1、2.1函數(shù)的概念及其表示,-2-,-3-,知識梳理,雙擊自測,1.函數(shù)與映射的概念,數(shù)集,集合,任意 數(shù)x,都有唯一確定,數(shù)f(x),任意,元素x,都有唯一確定 元素y,f:AB,f:AB,-4-,知識梳理,雙擊自測,2.函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y=f(x),xA中,x叫做自變量,叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,_叫做函數(shù)的值域,顯然,值域是集合B的子集. (2)函數(shù)的三要素:、和. (3)函數(shù)的表示方法有、 和 . (4)相等函數(shù):如果兩個函數(shù)的 相同,并且完全一致,我們就稱這兩個函數(shù)相等.,x的取值范圍A,函數(shù)值的集合f(x)|xA,定義域 值域

2、對應(yīng)關(guān)系,解析法 圖象法 列表法,定義域,對應(yīng)關(guān)系,-5-,知識梳理,雙擊自測,3.分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域的不同子集上,因不同而分別用幾個不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù). 分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的,其值域等于各段函數(shù)的值域的,分段函數(shù)雖由幾個部分組成,但它表示的是一個函數(shù).,對應(yīng)關(guān)系,并集,并集,-6-,知識梳理,雙擊自測,4.常見函數(shù)定義域的求法,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)1,g(x)0,f(x)0,-7-,知識梳理,雙擊自測,1.函數(shù) 的定義域為() A.-1,1B.(0,1 C.-1,0)D.-1,0)(0,1,2.設(shè)f,g都是從A到A的映射(

3、其中A=1,2,3),其對應(yīng)關(guān)系如下表:,則f(g(3)等于() A.1B.2C.3D.不存在,D,C,解析:由題中表格知g(3)=1,故f(g(3)=f(1)=3.,-8-,知識梳理,雙擊自測,3.下列函數(shù)中,是同一個函數(shù)的是(),4.已知集合M=-1,1,2,4,N=0,1,2,給出下列四個對應(yīng)關(guān)系,其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是() A.y=x2B.y=x+1 C.y=2xD.y=log2|x|,B,解析:當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系都一致時為同一個函數(shù),B項符合條件.,D,解析:由于log2|-1|=log21=0N,log2|2|=1N,log2|4|=2N,所以能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是y=lo

4、g2|x|,應(yīng)選D.,-9-,知識梳理,雙擊自測,C,解析:由條件可知,當(dāng)x00時,f(x0)=2x0+1=3,所以x0=1; 當(dāng)x00時,f(x0)= =3,所以x0=-1.所以實數(shù)x0的值為-1或1.,-10-,知識梳理,雙擊自測,自測點(diǎn)評 1.函數(shù)是特殊的映射,二者區(qū)別在于映射定義中的兩個集合是非空集合,而函數(shù)定義中的兩個集合必須是非空數(shù)集. 2.判斷兩個函數(shù)是否為相等函數(shù),關(guān)鍵是看定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同.定義域和對應(yīng)關(guān)系相同,值域必然相同,函數(shù)必然是相等函數(shù). 3.函數(shù)的定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ),對函數(shù)的性質(zhì)的討論必須在定義域上進(jìn)行,要堅持“定義域優(yōu)先”原則. 4.分段函數(shù)的問題要依據(jù)

5、自變量所屬的區(qū)間選擇對應(yīng)關(guān)系求解.當(dāng)自變量不確定時,需分類討論.,-11-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,函數(shù)與映射的概念(考點(diǎn)難度) 例1(1)下列從集合A到集合B的對應(yīng): A=P|P是數(shù)軸上的點(diǎn),B=R,f:數(shù)軸上的點(diǎn)與它代表的實數(shù); A=B=R,f:求倒數(shù); A=B=R,f:求平方數(shù); A=0,+),B=R,f:求平方根. 其中能構(gòu)成映射的是,能構(gòu)成函數(shù)的是. (2)(2015浙江高考)存在函數(shù)f(x)滿足:對于任意xR都有() A.f(sin 2x)=sin xB.f(sin 2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|,D,-12-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)

6、二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,解析: (1)是映射,但不是函數(shù);因為集合A中0在集合B中沒有元素與之對應(yīng),不能構(gòu)成映射,不是函數(shù);是映射,且為函數(shù);因為任何一個正數(shù)都有兩個平方根與之對應(yīng),所以不是映射,也不是函數(shù).,-13-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,方法總結(jié)1.函數(shù)是一種特殊的映射,要檢驗給定的兩個變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系,只需要檢驗:集合是否為非空數(shù)集;根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系,自變量x在其定義域內(nèi)的每一個值是否都有唯一確定的函數(shù)值y與之對應(yīng). 2.對函數(shù)的概念要理解兩點(diǎn):一是函數(shù)值的存在性;二是函數(shù)值的唯一性.對于復(fù)合函數(shù)一定要分清內(nèi)函數(shù)是哪個函數(shù),外函數(shù)是哪個函數(shù).,-14-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考

