1、二、 線性變換的簡單性質(zhì),6 對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,二、對稱變換,一、實(shí)對稱矩陣的一些性質(zhì),三、實(shí)對稱矩陣可正交相似于實(shí)對角矩陣,四、任意n元實(shí)二次型的正交線 性替換化標(biāo)準(zhǔn)形,一、實(shí)對稱矩陣的一些性質(zhì),引理1 設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，則A的特征值皆為實(shí)數(shù),證：設(shè) 是A的任意一個(gè)特征值，則有非零向量,滿足,其中 為 的共軛復(fù)數(shù)，,令,又由A實(shí)對稱，有,由于是非零復(fù)向量，必有,故,考察等式，,引理2 設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，在 n 維歐氏空間 上,定義一個(gè)線性變換如下：,則對任意有,或,證：,任取,則,即有,二、對稱變換,1定義,則稱為對稱變換,設(shè)為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足,1）n維歐氏空間V的對稱變換與

2、n級(jí)實(shí)對稱矩陣在,標(biāo)準(zhǔn)正交基下是相互確定的：,2基本性質(zhì), 實(shí)對稱矩陣可確定一個(gè)對稱變換,證明： 設(shè),為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,定義V的線性變換：,令,于是,又 是標(biāo)準(zhǔn)正交基，,則為V的對稱變換, 對稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對稱矩陣,為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，,證明: 設(shè)為n維歐氏空間V上的對稱變換，,為在這組基下的矩陣，即,或,于是,即,所以A為對稱矩陣,由是對稱變換，有,2）（引理3）對稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)也是,它的不變子空間,對,任取,即,證明：設(shè)是對稱變換，W為的不變子空間,要證,即證,由W是 子空間，有,因此,故 也為的不變子空間,引理4 實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量,分別

3、是屬于 的特征向量即,則,三、實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化,是正交的,證：設(shè)實(shí)對稱矩陣為A，,是A的兩個(gè)不同特征值 ，,又,所以有,則,(定理7)對 總有正交矩陣T，使,證：設(shè)A為 上對稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣,由實(shí)對稱矩陣和對稱變換互相確定的關(guān)系，只需證,有n個(gè)特征向量作成的標(biāo)準(zhǔn)正交基即可,n=1時(shí)，結(jié)論是顯然的,對 的維數(shù)n用歸納法,有一單位特征向量 ，其相應(yīng)的特征值為 ，即,假設(shè)n-1時(shí)結(jié)論成立，對設(shè)其上的對稱變換,設(shè)子空間,顯然W是 子空間，,則 也是 子空間，且,又對有,所以是 上的對稱變換,由歸納假設(shè)知 有n1 個(gè)特征向量,構(gòu)成 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,從而就是 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，,又都

4、是 的特征向量,即結(jié)論成立,3實(shí)對稱矩陣正交相似實(shí)對角矩陣步驟,設(shè),(i) 求出A的所有不同的特征值：,其重?cái)?shù) 必滿足 ;,(ii) 對每個(gè) ，解齊次線性方程組,求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：,它是A的屬于特征值 的特征子空間 的一組基,正交基,把它們按 正交化過程化成 的一組標(biāo)準(zhǔn),(iii) 因?yàn)?互不相同，,且,就是V的一組,標(biāo)準(zhǔn)正交基,所以,則T是正交矩陣，且,矩陣T的第1，2，n列，,使 為對角形,例1設(shè),求一正交矩陣T使 成對角形,解：先求A的特征值,A的特征值為 （三重）,其次求屬于 的特征向量，即求解方程組,得其基礎(chǔ)解,把它正交化，得,再單位化，得,這是特征值 (三重)的三個(gè)單位正交特征

5、向量，,也即是特征子空間 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,再求屬于 的特征向量，即解方程組,得其基礎(chǔ)解,再單位化得,這樣 構(gòu)成 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們,都是A的特征向量，正交矩陣,使得,注：,成立的正交矩陣不是唯一的, 對于實(shí)對稱矩陣A，使,而且對于正交矩陣T,還可進(jìn)一步要求,事實(shí)上，如果由上述方法求得的正交矩陣T,取正交矩陣,則 是正交矩陣且,同時(shí)有, 如果不計(jì)較主對角線上元素的排列的次序，與,實(shí)對稱矩陣A正交相似的對角矩陣是唯一確定的,2）任一n元實(shí)二次型,都可以通過正交的線性替換 變成平方和,其中平方項(xiàng)的系數(shù) 為A的全部特征值,的矩陣C是正交矩陣，則稱之為正交線性替換.,如果線性替換X=CY,1）正交線性替換,四.任意n元實(shí)二次型的正交線性替換化標(biāo)準(zhǔn)形,解,1寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值,例2,將二次型,通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.,從而得特征值,2求特征向量,3將特征向量正交化,得正交向量組,解方程,得基礎(chǔ)解系,取,解方程,得基礎(chǔ)解系,4將正交向量組單位化，得正交矩陣,令,得,所以,于是所求正交變換為,且有,例3、在直角坐標(biāo)系下，二次曲面的一般方程是,（1）,（2）,則（1）式可以寫成,令,對（2）中的 有正交矩陣C（且 ）,確定的坐標(biāo)變換公式,曲面（1）的方程化成,這