不在同一條船上，那么B 船上有

36、 1個兒童和 1 個成人，此時1個兒童和 1個成人均有C122 種選擇，所以此種情況下有32212 種方法；故 5 人中有 1人乘坐C 船有 61218 種安全方法所以，共有91827 種安全乘法【例 28 】有藍色旗 3面，黃色旗2 面，紅色旗 1 面這些旗的模樣、大小都相同現(xiàn)在把這些旗掛在一個旗桿上做成各種信號，如果按掛旗的面數(shù)及從上到下顏色的順序區(qū)分信號，那么利用這些旗能表示多少種不同信號 ? （4 級）【解析】 按掛旗的面數(shù)來分類考慮第一類：掛一面旗從藍、黃、紅中分別取一面，可以表示3種不同信號；第二類：掛兩面旗按顏色分成：紅黃（ P222 種）；紅藍（ P222 種）；黃藍（ P222 種）；黃 黃（1種）；藍藍（1種）；共 8 種；第三類：掛三面旗 按顏色分類： 紅藍藍（ C313 種）；紅黃黃（ C313 種）；紅黃藍（ P336種）；黃黃 藍（ C313種）；黃藍藍（ C313 種）；藍藍藍（ 1種）；共 19 種；第四類：掛四面旗按顏色分類：紅黃黃藍（ C42212或 P44212 種）；紅黃藍藍（ C42212 或 P44212 種）；紅藍藍藍（ C414種）；黃黃藍藍（ C42C226種）；