1、平行四邊形的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 平行四邊形的四個(gè)判定定理及應(yīng)用，會(huì)應(yīng)用判定定理判斷一個(gè)四邊形是不是平行四邊形2. 會(huì)綜合應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理解決簡(jiǎn)單的幾何問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行四邊形的判定1. 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2. 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3. 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4. 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；5. 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點(diǎn)詮釋：（ 1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法 .（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也

2、可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).【典型例題】類型一、平行四邊形的判定1. 如圖，點(diǎn) A.B.C 在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上（小正方形的邊長(zhǎng)為單位1）（1）在圖中確定格點(diǎn)D，并畫出以A.B.C.D 為頂點(diǎn)的平行四邊形（2）若以C 為原點(diǎn)， BC 所在直線為x 軸，建立直角坐標(biāo)系，則你確定的點(diǎn)D 的坐標(biāo)是_.【思路點(diǎn)撥】（ 1）分為三種情況：以AC為對(duì)角線時(shí)、以AB 為對(duì)角線時(shí)、以BC為對(duì)角線時(shí)，畫出圖形，根據(jù)A.B.C 的坐標(biāo)求出即可；（ 2）在（ 1）的基礎(chǔ)上，把 y 軸向左平移了一個(gè)單位，根據(jù)平移性質(zhì)求出即可【答案與解析】1 / 11（1）解：從圖中可知A（ -3 ，2）， B（-4 ， 0） C（

3、 -1 ， 0），以 AB為對(duì)角線時(shí)，得出平行四邊形 ACBD1， D1 的坐標(biāo)是（ -6 ，2），以 AC為對(duì)角線時(shí)，得出平行四邊形 ABCD2， D2 的坐標(biāo)是（ 0， 2），以 BC為對(duì)角線時(shí)，得出平行四邊形 ABD3C， D3 的坐標(biāo)是（ -2 ，-2 ），（2）解：以 C為原點(diǎn)， BC所在直線為 x 軸，建立直角坐標(biāo)系， D 的坐標(biāo)是 （ -1 ，2），（ 1，2），（-5 ， 2），故答案為：（ -1 ， 2）或（ 1，2）或（ -5 ， 2）【總結(jié)升華】 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生能否運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，注意：一定要進(jìn)行分類討論舉一反

4、三【變式】（2016?呼倫貝爾）如圖，分別以 Rt ABC的直角邊 AC及斜邊 AB向外作等邊 ACD 及等邊 ABE，已知： BAC=30， EF AB，垂足為 F，連接 DF（ 1）試說(shuō)明 AC=EF；（ 2）求證：四邊形 ADFE是平行四邊形【答案】證明：（ 1） Rt ABC中， BAC=30， AB=2BC，又 ABE是等邊三角形，EFAB， AB=2AF AF=BC，在 Rt AFE和 Rt BCA中，AFBCAEBA2 / 11 Rt AFE Rt BCA（ HL）， AC=EF；（ 2） ACD是等邊三角形， DAC=60， AC=AD， DAB=DAC+BAC=90又 EF

5、AB， EF AD， AC=EF， AC=AD，EF=AD，四邊形 ADFE是平行四邊形2. 類比學(xué)習(xí)：一動(dòng)點(diǎn)沿著數(shù)軸向右平移3 個(gè)單位，再向左平移2 個(gè)單位，相當(dāng)于向右平移1個(gè)單位用實(shí)數(shù)加法表示為3+（ -2 ） =1若坐標(biāo)平面上的點(diǎn)作如下平移：沿 x 軸方向平移的數(shù)量為a（向右為正， 向左為負(fù)， 平移 |a|個(gè)單位），沿 y 軸方向平移的數(shù)量為b（向上為正，向下為負(fù)，平移|b| 個(gè)單位），則把有序數(shù)對(duì) a ，b 叫做這一平移的“平移量”；“平移量” a ， b 與“平移量” c ， d 的加法運(yùn)算法則為 a ，b+c ， d=a+c ，b+d 解決問題：（ 1）計(jì)算： 3 ， 1+1 ，

6、2 ；1 ， 2+3 ， 1 ；（ 2）動(dòng)點(diǎn) P 從坐標(biāo)原點(diǎn) O出發(fā)，先按照“平移量” 3 ， 1 平移到 A，再按照“平移量”1 ， 2 平移到 B；若先把動(dòng)點(diǎn) P 按照“平移量” 1 ， 2 平移到 C，再按照“平移量” 3 ， 1 平移，最后的位置還是點(diǎn) B 嗎？在圖 1 中畫出四邊形 OABC證明四邊形OABC是平行四邊形（ 3）如圖 2，一艘船從碼頭 O出發(fā)，先航行到湖心島碼頭 P（2， 3），再?gòu)拇a頭 P 航行到碼頭 Q（ 5， 5），最后回到出發(fā)點(diǎn) O請(qǐng)用“平移量”加法算式表示它的航行過程3 / 11【思路點(diǎn)撥】（1）本題主要是類比學(xué)習(xí)，所以關(guān)鍵是由給出的例題中找出解題規(guī)律，即前

