1、1.1.1正弦定理(二),第一章 1.1正弦定理和余弦定理,1.熟記并能應(yīng)用正弦定理的有關(guān)變形公式解決三角形中的問題. 2.能根據(jù)條件，判斷三角形解的個(gè)數(shù). 3.能利用正弦定理、三角變換解決較為復(fù)雜的三角形問題,學(xué)習(xí)目標(biāo),題型探究,問題導(dǎo)學(xué),內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,問題導(dǎo)學(xué),知識點(diǎn)一正弦定理的常見變形,1.sin Asin Bsin C ；,3.a，b ，c ；,4.sin A_，sin B_，sin C_.,abc,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,2R,思考1,知識點(diǎn)二判斷三角形解的個(gè)數(shù),在ABC中，a9，b10，A60，判斷三角形解的個(gè)數(shù).,答案,故對應(yīng)的鈍角B有90B120，

2、 也滿足AB180，故三角形有兩解.,已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，三角形解的個(gè)數(shù)并不一定唯一. 例如在ABC中，已知a，b及A的值.由正弦定理 在由sin B求B時(shí)，如果ab，則有AB，所以B為銳角，此時(shí)B的值唯一；如果ab，則有AB，所以B為銳角或鈍角，此時(shí)B的值有兩個(gè).,梳理,如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別相等，則這兩個(gè)三角形全等.即三角形的兩邊及其夾角確定時(shí)，三角形的六個(gè)元素即可完全確定，故不必考慮解的個(gè)數(shù)的問題.,思考2,答案,已知三角形的兩邊及其夾角，為什么不必考慮解的個(gè)數(shù)？,解三角形4個(gè)基本類型： (1)已知三邊；(2)已知兩邊及其夾角；(3)已知兩邊及其一邊對角； (4)

3、已知一邊兩角. 其中只有類型(3)解的個(gè)數(shù)不確定.,梳理,知識點(diǎn)三正弦定理在解決較為復(fù)雜的三角形問題中的作用,可借助正弦定理把邊化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移項(xiàng)后就是一個(gè)三角恒等變換公式sin Acos Bcos Asin B0.,思考1,答案,在ABC中，已知acos Bbcos A.你能把其中的邊a，b化為用角表示嗎(打算怎么用上述條件)?,梳理,一個(gè)公式就是一座橋梁，可以連接等號兩端.正弦定理的本質(zhì)就是給出了三角形的邊與對角的正弦之間的聯(lián)系.所以正弦定理主要功能就是把邊化為對角的正弦或者反過來.簡稱邊角互化.,盡管正弦定理給出了三角形的邊與對角的正弦之間的聯(lián)

4、系，但畢竟不是邊等于對角正弦，這里還涉及到外接圓半徑.故使用時(shí)要么能消掉外接圓半徑(如思考1)，要么已知外接圓半徑.,思考2,什么時(shí)候適合用正弦定理進(jìn)行邊角互化？,答案,題型探究,例1在ABC中，已知a20 cm，b28 cm，A40，解三角形.(角度精確到1，邊長精確到1 cm),類型一判斷三角形解的個(gè)數(shù),解答,因?yàn)?a，BA， (1)當(dāng)B64時(shí)， C180(AB)180(4064)76， (2)當(dāng)B116時(shí)， C180(AB)180(40116)24， 綜上，B64，C76，c30 cm或B116，C24，c13 cm.,引申探究 例1中b28 cm，A40不變，當(dāng)邊a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，

5、ABC有兩解(范圍中保留sin 40)?,解答,如圖，A40，CDAD. AC28 cm， 以C為圓心，a為半徑畫圓弧， 當(dāng)CDaAC， 即bsin Aab， 28sin 40a28時(shí)， ABC有兩解(AB1C，AB2C均滿足題設(shè)).,已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，首先求出另一邊的對角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時(shí)，要根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定該角有一個(gè)值還是兩個(gè)值.或者根據(jù)該正弦值(不等于1時(shí))在0180范圍內(nèi)求角，一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角，只要不與三角形內(nèi)角和定理矛盾，就是所求.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練1已知一三角形中a b6，A30，判斷三角形是否有解，若有解，解該三角形.,解答,又因?yàn)閎

6、sin A6sin 303，bsin Aab， 所以本題有解，且有兩解，由正弦定理，得,因?yàn)閎a，BA，B(0，180)， 所以B60或120.,類型二利用正弦定理求最值或取值范圍,例2在銳角ABC中，角A，B，C分別對應(yīng)邊a，b，c，a2bsin A，求cos Asin C的取值范圍.,解答,a2bsin A， 由正弦定理，得sin A2sin Bsin A，,由銳角ABC知，,反思與感悟,解決三角形中的取值范圍或最值問題： (1)先利用正弦定理理清三角形中元素間的關(guān)系或求出某些元素. (2)將所求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)(三角函數(shù))，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值問題.,跟蹤訓(xùn)練

7、2在ABC中，若C2B，求 的取值范圍.,解答,因?yàn)锳BC，C2B，,例3已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若ac2b,2cos 2B8cos B50，求角B的大小并判斷ABC的形狀.,解答,類型三正弦定理與三角變換的綜合,2cos 2B8cos B50， 2(2cos2B1)8cos B50. 4cos2B8cos B30， 即(2cos B1)(2cos B3)0.,ac2b.,ABC是等邊三角形.,反思與感悟,借助正弦定理可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系后，常利用三角變換公式進(jìn)行變形、化簡，確定角的大小或關(guān)系，繼而判斷三角形的形狀、證明三角恒等式.,跟蹤

8、訓(xùn)練3已知方程x2(bcos A)xacos B0的兩根之積等于兩根之和，其中a、b為ABC的兩邊，A、B為兩內(nèi)角，試判斷這個(gè)三角形的形狀.,解答,設(shè)方程的兩根為x1、x2， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 bcos Aacos B. 由正弦定理，得sin Bcos Asin Acos B， sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0. A、B為ABC的內(nèi)角， 0A，0B，AB， AB0，即AB. 故ABC為等腰三角形.,當(dāng)堂訓(xùn)練,1.在ABC中，AC BC2，B60，則角C的值為 A.45 B.30 C.75 D.90,答案,解析,1,2,3,A45，C75.,1,2,3,2.在ABC中，若 則ABC是 A.直角三角形 B.等邊三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形,答案,解析,tan Atan Btan C， 又A，B，C(0，)，ABC， 故三角形為等邊三角形.,1,2,3,3.在ABC中，若abc135，求 的值.,解答,規(guī)律與方法,1.已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個(gè)角，這時(shí)三角形解的情況可能無解，也可能一解或兩解.首先求出另一邊的對角的正弦值，當(dāng)正弦值大于1或小于