1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 陳建華,矩 陣 論,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1.3 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,一、 - 矩陣,二、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,三、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)單應(yīng)用,目標(biāo)：發(fā)展一個(gè)所有方陣都能與之相似的矩陣結(jié)構(gòu)-Jordan矩陣。,1. 定義,設(shè) P 是一個(gè)數(shù)域， 是一個(gè)文字，作多項(xiàng)式環(huán),P .,一個(gè)矩陣，如果它的元素是 的多項(xiàng)式，即,P 的元素,就稱為 - 矩陣.,討論 - 矩陣的一些性質(zhì)，并用這些性質(zhì)來證明上,關(guān)于若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的主要定理.,因?yàn)閿?shù)域 P 中的數(shù)也是 P 的元素，所以在, - 矩陣中也包括以數(shù)為元素的矩陣.,一、 - 矩陣,矩陣稱為數(shù)字

2、矩陣.,以下用 A()， B()， 等,表示 -矩陣 .,我們知道， P 中的元素可以作加、減、乘,三種運(yùn)算, 并且它們與數(shù)的運(yùn)算有相同的運(yùn)算規(guī)律.,而矩陣加法與乘法的定義只是用到其中元素的加法,與乘法，因此，我們可以同樣定義 - 矩陣的加法,與乘法, 它們與數(shù)字矩陣的運(yùn)算有相同的運(yùn)算規(guī)律.,把以數(shù)域 P 中的數(shù)為元素的,行列式的定義也只用到其中元素的加法與乘法,因此,同樣可以定義一個(gè) n n 的 - 矩陣的行列式.,一般地， - 矩陣的行列式是 的一個(gè)多項(xiàng)式,它與,數(shù)字矩陣的行列式有相同的性質(zhì).,例如, 對(duì)于 - 矩陣的行列式，矩陣乘積的行列式,等于行列式的乘積，,這一結(jié)論，顯然是對(duì)的.,既

3、然有行列式，也就有 - 矩陣的子式的概念.,利用這個(gè)概念，我們有秩和可逆矩陣等。,秩 如果 - 矩陣 A() 中有一個(gè) r ( r 1 ),級(jí)子式不為零，而所有 r + 1 級(jí)子式 (如果有的話),全為零，則稱 A() 的秩為 r .,零矩陣的秩規(guī)定為零。,可逆矩陣 一個(gè) n n 的 - 矩陣 A() 稱為可逆,的，如果有一個(gè) n n 的 - 矩陣 使,A() B() = B() A() = E , (1),這里 E 是 n 級(jí)單位矩陣.,適合 (1) 的矩陣 B() (它,是唯一的) 稱為 A() 的逆矩陣，記為 A-1() .,定理 1 一個(gè) n n 的 - 矩陣 A() 是可逆的,充分必

4、要條件是行列式 | A() | 是一個(gè)非零數(shù).,證明,先證充分性.,設(shè),d = | A() |,是一個(gè)非零的數(shù).,A*() 是 A() 的伴隨矩陣，它也,是一個(gè) - 矩陣 ，而,因此， A() 可逆.,再證必要性.,設(shè) A() 可逆，則有,A() B() = B() A() = E ,上式兩邊取行列式，得,| A() | | B() | =|E | = 1 .,因?yàn)?| A() | 與 | B() | 都是 的多項(xiàng)式，所以由它,們的乘積是 1 可以推知，它們都是零次多項(xiàng)式，,也就是非零的數(shù) .,證畢,例1 求下列 - 矩陣的秩,秩為3,秩為2,例2 下列 - 矩陣中，哪些是可逆的？若可,逆求其