7、項(xiàng)加前項(xiàng)，后項(xiàng)加后項(xiàng)（ 2）根據(jù)題中給出的平移量找出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)，描出各點(diǎn)，順次連接即可（ 3）根據(jù)題中的文字?jǐn)⑹隽谐鍪阶樱鶕?jù)（ 1）中的規(guī)律計(jì)算即可【答案與解析】解：（ 1） 3 ， 1+1 ， 2=4 ，3 ；1 ， 2+3 ， 1=4 ，3 （ 2）畫圖最后的位置仍是 B證明：由知， A（ 3， 1），B（ 4， 3）， C（ 1，2）OC=AB= 12225 ，OA=BC= 321210 ，四邊形 OABC是平行四邊形（3）從 O出發(fā)，先向右平移2 個(gè)單位，再向上平移3 個(gè)單位，可知平移量為2 ， 3 ，同理得到 P 到 Q的平移量為3 ，2 ，從 Q到 O的平移量為 -5 ， -5 ，

8、故有2 ， 3+3 ， 2+-5 ， -5=0 ， 0 【總結(jié)升華】 本題考查了幾何變換中的平移變換，解答本題關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解題目給出的信息，對(duì)于此類題目同學(xué)們不能自己憑空想象著解答，一定要按照題目給出的思路求解，克服思維定勢(shì)舉一反三：【變式】 一動(dòng)點(diǎn)沿著數(shù)軸向右平移5 個(gè)單位， 再向左平移2 個(gè)單位， 相當(dāng)于向右平移3 個(gè)單位用實(shí)數(shù)加法表示為5+（-2 ） =3若平面直角坐標(biāo)系xOy 中的點(diǎn)作如下平移：沿x 軸方向平移的數(shù)量為a（向右為正，向左為負(fù)，平移 |a| 個(gè)單位），沿 y 軸方向平移的數(shù)量為b（向上為正， 向下為負(fù)， 平移 |b| 個(gè)單位），4 / 11則把有序數(shù)對(duì) a ， b

9、叫做這一平移的“平移量”規(guī)定“平移量”a ，b 與“平移量” c ，d 的加法運(yùn)算法則為a ， b+c ， d=a+c ， b+d （ 1）計(jì)算： 3 ， 1+1 ， 2 ；（ 2）若一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn) A（ 1，1）出發(fā)，先按照“平移量” 2 ， 1 平移到點(diǎn) B，再按照“平移量”-1 ， 2 平移到點(diǎn)C；最后按照“平移量”-2 ， -1 平移到點(diǎn)D，在圖中畫出四邊形ABCD，并直接寫出點(diǎn)D 的坐標(biāo)；（3）將（ 2）中的四邊形ABCD以點(diǎn) A 為中心， 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié) AE.BE若動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿 AEB的三邊 AE.EB.BA 平移一周請(qǐng)用“平移量”加法算式表

10、示動(dòng)點(diǎn) P 的平移過程【答案】解：（ 1） 3 ， 1+1 ， 2=4 ，3 ；（ 2）B 點(diǎn)坐標(biāo)為：（ 1+2，1+1）=（ 3，2）；C 點(diǎn)坐標(biāo)為：（ 3-1 ，2+2）=（ 2，4）；D 點(diǎn)坐標(biāo)為：（ 2-2 ， 4-1 ） =（ 0，3）；如圖所示：5 / 11D（ 0， 3）（3）點(diǎn) A至點(diǎn) E，向右平移1 個(gè)單位，向下平移2 個(gè)單位；點(diǎn) E 至點(diǎn) B，向右平移 1 個(gè)單位，向上平移 3 個(gè)單位；點(diǎn) B 至點(diǎn) A，向左平移 2 個(gè)單位，向下平移 1 個(gè)單位；故動(dòng)點(diǎn) P 的平移過程可表示為： 1 ， -2+1 ， 3+-2， -1 3. 如圖，平行四邊形 ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) O，

