1、2.6 克萊姆法則,授課題目 2.6 克萊姆法則 授課時(shí)數(shù) 2課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 掌握克萊姆法則，并能應(yīng)用克萊 姆法則來求方程組的解,教學(xué)重點(diǎn) : 1 法則的含意; 2 法則的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn): 對(duì)法則局限性的理解與應(yīng)用,現(xiàn)在來討論一般線性方程組.,所謂一般線性,方程組是指形式為,一、線性方程組的概念,的方程組，其中 x1, x2 , , xn 代表 n 個(gè)未知量，s,是方程的個(gè)數(shù)，aij (i = 1, 2, , s, j = 1, 2, , n) 稱,為方程組的系數(shù)，bi (i = 1, 2, , s) 稱為常數(shù)項(xiàng).,方程中未知量的個(gè)數(shù) n 與方程的個(gè)數(shù) s 不一定相等.,系數(shù) aij 的第一個(gè)

2、指標(biāo) i 表示它在第 i 個(gè)方程，第二,個(gè)指標(biāo) j 表示它是 xj 系數(shù).因?yàn)?1)含有n個(gè)未知量，所以稱為n元線性方程組。,所謂方程組,c1, c2 , , cn 組成的有序數(shù)組 ( c1, c2 , , cn )，當(dāng),x1, x2 , , xn 分別用 c1, c2, , cn 代入后，(1) 中每,個(gè)等式都變成恒等式.,方程組 (1) 的解的全體稱為,的一個(gè)解就是指由 n 個(gè)數(shù),它的解集合.,解方程組實(shí)際上就是找出它全部的,解，或者說，求出它的解集合.,如果兩個(gè)方程組有,相同的解集合，它們就稱為同解的.,關(guān)于線性方程組需要解決的問題有: 線性方程組是否有解?如果有解, 它有多少個(gè)解? 如

3、何求出這些解?,本節(jié)只討論方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等（即s=n）的情形,如果線性方程組,(1),的系數(shù)行列式,二、克萊姆法則,那么這個(gè)方程組有解，并且解是唯一，的可表示為,的元素用方程組（1）的常數(shù)項(xiàng)代換,所得的一個(gè) n 階行列式，即,用常數(shù)項(xiàng)列替換 D 的第 i 列，其余列不變。,證明思路：,1 驗(yàn)證,滿足各方程（存在性）；,2 （1）的 解定能表成形式,（唯一性）。,所用結(jié)果：,4,左,（證b1),( ),滿足第1個(gè)方程,類似驗(yàn)證第2，n個(gè)方程也滿足。,是方程組（1）的解。,2 由1知，（1）有解，,a11x1,+a12x2,a1nxn,+,=b1,a21x1,+a22x2,a2nxn,

4、+,=b2,an1x1,+an2x2,annxn,+,=bn,用D的第i列元素的代數(shù)余子式乘兩邊,Ani,A2i,A1i,A1i,這證明了（1）有解。,A1i,A1i,A2i,A2i,A2i,Ani,Ani,Ani,對(duì)應(yīng)相加整理,由定理4和定理5,證畢,說明：,2.克萊姆法則的三條結(jié)論,1. 克萊姆法則的三個(gè)條件,（1）待解的方程組是線性方程組；,（2）待解方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程組的個(gè)數(shù)相等；,（3）待解的方程組的系數(shù)行列式不等于零.,1 有解,2 唯一解,3 解的公式,不足之處： 方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不等，或D=0，不能用。,如果線性方程組（1）無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式一定為

5、零.,克萊姆法則的等價(jià)命題是：,思考：若D=0 呢？,第三章給出答案：可能無解，可能有無窮多個(gè)解！,例2：解線性方程組,點(diǎn)評(píng)：,(1) 一共要計(jì)算n+1個(gè)n階行列式，計(jì)算量大； 不如用初等變換簡單（第三章介紹）。,(2) 理論價(jià)值高于計(jì)算價(jià)值。,常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方,程組.,顯然，齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)?(0, 0, , 0) 就是一個(gè)解，它稱為零解.,對(duì)于齊次,線性方程組，我們關(guān)心的問題是，它除去零解以外,還有沒有其他解，或者說，它有沒有非零解.,對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的齊次線性方,程組，應(yīng)用克拉默法則就有,二、齊次線性方程組克拉默法則,定理 7 如果齊次線性

6、方程組,的系數(shù)行列式 D 0，那么它只有零解.,換句話說，如果它有非零解，則必有D = 0.,現(xiàn)在只能得出有無非零解這種定性結(jié)果， 求非零解的方法在第三章介紹。,點(diǎn)評(píng)：,補(bǔ)例 若下列齊次線性方程組有非零解，k為何值？,解,思路：由定理知，方程組有非零解，則D=0。,計(jì)算D,令其為零,解k,由方程組有非零解，則,即k=1.,練習(xí)：,解,故方程組只有零解。,例3：證明下列方程組 p95 第13題,只有零解其中 不全為0,證：,系數(shù)行列式,由 不全為0，有,即 ，故方程組只有零解,1. 用克拉默法則解方程組的三個(gè)條件,(2)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù);,(3)系數(shù)行列式不等于零.,2. 克拉默法則建立了

7、線性方程組的解和已知的系 數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系.它主要適用于理論推導(dǎo).,三、小結(jié),作業(yè)：習(xí)題2.6 P64 1(2)、2,（1）待解的方程組是線性方程組；,評(píng)論： cramer法則給出一類線性方程組的公式解，明確了解與系數(shù)的關(guān)系，這在以后的許多問題的討論中是重要的，同時(shí)便于編成程序上計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算. 但作為一種計(jì)算方法而言要解一個(gè)n個(gè)未知量、n個(gè)方程的線性方程組，要計(jì)算n+1個(gè)階行列式，計(jì)算量較大.另一方面該公式解對(duì)n個(gè)未知量，m個(gè)方程的一般線性方程組的求解無能為力.,促使人們對(duì)線性方程組解法作更深入的研究。,Cramer 法則的應(yīng)用,資料： 克萊姆是瑞士數(shù)學(xué)家，1704年7月31日生于日內(nèi)瓦，1752年1月4日去世于法國塞茲河畔的巴尼奧勒.早年在日內(nèi)瓦讀書，1724年起在日內(nèi)瓦加爾文學(xué)院任教，1734年成為幾何學(xué)教授，1750年任哲學(xué)教授. 1750年，他在專著線性代數(shù)分析導(dǎo)論中首次提出了由線性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達(dá)式，即著名的“克萊姆法則”.(其實(shí)萊布尼茲（1693年）和馬克勞林（1748年）也給出了該法則，但他們的記法不如克萊姆，故流傳下來)。他一生未婚，專心治學(xué)，平易近人，德高望重，先后當(dāng)選為倫敦皇家學(xué)會(huì)、柏林研究院和法國、意