5、逆矩陣.,初等變換的定義,定義 下面的三種變換叫做 - 矩陣的初等變換：,(1) 矩陣的兩行(列)互換位置；,(2) 矩陣的某一行(列)乘以非零常數(shù) c ；,(3) 矩陣的某一行(列)加另一行(列)的 (),倍， () 是一個(gè)多項(xiàng)式.,和數(shù)字矩陣的初等變換一樣，可以引進(jìn)初等矩陣.,2. - 矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形,三種初等變換對(duì)應(yīng)三個(gè)初等矩陣,同樣地，對(duì)一個(gè) s n 的 - 矩陣 A() 作一次,初等行變換就相當(dāng)于在 A() 的左邊乘上相應(yīng)的 ss,初等矩陣；,對(duì) A() 作一次初等列變換就相當(dāng)于在,A() 的右邊乘上相應(yīng)的 n n 的初等矩陣.,初等矩陣都是可逆的，并且有,P( i , j

6、) -1 = P( i , j ) , P( i(c) ) -1 = P( i( c -1 ) ) , P( i , j ( ) ) -1 = P( i , j (- ) ) .,由此得出初等變換具有可逆性：,設(shè) - 矩陣 A() 用,初等變換變成 B()，這相當(dāng)于對(duì) A() 左乘或右乘,一個(gè)初等矩陣.,再用此初等矩陣的逆矩陣來乘 B(),就變回 A() ，而這逆矩陣仍是初等矩陣，因而由,B()可用初等變換變回 A() .,我們還可以看出在第,二種初等變換中，規(guī)定只能乘以一個(gè)非零常數(shù)，這,也是為了使 P( i(c) ) 可逆的緣故., - 矩陣的等價(jià),定義 - 矩陣 A() 稱為與 B() 等

7、價(jià)，,可以經(jīng)過一系列初等變換將 A() 化為 B() .,等價(jià)的性質(zhì):,等價(jià)是 - 矩陣之間的一種等價(jià)關(guān)系。,如果, - 矩陣等價(jià)的條件：,矩陣 A() 與 B() 等價(jià)的充分必要條件是有一,系列初等矩陣 P1 , P2 , , Pl , Q1 , Q2 , , Qs 使,A() = P1 P2 Pl B()Q1Q2 Qs ., - 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,本段主要是證明任意一個(gè) - 矩陣可以經(jīng)過,初等變換化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形.,引理,設(shè) - 矩陣A() 的左上角元素 a11() 0，,并且 A() 中至少有一個(gè)元素不能被它除盡，那么,一定可以找到一個(gè)與 A() 等價(jià)的矩陣 B() ，它的,左上角元素也

8、不為零,但是次數(shù)比 a11() 的次數(shù)低.,證明,根據(jù) A() 中不能被 a11() 除盡的元素,所在的位置，分三種情況來討論：,1) 若 A() 的第一列中有一個(gè)元素 ai1() 不能,被 a11() 除盡，則有,ai1() = a11() q() + r () ,其中余式 r () 0，且次數(shù)比 a11() 的次數(shù)低.,對(duì) A() 作初等行變換.,把 A() 的第 i 行減去,第 1 行的 q() 倍，得：,再將此矩陣的第 1 行與第 i 行互換，得：,B() 左上角元素 r () 符合引理的要求，故 B(),即為所求的矩陣.,2) 在 A() 的第一行中有一個(gè)元素 a1i () 不能,被

9、 a11() 除盡，這種情況的證明與 1) 類似，但是,對(duì) A() 進(jìn)行的是初等列變換.,3) A() 的第一行與第一列中的元素都可以被,a11() 除盡，但 A() 中有另一個(gè)元素 aij () ( i 1,j 1 ) 不能被 a11() 除盡.,設(shè),ai 1 () = a11() () .,對(duì) A() 作下述初等行變換：,= A1() .,矩陣 A1() 的第一行中，有一個(gè)元素,ai j () +( 1 - () ) a1j (),不能被左上角元素 a11() 除盡，這就化為已經(jīng)證,明了的情況 2) .,證畢,定理2 任意一個(gè)非零的 s n 的 - 矩陣A(),都等價(jià)于下列形式的矩陣,其中

