1、平面向量數(shù)量積及其應用,知識回顧,知識回顧,1定義：平面內兩個非零向量的數(shù)量積（內積）的定義 = 向量夾角的概念：平移兩個非零向量使它們起點重合，所成圖形中0180的角稱為兩個向量的夾角 規(guī)定 與任何向量的數(shù)量積為0,2向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 等于 的長度與 在 方向上投影 的乘積 3兩個向量的數(shù)量積的性質： 設 ， 為兩個非零向量， 是單位向量， 是 與其它向量的夾角 （1） ； （2） ； （3） 特別的 或 ； （4） = ；,（1）設 則 = （2） =（ ） = （3） cos = = （4）非零向量 = 0 （注意與向量共線的坐標表示區(qū)別）,4.平面向量數(shù)量積的坐標表示：,

2、（1） （2） =（ ） = （3） cos = = （4）非零向量 = 0 （注意與向量共線的坐標表示區(qū)別）,5.平面向量數(shù)量積的應用 （1）把幾何學問題轉化為向量問題 ：如利 用向量證明平面幾何問題；直線的方向向量等 （2）把物理學問題轉化為向量問題 ：數(shù)學中的向量就是物理中的矢量，所以利用向量可以解決物理學問題,例一 .,解：,=,=1-,設向量 ， ， 是單位向量，且 =0 ， 求 的最小值,例一.數(shù)量積一第9題,思考：設向量 是兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足 =0，求 的最大值.,答案：,小結：將題給條件稍作變化，就能得到一個與原題類似的問題，且所用知識點也大致相同，大家平時在

3、學習時不妨用這個方法給自己出出題，以更好的理解知識點.,例二.（數(shù)量積一第15題第2問）,已知 且向量 與 的夾角為 ，試 求 的取值集合，使（ ）與（ ） 的夾角為鈍角,例二.數(shù)量積一第15題第2問,分析：兩向量 的夾角公式為 則當兩向量的夾角為鈍角時有-1 0,解右邊不等式可得 0,但左邊不等式解答比較復雜，所以，我們可以考慮在余弦小于0的情況下去掉夾角為180度的情況，即去掉兩向量平行的情況，所以本題的解答如下：,由題意： （ ）（ ）0 且（ ）與（ ）不平行 即 且 且 且 ,思考：兩向量夾角是銳角的等價條件是什么？,小結：解題時若計算復雜則容易出錯，大家要善于化繁為簡，有時，稍作變

4、動就能大大簡化計算，使問題得以更好的解決.,例三. 數(shù)量積二第10題,已知向量 = ，向量 = ，求 的最大值.,解法一（代數(shù)方法）,例三.數(shù)量積二第10題,解法二（幾何方法）,x,y,o,B,如圖，用 表示 ， 以O為圓心，2為半徑作圓，則2 可看成以O為起點，終點在圓O上的向量，由向量減法的幾何意義可知答案為4,小結：向量有數(shù)和形兩種表示方法，有時，數(shù)形結合可使問題的解決更加方便,例四.數(shù)量積二第15題,已知： ，存在實數(shù) 和 ，使 得 ，且 ，試求 的 最小值。,分析：本題是涉及兩個字母的最值問題，且不可用基本不等式，所以考慮利用等量關系互相表示，轉變?yōu)殛P于其中一個字母的函數(shù)來處理 .,

5、解答如下: 由條件得： ， ，由 ，得 =0，即 =0， 則有 則 = 則當 =-2時， 有最小值,小結：有一些解答題看似字母比較多，比較復雜，但如果耐心將題目看完，將題給的每個條件都稍作化簡，聯(lián)系“已知的是什么?”,“所求的是什么？”，“中間搭哪一座橋？”，很多問題都會變得清晰明了，從而迎刃而解了.本題涉及關于兩個字母的表達式的最值問題，這類問題往往從（1）基本不等式（2）等量代換這兩個方面去考慮.,例五 .向量應用第10題,在 中， 為中線 上的一個動點，若=2，求 的最小值,A,B,C,M,O,分析：如圖，因為 為 的中點，所以 , 則本題可轉化成兩個反向 向量數(shù)量積的最小值問題， 解答

6、如下：,=2 =-2 由基本不等式，得 =1 , 所以，所求最小值為-2,小結：因為向量加法有平行四邊形法則，所以進行向量運算時要充分利用這一點來簡化問題，從而有利于計算.,例六 .向量應用第15題,給定兩個長度為1的平面向量 和 ，它們的夾角為 . 如圖所示，點 在以 為圓心的圓弧 上變動.若 其中 ,求 的最大值 .,O,A,B,C,分析：因為三個向量的模均為1，且已知 與 的夾角，所以，本題可以考慮利用向量數(shù)量積將向量轉化為實數(shù)，同時可將 用三角函數(shù)表示出來，解答如下：,設 ，則有 即 ，則,小結：向量的數(shù)量積是聯(lián)系向量與實數(shù)的紐帶，利用向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可以將向量問題轉化為實數(shù)計算，從而有利于問題的解決.,小結,小結：,平面向量數(shù)