7、點(diǎn)三,考點(diǎn)四,對點(diǎn)訓(xùn)練(1)有以下判斷:,其中正確判斷的序號是. (2)在下列圖形中,表示y是x的函數(shù)關(guān)系的是.,-15-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,-16-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,函數(shù)的定義域和值域(考點(diǎn)難度) 例2(1)(2015湖北高考)函數(shù) 的定義域為() A.(2,3)B.(2,4 C.(2,3)(3,4D.(-1,3)(3,6 (2)已知函數(shù)f(2x)的定義域為-1,1,則函數(shù)f(x)的定義域為. (3)求下列函數(shù)的值域:,-17-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,-18-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,故所求函數(shù)值域是y|yR,且y1. 變形得y+yx2=1+4

8、x+x2, 則(1-y)x2+4x+1-y=0,當(dāng)y=1時,x=0; 當(dāng)y1時,xR, =16-4(1-y)20-1y3,且y1. 所求函數(shù)值域為-1,3.,-19-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,方法總結(jié)1.函數(shù)的定義域求法: (1)求具體函數(shù)y=f(x)的定義域:,(2)求抽象函數(shù)的定義域: 若已知函數(shù)f(x)的定義域為a,b,其復(fù)合函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式ag(x)b求出. 若已知函數(shù)f(g(x)的定義域為a,b,則f(x)的定義域為g(x)在xa,b時的值域. 提醒 定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式.,-20-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,2.函數(shù)的值域求法: (1)觀察法

9、:一些簡單函數(shù)可通過觀察法求值域. (2)配方法:“二次函數(shù)類”用配方法求值域.,-21-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,(5)單調(diào)性法:函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的依據(jù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷其增減性進(jìn)而求最值和值域. (6)數(shù)形結(jié)合法:畫出函數(shù)的圖象,通過函數(shù)定義域在圖上確定函數(shù)值的變化范圍. (7)若函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)與基本不等式有關(guān),可考慮用基本不等式求解.,-22-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,對點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知函數(shù)f(x)的定義域是0,2, 則函數(shù) 的定義域是. (2)已知函數(shù)f(x)=lg(x2+x-a)的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是.,-23-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三

10、,考點(diǎn)四,求函數(shù)的解析式(考點(diǎn)難度),-24-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,-25-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,方法總結(jié)函數(shù)解析式的求法: (1)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法; (2)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式,可用換元法,此時要注意新元的取值范圍; (3)方程思想:已知關(guān)于f(x)與 或f(-x)的表達(dá)式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組,通過解方程組求出f(x). 提醒 由于函數(shù)的解析式相同,定義域不同,則為不相同的函數(shù),因此求函數(shù)的解析式時,如果定義域不是R,一定要注明函數(shù)的定義域.,-26-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考

11、點(diǎn)三,考點(diǎn)四,對點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知f(1-cos x)=sin2x,則f(x)=.,答案:(1)-x2+2x(0 x2)令t=1-cos x,則cos x=1-t,0t2, f(t)=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t. f(x)=-x2+2x(0 x2).,-27-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,分段函數(shù)(考點(diǎn)難度) 考情分析分段函數(shù)一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,主要以分段函數(shù)為載體考查函數(shù)的求值、值域及參數(shù)的取值范圍等問題,常見類型有: (1)分段函數(shù)求值問題; (2)分段函數(shù)與方程的交匯問題; (3)分段函數(shù)與不等式的交匯問題.,-28-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,C,-29-

12、,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,A,解析:f(1)=e1-1=1,且f(1)+f(a)=2, f(a)=1.當(dāng)-1a0時,f(a)=sin(a2)=1. 0a21,0a2.,當(dāng)a0時,f(a)=ea-1=1a=1.選A.,-30-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,-31-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,方法總結(jié)分段函數(shù)問題的求解策略: (1)分段函數(shù)的求值問題,應(yīng)先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間,然后選定相應(yīng)的解析式代入求解. (2)分段函數(shù)與方程、不等式的交匯問題,一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進(jìn)行分類討論,最后應(yīng)注意檢驗所求參數(shù)值(范圍)是否適合相應(yīng)的分段區(qū)間.,-32-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二

13、,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,C,0,-33-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,-34-,思想方法分段函數(shù)的妙招(分類討論思想) 分類討論思想就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時,需要把研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類,然后對每一類分別研究得出結(jié)論,最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實質(zhì)上,分類討論是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的解題策略. 分段函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類討論思想,解分段函數(shù)求值問題時應(yīng)注意以下三點(diǎn): (1)明確分段函數(shù)的分段區(qū)間. (2)依據(jù)自變量的取值范圍,選好討論的切入點(diǎn),并建立等量或不等量關(guān)系. (3)在通過上述方法求得結(jié)果后,應(yīng)注意檢驗所求值(范圍)是否落在相應(yīng)分段區(qū)間內(nèi).,-35-,典例已知函數(shù) 若f(a)+f(1)=0,則實數(shù)a的值為() A.-3B.-3或1 C.1D.-1或3 答案:B 解析:f(1)=lg 1=0,