10、 r 1 , di() ( i = 1, 2, , r-1 ) 是首項(xiàng)系數(shù)為 1,的多項(xiàng)式，且,di() | di+1() ( i = 1, 2, , r-1 ) .,證明,經(jīng)過行列調(diào)動(dòng)之后，可以使得 A() 的,左上角元素 a11() 0，如果 a11() 不能除盡 A(),的全部元素，,由,可以找到與 A() 等價(jià)的,B1() ，它的左上角元素 b1() 0，并且次數(shù)比,a11() 低.,如果 b1() 還不能除盡 B1() 的全部元素,由引理，又可以找到與 B1() 等價(jià)的 B2() ，它的,左上角元素 b2() 0，并且次數(shù)比 b1() 低.,如此,下去，將得到一系列彼此等價(jià)的 - 矩

11、陣 A() ,B1() , B2() , .,它們的左上角元素皆不為零，而,且次數(shù)越來越低.,但次數(shù)是非負(fù)整數(shù)，不可能無止,境地降低.,因此在有限步以后，我們將終止于一個(gè), - 矩陣 Bs () ，它的左上角元素 bs() 0，而且,可以除盡 Bs () 的全部元素 bij() ，,bij () = bs() qij () ，,對(duì) Bs () 作初等變換：,即,在右下角的 - 矩陣 A1 () 中，全部元素都是可以,被 bs() 除盡的, 因?yàn)樗鼈兌际?Bs() 中元素的組合.,如果 A1() O，則對(duì)于A1() 可以重復(fù)上述過,程，進(jìn)而把矩陣化成,其中 d1() 與 d2() 都是首項(xiàng)系數(shù)為

12、 1 的多項(xiàng)式,( d1() 與 bs() 只差一個(gè)常數(shù)倍數(shù))，而且,d1() | d2() ，,d2() 能除盡 A2() 的全部元素.,如此下去，A() 最后就化成了所要求的形式.,證畢,最后化成的這個(gè)矩陣稱為 A() 的標(biāo)準(zhǔn)形.,例3 用初等變換把下列 - 矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形.,行列式因子,在上一段，我們討論了 - 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其,主要結(jié)論是：任何 - 矩陣都能化成標(biāo)準(zhǔn)形.,但是,矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是否唯一呢？,答案是肯定的.,為了證,明唯一性，要引入矩陣的行列式因子的概念.,3.行列式因子與不變因子,不變因子,設(shè) - 矩陣 A() 的秩為 r ，對(duì)于正整數(shù) k，,1 k r ， A() 中必有

13、非零的 k 級(jí)子式.,A(),中全部 k 級(jí)子式的首項(xiàng)系數(shù)為 1 的最大公因式,Dk() 稱為 A() 的 k 級(jí)行列式因子.,由定義可知，對(duì)于秩為 r 的 - 矩陣，行列式,因子一共有 r 個(gè).,行列式因子的意義就在于，它在,初等變換下是不變的.,行列式因子,性質(zhì),定理3 等價(jià)的 - 矩陣具有相同的秩與相同的各級(jí),行列式因子.,證明,我們只要證明， - 矩陣經(jīng)過一次初等,行變換，秩與行列式因子是不變的.,設(shè) - 矩陣 A() 經(jīng)過一次初等行變換變成 B() ,f() 與 g() 分別是 A() 與 B() 的 k 級(jí)行列式因子.,我們證明 f() = g() .,下面分三種情形討論.,1)

14、A() 經(jīng)初等行變換 (1) 變成 B() .,這時(shí) B(),的每個(gè) k 級(jí)子式或者等于 A() 的某個(gè) k 級(jí)子式,者與 A() 的某一個(gè) k 級(jí)子式反號(hào), 因此 f() 是B(),的 k 級(jí)子式的公因式，從而 f() | g() .,2) A() 經(jīng)初等行變換 (2) 變成 B() .,這時(shí) B(),的每個(gè) k 級(jí)子式或者等于 A() 的某個(gè) k 級(jí)子式,者等于 A() 的某一個(gè) k 級(jí)子的 c 倍 , 因此 f () 是,B() 的 k 級(jí)子式的公因式，從而 f() | g() .,或,或,3) A() 經(jīng)初等行變換 (3) 變成 B() .,這時(shí) B(),中那些包含 i 行與 j 行的

