1、第六章 數(shù)據(jù)擬合方法,數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法 Bezier曲線,例：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實(shí)際測(cè)定的24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)的記錄:,纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加。,6.1數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法,一、 曲線擬合的數(shù)學(xué)描述與問題求解,24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近。,故可認(rèn)為強(qiáng)度y與拉伸倍數(shù)x的主要關(guān)系應(yīng)為線性關(guān)系：,必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。,1、數(shù)據(jù)擬合問題,研究?jī)?nèi)容：從一大堆看上去雜亂無章的數(shù)據(jù)中找出規(guī)律性來，即設(shè)法構(gòu)造一條曲線（擬合曲線）反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)總的趨勢(shì)，以消除其局部波動(dòng)。這種要求曲線盡可能逼近給定數(shù)據(jù)的過程稱“擬合”。,給定

2、一組值：,求函數(shù),使得,最小。,據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)選取，可選冪函數(shù)類、指數(shù)函數(shù)類、三角函數(shù)類等。,（1）若(x)為一元函數(shù)，則函數(shù)曲線為平面圖形，稱曲線擬合。,（2）(x)為擬合函數(shù)，上式最小為擬合條件（即要求擬合曲線與各數(shù)據(jù)點(diǎn)在y方向的誤差平方和最小）。,（3）函數(shù)類的選?。?說明：,殘差向量的各分量平方和記為：,2、最小二乘法：,以殘差平方和最小問題的解來確定擬合函數(shù)的方法。,令,在回歸分析中稱為殘差,(i=1,2,m),殘差向量：,由多元函數(shù)求極值的必要條件，有,可得,即,上式為由n+1個(gè)方程組成的方程組，稱正規(guī)方程組。,由,得,即,引入記號(hào),則由內(nèi)積的概念可知,顯然內(nèi)積滿足交換律,正規(guī)

3、方程組便可化為,將其表示成矩陣形式：,其系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣。,所以正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即,根據(jù)Crame法則,正規(guī)方程組有唯一解，稱其為最小二乘解。,作為一種簡(jiǎn)單的情況，常使用多項(xiàng)式函數(shù)Pn(x)作為(xi,yi) (i=1,2,m)的擬合函數(shù)。,基函數(shù)之間的內(nèi)積為：,擬合函數(shù)(x)=Pn(x)的基函數(shù)為：,即正規(guī)方程組為,例. 回到本節(jié)開始的實(shí)例，從散點(diǎn)圖可以看出，,纖維強(qiáng)度和拉伸倍數(shù)之間近似線性關(guān)系，故可選取線性函數(shù),為擬合函數(shù)建立正規(guī)方程組，其基函數(shù)為,根據(jù)內(nèi)積公式，可得,正規(guī)方程組為,解得,殘差平方和：,擬合曲線與散點(diǎn) 的關(guān)系如右圖:,即為所求的最小二乘解。,故,若mn+1，則此

4、方程組稱超定方程組（方程個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)）,二、 超定方程組的最小二乘解,將擬合函數(shù)以向量表示：,令,（i=1,2,m）,可得,考慮正規(guī)方程組,（k=0,1,n）,（1）未知數(shù)aj的系數(shù),為超定方程組中系數(shù)陣第k列與第j列對(duì)應(yīng)積之和（即內(nèi)積(k,j)）；,（2）右端向量,為系數(shù)陣第k列與m個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)積之和。,可知：,故正規(guī)方程組矩陣形式為：,若有唯一解，稱其為超定方程組的最小二乘解。,注：最小二乘解并不能滿足超定方程組中每個(gè)方程，但要求盡可能接近給定數(shù)據(jù)，即允許每個(gè)等式可以稍有偏差（即殘差）。,求一般超定方程組Ax=b的主要過程：,（1）求出系數(shù)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT；,（2）計(jì)算矩陣D=ATA和

5、向量f=ATb；,（3）求解正規(guī)方程組Dx=f。,例1 用多項(xiàng)式擬合函數(shù)：,解：,設(shè),得,即,記系數(shù)矩陣為，則,故正規(guī)方程組為,解得,注：具體用幾次多項(xiàng)式擬合，可據(jù)實(shí)際情況而定。可先畫草圖，將已知點(diǎn)描上去，看與什么函數(shù)相近，就以什么函數(shù)擬合。,擬合曲線：,Bezier曲線：由一組多邊形折線的各頂點(diǎn)P0 , P1 , Pm定義 。只有第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)在曲線上，其余點(diǎn)用以定義曲線的階次與倒數(shù)，多邊折線的第一段與最后一段表示出曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向。,6.2Bezier曲線,若給定控制多邊形頂點(diǎn)P0 ,P1 , Pm坐標(biāo)(x0 ,y0 ) ,(xm ,ym )，則相應(yīng)的Bezier多項(xiàng)式定義為：,Bezier曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：,其中,（1）一次Bezier曲線（m=1）：通過平面上兩點(diǎn)P0 ,P1 的直線段。,若記,(k=0,1,m),則有,矢量表示,下面給出m=1,2,3時(shí)，Bezier曲線數(shù)學(xué)表達(dá)式：,（2）二次Bezier曲線（m=2）：通過平面上三點(diǎn)P0 ,P1 ,P2的拋物線。,若記,則m次Bezier多項(xiàng)式可表示為,（3）三次Be