11、直線 EF 經(jīng)過點(diǎn) O，分別與 AB，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E，F(xiàn)求證：四邊形 AECF是平行四邊形【思路點(diǎn)撥】 平行四邊形的判定方法有多種，選擇哪一種解答應(yīng)先分析題目中給的哪一方面的條件多些，本題所給的條件為四邊形 ABCD是平行四邊形，可證 OF=OE，OA=OC，根據(jù)條件在圖形中的位置，可選擇利用“對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形”來(lái)解決【答案與解析】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，OD=OB， OA=OC，AB CD， DFO=BEO， FDO= EBO，在 FDO和 EBO中，DFO BEOFDO EBO ,OD OB6 / 11 FDO EBO（ AAS），OF=OE，四邊形AE

12、CF是平行四邊形【總結(jié)升華】平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法類型二、平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理的綜合運(yùn)用4. 如圖， ABC中 AB=AC，點(diǎn) D 從點(diǎn) B 出發(fā)沿射線 BA 移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) E 從點(diǎn) C 出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已點(diǎn)知D.E 移動(dòng)的速度相同，DE與直線 BC相交于點(diǎn)F（ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 AB上時(shí)，過點(diǎn) D 作 AC的平行線交 BC于點(diǎn) G，連接 CD.GE，判定四邊形 CDGE的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）過點(diǎn) D 作直線 BC的垂線垂足為M，當(dāng)點(diǎn) D.E 在移動(dòng)的過程中，線段BM、

13、 MF、 CF有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論【思路點(diǎn)撥】（ 1）由題意得出 BD=CE，由平行線的性質(zhì)得出 DGB= ACB，由等腰三角形的性質(zhì)得出 B= ACB，得出 B= DGB，證出 BD=GD=CE，即可得出結(jié)論；（ 2）由（ 1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出BM=GM，由平行線得出 GF=CF，即可得出結(jié)論【答案與解析】解：（ 1）四邊形CDGE是平行四邊理由如下：如圖1 所示： D.E 移動(dòng)的速度相同，BD=CE， DG AE， DGB=ACB， AB=AC， B= ACB，7 / 11 B= DGB，BD=GD=CE，又 DG CE，四邊形CDGE是平行

14、四邊形；（ 2） BM+CF=MF；理由如下：如圖 2 所示：由（ 1）得： BD=GD=CE，DM BC，BM=GM，DG AE， GF=CF，BM+CF=GM+GF=MF【總結(jié)升華】 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、 平行四邊形的判定與性質(zhì)； 熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵舉一反三【變式】如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AE BD 于 E，CF BD于 F（ 1）求證： BE=DF；（ 2）若 M、 N 分別為邊 AD.BC上的點(diǎn)，且 DM=BN，試判斷四邊形 MENF的形狀（不必說(shuō)明理由） 8 / 11【答案】解：（ 1）四邊形ABCD是平行四邊形，

15、AB=CD ， AB CD， ABD=CDB，AE BD于 E， CFBD于 F， AEB=CFD=90， ABE CDF（ AAS）， BE=DF；（ 2）四邊形 MENF是平行四邊形證明：由（ 1）可知： BE=DF，四邊形 ABCD為平行四邊形， AD BC， MDB=NBD，DM=BN， DMF BNE，NE=MF， MFD= NEB， MFE=NEF，MF NE，四邊形MENF是平行四邊形5. 如圖，已知在平行四邊形 ABCD中， E.F 是對(duì)角線 BD上的兩點(diǎn)， BE=DF，點(diǎn) G、H 分別在 BA和 DC的延長(zhǎng)線上，且 AG=CH，連接 GE.EH、 HF、FG（1）求證：四邊形

16、 GEHF是平行四邊形；（ 2）若點(diǎn) G、H 分別在線段 BA 和 DC上，其余條件不變，則（ 1）中的結(jié)論是否成立？（不用說(shuō)明理由）9 / 11【思路點(diǎn)撥】（1）先由平行四邊形的性質(zhì)，得AB=CD，AB CD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得 GBE=HDF再由 SAS可證 GBE HDF，利用全等的性質(zhì)，證明GEF= HFE，從而得GE HF，又 GE=HF，運(yùn)用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得證（ 2）仍成立可仿照（ 1）的證明方法進(jìn)行證明【答案與解析】（ 1）證明：四邊形 ABCD是平行四邊形，AB=CD， AB CD， GBE= HDF又 AG=CH， BG=DH又 BE=DF， GBE HDFGE=HF， GEB= HFD， GEF= HFE，GE HF，四邊形GEHF是平行四邊形（ 2）解：仍成立 （證法同上）【總結(jié)升華】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形舉一反三【變式】如圖， ABCD中，對(duì)角線 AC，BD相交于 O點(diǎn)， AE