15、 k 級(jí)子式和那些不包含i 行,的 k 級(jí)子式都等于 A() 中對(duì)應(yīng)的 k 級(jí)子式；,B()中,那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 級(jí)子式，按 i 行分,成兩部分，而等于 A() 的一個(gè) k 級(jí)子式與另一個(gè),k 級(jí)子式的 () 倍的和，也就是 A() 的兩個(gè) k,級(jí)子式的組合.,因此 f () 是 B() 的 k 級(jí)子式的公,因式，從而 f() | g() .,對(duì)于列變換，可以完全一樣地討論.,總之，如,果 A() 經(jīng)一次初等變換變成 B() ，那么,f() | g() .,但由于初等變換是可逆的， B() 也可以經(jīng)一次初,等變換變成 A() .,由上討論，同樣應(yīng)有,g() | f() .

16、,于是 f() = g() .,當(dāng) A() 的全部 k 級(jí)子式為零時(shí)，B() 的全部,k 級(jí)子式也就為零；,反之亦然.,因此， A() 與 B() 既有相同的各級(jí)行列式因,子，又有相同的秩.,證畢,標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性,標(biāo)準(zhǔn)形的行列式因子,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形為,其中 d1() , d2() , , dr() 是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng),式，且 di () | di+1 () ( i = 1, 2, , r-1 ) .,不難證明,在這種形式的矩陣中，如果一個(gè) k 級(jí)子式包含的行,與列的標(biāo)號(hào)不完全相同，那么這個(gè) k 級(jí)子式一定為,零.,因此，為了計(jì)算 k 級(jí)行列式因子，只要看由,i1 , i2 , , ik 行與 i1

17、 , i2 , , ik 列 (1 i1i2ik r),組成的 k 級(jí)子式就行了，,而這個(gè)k 級(jí)子式等于,顯然，這種 k 級(jí)子式的最大公因式就是,定理4 - 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的.,證明,設(shè)(1)是 A() 的標(biāo)準(zhǔn)形.,由于A() 與,(1) 等價(jià)，它們有相同的秩與相同的行列式因子，,因此， A() 的秩就是標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上非零元,素的個(gè)數(shù) r ;,A() 的 k 級(jí)行列式因子就是,于是,(3),這說明 A() 的標(biāo)準(zhǔn)形 (1) 的主對(duì)角線上的元素是被,A() 的行列式因子所唯一確定的，所以 A() 的標(biāo),準(zhǔn)形是唯一的.,證畢,不變因子,定義 標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上非零元素,d1() , d2(

18、) , , dr(),稱為 - 矩陣 A() 的不變因子.,性質(zhì),定理5 兩個(gè) - 矩陣等價(jià)的充分必要條件是,它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的,不變因子.,證明,等式（2）與（3）給出了 - 矩陣的行,列式因子與不變因子之間的關(guān)系.,這個(gè)關(guān)系式說明,行列式因子與不變因子是相互確定的.,因此，說兩,個(gè)矩陣有相同的各級(jí)行列式因子，就等于說它們有,相同的各級(jí)不變因子.,必要性已由定理3證明。,充分性是很明顯的.,因?yàn)槿?- 矩陣A()與B(),有相同的不變因子，則 A() 與 B() 和同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),形等價(jià)，因而它們也等價(jià).,證畢,例4 試求下列矩陣的不變因子:,定義,現(xiàn)在我們假定討論中的數(shù)

19、域是復(fù)數(shù)域C.,上面已經(jīng)看到，不變因子是矩陣的相似不變量.,為了得到若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，再引入初等因子。,把矩陣 A (或線性變換A )的每個(gè)次數(shù)大于零,的不變因子分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，,所有這些一次因式方冪(相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì),算) 稱為矩陣 A (或線性變換 A )的初等因子.,4. 初等因子,例如 設(shè)12級(jí)矩陣的不變因子是,( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 .,按定義，它的初等因子有 7 個(gè)，即,( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) ,( - i )2 , ( + i )2 .,其中 ( -

