1、1,定理3 設(shè) W 是 V 的一個子空間, V 關(guān)于模 W 同余這個等價 關(guān)系的的商集定義為 V / W = W | V 顯然 V / W 是 一個非空集合, 在這個商集中定義加法和數(shù)乘: ( W) + ( + W) = ( + ) + W k( W) = k W. 易證上述加法和數(shù)乘是良定義的.,定義2 設(shè) 是 V 上的線性變換, W 是 不變子空間, 在 V/W 上定義變換: : V/WV/W, (+W) = +W 因為 W 是 不變子空間, 所以上述定義是合理的, 稱 為 的誘導(dǎo)變換.,定理3 設(shè) 是復(fù)數(shù)域 C 上的有限維線性空間 V 上的線性變 換, 則 V 存在一組基, 使 在這組基

2、的矩陣是上三角矩陣.,推論1 任意復(fù)方陣 A 相似于上三角矩陣.,2,推論2 設(shè) AMn(C),其,中,為 A 的極小多,項式, 則,證明 由推論1可知復(fù)方陣 A 相似于上三角矩陣, 即,3,由書上P.5推論3可知,4,例2 設(shè) A 和 B 是兩個復(fù)方陣, 已證 AB 和 BA 的特征多 項式相等, 它們的極小多項式是否相等? 答 否! 例如,5,第八講 冪零變換與循環(huán)變換,定義1 設(shè) 是復(fù)線性空間 V 的線性變換,若存在正整數(shù) m 使得 m = 0, 則稱 為冪零變換, 滿足上式的最小正整數(shù) m 稱為 的冪零次數(shù), 非零冪零變換的冪零次數(shù)大于1, 此 時 m-1 0. V 的任意一個冪零變換

3、在 V 的任意一組基下 的矩陣稱為冪零矩陣. 定理1 冪零變換 的所有特征值全為0, 所以非零的冪零變 換 不可對角化.,例1 設(shè),則,(A-I)2 = 0, A-I 為冪零矩陣.,6,定義2 設(shè) 是復(fù)線性空間 V 的線性變換, 若 V 中存在非 零向量 使得 n-1, (), 為 V 的一組基, 且 n() = 0, 則稱 為循環(huán)變換, n-1(), (), 稱為 V 的一組 循環(huán)基, 循環(huán)變換 在循環(huán)基 n-1(), (), 下的矩 陣 N 稱為循環(huán)矩陣, 這里,顯然循環(huán)變換是冪零變換, 且冪零次數(shù)等于 n, 這是因為 V 中任意元素 為 n-1(), (), 的線性組合, 故 n() =

4、 0, 所以 n = 0, 又因為 n-1() 0, 故 n-1 0, 所以循環(huán)變 換 是冪零變換, 且冪零次數(shù)等于 n.,7,例2 設(shè),則,記 P = (2e1-e2, e1), 則 P 是可逆矩陣, 且,A 相似于,J-I 為循環(huán)矩陣.,8,定義3 設(shè) 是復(fù)線性空間 V 的線性變換, W 是 不變子 空間, 若 |W 是循環(huán)變換, 則稱 W 為 V 的循環(huán)子空間.,例3 設(shè),則,顯然 L(Be2, e2) 和 L(e1) 均為 C3 的循環(huán)子空間.,易證 Be2, e2, e1 是 C3 的一組基, 且 B(Be2, e2, e1) = (0, Be2, 0),B 相似于,A 相似于 J+

5、2I.,9,一般地, 設(shè) 是復(fù)線性空間 V 的冪零變換, 冪零次數(shù)為 2,則 Im 為 ker 的一個子空間, 設(shè),是 Im 的一,組基, 則,為 V 中的向量,在 中作用下,的象, 由習(xí)題9.24可知,線性無關(guān), 把它們擴充,擴充為 V 的一組基,用,代替,并仍記為,這里,則此時,10,例4 設(shè),則,顯然 L(A2e3, Ae3, e3) 和 L(e4) 均為 C4 的循環(huán)子空間.,易證 A2e3 = e1-2e3, Ae3 = e2-2e4, e3, e4線性無關(guān), 且,A(A2e3, Ae3, e3, e4) = (0, A2e3, Ae3, 0).,A 相似于,11,一般地, 設(shè) 是復(fù)

6、線性空間 V 的冪零變換, 冪零次數(shù)為 m,m 2, 則 Imm-1 為 ker 的一個子空間, 設(shè),是 Imm-1 的一組基,為 Imm-2 中的向量,在 中作用下的象, 由習(xí)題9.24可知,線性無關(guān), 把,擴充為 Imm-2 的一組基,用,代替,并仍記為,這里,則此時,12,現(xiàn)設(shè) 2 j m-1,為Im m-j+1 的一組基, 則,為 Imm-j 中的向量,在 中作,用下的象, 易證,線性無關(guān), 把它們擴充為Imm-j 的一組基,13,用,代替,并仍記為,這里,則此時,當(dāng) j = m-1 時, 即得 Im 的一組基,其中,為 V 中的向量,在 中作用下的象, 易證,14,線性無關(guān), 把它們

7、擴充為 V 的一組基,且同上調(diào)整可設(shè),15,為Imm-j 的一組基, 所以,這里 1 j m-1, 且,這里 1 j m-1, 且,16,因為(1)為 V 的一組基, 這個基表的每一列生成 V 的一個 循環(huán)子空間, 記為 Ti, 將基表先按列自上而下, 再按行由 左到右的順序重排為一組基, 則 在該組基下的方陣表,示為,這里,Ni 的階數(shù)等于 dim Ti.,上面的方陣 J 中 i 階塊的個數(shù)為 Pi-1Pi = 2dimkeridimkeri+1dimkeri-1個, i = 2, m.,一階塊的個數(shù)為 P0P1 = 2dimkerdimker2.,17,例5 設(shè),則,(A-I)2 = 0, A-I 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 J 中二階塊的個數(shù)為,2dimN(A-I)2)dimN(A-I)3)dimN(A-I) = 1個.,例6 設(shè),則,A2 = 0, A 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 J 中二階塊的個數(shù)為,2dimN(A2)dimN(A3)dimN(A) = 1個. 一階塊的個數(shù)為,2dimN(A)dimN(A2) = 1個,A 相似于 J+I.,18,例7 設(shè),則,A 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 J 中三階塊的個數(shù)為,2dimN(A3)dimN(A4)dimN(A2) = 1個. 一階塊的個數(shù)為,2dimN(A)dimN(A2) = 1個,19,例8