20、 1 )2 出現(xiàn)三次， + 1 出現(xiàn)二次.,不變因子與初等因子的關(guān)系,首先，假設(shè) n 級(jí)矩陣 A 的不變因子,d1() , d2() , , dn(),為已知.,將 di() (i =1, 2, , n) 分解成互不相同,的一次因式方冪的乘積：,則其中對(duì)應(yīng)于 kij 1 的那些方冪,就是 A 的全部初等因子.,我們注意到不變因子有,一個(gè)除盡一個(gè)的性質(zhì)，即,di() | di+1() (i =1, 2, , n - 1) ,從而,因此在 d1() , d2() , , dn() 的分解式中，屬于同,一個(gè)一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即,k1j k2j knj (j = 1, 2, , r)

21、.,這說明，同一個(gè)一次因式的方冪作成的初等因子中,方次最高的必定出現(xiàn)在 dn() 的分解式中，方次次,高的必定出現(xiàn)在 dn-1() 的分解式中.,如此順推下,去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪的初等因子,在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.,上面的分析給了我們一個(gè)如何從初等因子和矩,陣的級(jí)數(shù)唯一地作出不變因子的方法.,設(shè)一個(gè) n 級(jí),矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將,同一個(gè)一次因式 ( - j) (j = 1, 2, , r) 的方冪的,那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這些初等因子的,個(gè)數(shù)不足 n 時(shí)，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的 1，使得,湊成 n 個(gè).,設(shè)所得排列為,于是令,則

22、d1() , d2() , , dn() 就是 A 的不變因子.,這也說明了這樣一個(gè)事實(shí)：如果兩個(gè)同級(jí)的數(shù),字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變,因子，因而它們相似.,反之，如果兩個(gè)矩陣相似，,則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初,等因子.,綜上所述，即得：,定理8 兩個(gè)同級(jí)復(fù)數(shù)矩陣相似的充分必要條是它們,有相同的初等因子.,初等因子的求法,初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.,但是初等因子的求法與不變因子的求法比較，反而,方便一些.,在介紹直接求初等因子的方法之前，先來說明,關(guān)于多項(xiàng)式的最大公因式的一個(gè)性質(zhì)：,如果多項(xiàng)式 f1()， f2() 都與 g1()， g2() 互

23、素，則,(f1()g1() , f2()g2()=(f1() , f2()(g1() , g2().,事實(shí)上，令,( f1()g1() , f2()g2() = d() ,( f1() , f2() = d1() ,( g1() , g2() = d2() .,顯然，,d1() | d() , d2() | d() .,由于 ( f1() , g1() = 1 , 故 ( d1() , d2() ) = 1，因而,d1() d2() | d() .,另一方面，由于,d() | f1() g1() ,可令,d() = f () g () ,其中 f () | f1() , g() | g1()

24、.,由于,( f1() , g2() = 1 ,故 ( f () , g2() = 1 .,由 f () | f2() g2() 又得 f () | f2()，因而,f () | d1() .,同理 g() | d2() .,所以,d() | d1() d2() .,于是,d() = d1() d2() .,證畢,引理 設(shè),如果多項(xiàng)式 f1()， f2() 都與 g1()， g2() 互素，,則 A() 和 B() 等價(jià).,下面的定理給了我們一個(gè)求初等因子的方法，,它不必事先知道不變因子.,定理9 首先用初等變換化特征矩陣 E - A,為對(duì)角形式，然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不,相同的一次因

25、式方冪的乘積，,式的方冪(相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算)就是 A 的全,部初等因子.,則所有這些一次因,證明,設(shè) E - A 已用初等變換化為對(duì)角形,其中每個(gè) hi() 的最高項(xiàng)系數(shù)都為 1 .,將 hi() 分,解成互不相同的一次因式方冪的乘積：,我們現(xiàn)在要證明的是，對(duì)于每個(gè)相同的一次,因式的方冪,在 D() 的主對(duì)角線上按遞升冪次排列后，得到的,新對(duì)角矩陣 D () 與 D() 等價(jià).,此時(shí) D () 就是,E - A 的標(biāo)準(zhǔn)形而且所有不為 1 的,就,是 A 的全部初等因子.,為方便起見，先對(duì) - 1 的方冪進(jìn)行討論.,令,于是,而且每個(gè),都與 gj() (j = 1, 2, , n) 互,素

26、.,如果有相鄰的一對(duì)指數(shù) ki1 ki+1,1 , 則在 D(),中將,與,對(duì)調(diào)位置，而,其余因式保持不動(dòng).,根據(jù),與,等價(jià).,從而 D() 與對(duì)角矩陣,等價(jià).,然后對(duì) D1() 作如上的討論.,如此繼續(xù)進(jìn)行,直到對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素所含 - 1 的方冪是,按遞升冪次排列為止.,依次對(duì) - 2 , , - r 作,同樣處理，最后便得到與 D() 等價(jià)的對(duì)角矩陣,D () ，它的主對(duì)角線上所含每個(gè)相同的一次因式,的方冪，都是按遞升冪次排列的.,證明,例5 已知 - 矩陣 A() 的初等因子，秩 r 與,階數(shù) n ，求 A() 的標(biāo)準(zhǔn)形.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1) 解,把 A(

27、) 的初等因子,令,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則 d1() , d2() , d3() , d4() 是 A() 的不變因子.,以 A() 的標(biāo)準(zhǔn)形為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) 解,把 A() 的初等因子,按降冪排成如下兩行，每行 3 個(gè)因子(因 A() 的秩,令,等于 3 ) :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則 d1() , d2() , d3() 是 A() 的不變因子.,所以,A() 的標(biāo)準(zhǔn)形為,例6 求下列矩陣的不變因子，行列式因子與,初等因子,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1) 解,把 E - A 化為標(biāo)準(zhǔn)形,初等變換,所以不變因子為,行列

28、式因子為,初等因子為,(2) 解,把 E - B 化為標(biāo)準(zhǔn)形,初等變換,所以不變因子為,行列式因子為,初等因子為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在定理,任何方陣A均可通過某一相似變換化為如下Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：,其中,稱為Jordan塊矩陣。,為A的特征值，可以是多重的。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明：（1） 2階以上Jordan塊矩陣一定不能對(duì)角化；,（4）Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，這種唯一性是指：各Jordan塊矩陣的階數(shù)和對(duì)應(yīng)的特征值是唯一的，但是各Jordan塊矩陣的位置可以變化。,（5）Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中各Jorda

29、n塊矩陣的階數(shù)均為1時(shí)，即為對(duì)角形矩陣。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,Jordan 矩陣可以作為相似標(biāo)準(zhǔn)形。 惟一性：Jordan 子塊的集合惟一。 A相似于BJA相似于JB,元素的結(jié)構(gòu) Jordan矩陣是上三角矩陣 對(duì)角矩陣是Jordan 矩陣,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法,方法一 特征向量法,P 9-10,注： 1.屬于某一個(gè)特征值的若當(dāng)塊個(gè)數(shù)由它的幾何維數(shù)確定。 2.該方法只適用于階數(shù)較低的矩陣,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7 求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。,1的幾何維數(shù)是1，故它對(duì)應(yīng)一個(gè)若當(dāng)塊。,2的幾何維數(shù)是2，故它對(duì)應(yīng)兩個(gè)若

30、當(dāng)塊。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,方法二 初等因子法,（1）求出特征多項(xiàng)式,的初等因子組，設(shè)為,（2）寫出各Jordan塊矩陣（一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)一個(gè)Jordan塊矩陣）,（3）合成Jordan矩陣：,例8 求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。,由例6 A初等因子為：,B初等因子為：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,方法三 行列式因子法,（1）求E-A 的各階行列式因子,（2）求E-A 的各階不變因子,（3）求E-A 的初等因子，確定Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例9 求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第1-4行與第1、2、4、5列交叉的元素形成的四階子式為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第1、2、3、5行與1、3、4、5列交叉的元素形成的四階子式為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,這兩個(gè)子式的公因式為1，故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第1-5行與第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五階子式為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第1、2、3、5、6行與第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五階子式為,機(jī)