1、以傅里葉變換為基礎的頻域分析方法的優(yōu)點在于：它以傅里葉變換為基礎的頻域分析方法的優(yōu)點在于：它 給出的結果有著清楚的物理意義給出的結果有著清楚的物理意義 ，但也有不足之處，但也有不足之處， 傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號，而有傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號，而有 些信號是不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析些信號是不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析 受到限制；受到限制； 另外在求時域響應時運用傅里葉反變換對頻率進行的另外在求時域響應時運用傅里葉反變換對頻率進行的 無窮積分求解困難。無窮積分求解困難。 ttfd )(d 2 1 )( 1j tfFeFtf t 4.14.1

2、 引言引言 為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，第三章為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，第三章 中引入了廣義函數(shù)理論去解釋傅里葉變換，同時，中引入了廣義函數(shù)理論去解釋傅里葉變換，同時， 還可利用本章要討論的拉氏變換法擴大信號變換還可利用本章要討論的拉氏變換法擴大信號變換 的范圍。的范圍。 優(yōu)點：優(yōu)點： 求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進 行變換時，初始條件被自動計入，因此應用行變換時，初始條件被自動計入，因此應用 更為普遍。更為普遍。 缺點：缺點： 物理概念不如傅氏變換那樣清楚。物理概念不如傅氏變換那樣清楚。 本章內(nèi)容及學習方法本章內(nèi)容及學習方法 本

3、章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正 變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進行討論。變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進行討論。 本章重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進行復頻本章重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進行復頻 域分析。域分析。 最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點概念，并根據(jù)他零極點概念，并根據(jù)他 們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應，還要簡略介紹們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應，還要簡略介紹 系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。 注意與傅氏變換的對比，便于理解與記憶。注意與傅氏變換的對比，便于理解與記憶。 從傅里葉變換到拉普

4、拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換 拉氏變換的收斂拉氏變換的收斂 一些常用函數(shù)的拉氏變換一些常用函數(shù)的拉氏變換 4.2 拉普拉斯變換的定義、 收斂域 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 一從傅里葉變換到拉普拉斯變換一從傅里葉變換到拉普拉斯變換 t tfFF e)( 1 ttf tt dee)( j : , )(e ),( 依傅氏變換定義依傅氏變換定義絕對可積條件絕對可積條件 后容易滿足后容易滿足為任意實數(shù)為任意實數(shù)乘以衰減因子乘以衰減因子信號信號 t tf 稱為復頻率。稱為復頻率。具有頻率的量綱具有頻率的量綱令令 , , j:s )j( F ttfsF ts de 則則 1拉普拉斯正變換 ttf td e)(

5、)j( 2 2拉氏逆變換拉氏逆變換 de 2 1 e jtt jFtf dej 2 1 j t Ftf j j : s對對積分限：對積分限：對 je的傅里葉逆變換的傅里葉逆變換是是對于對于 Ftf t t e 以以兩邊同乘兩邊同乘 jdd ; j: ss則則取常數(shù)，取常數(shù)，若若其中其中 j j de j2 1 ssFtf ts ttfsFttfF tst dedej j 所以所以 3 3拉氏變換對拉氏變換對 起因信號：起因信號：考慮到實際信號都是有考慮到實際信號都是有 j j 1 de j2 1 de ts ts ssFtfLtf ttftfLsF 逆變換逆變換 正變換正變換 sFtf:記作記

6、作 ,0 相應的單邊拉氏變換為相應的單邊拉氏變換為系統(tǒng)系統(tǒng)采用采用 j j 1 0 de j2 1 de ts ts ssFtfLtf ttftfLsF 稱為象函數(shù)。稱為象函數(shù)。稱為原函數(shù)，稱為原函數(shù)，sFtf ttfF t de j 0 所以所以 二拉氏變換的收斂二拉氏變換的收斂 0 0e)(limtf t t 收斂域：使收斂域：使F(s)存在的存在的s的區(qū)域稱為收斂域。的區(qū)域稱為收斂域。 記為：記為：ROC(region of convergence) 實際上就是拉氏變換存在的條件；實際上就是拉氏變換存在的條件； O j 0 收斂坐標收斂坐標 收斂軸收斂軸 收斂區(qū)收斂區(qū) 例題及說明例題及說

7、明 ；的信號成為指數(shù)階信號的信號成為指數(shù)階信號滿足滿足 0 0e)(lim. 1tf t t 0 0elim. 3 tn t t tt t 0eelim. 4 6.一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。 進行拉氏變換。進行拉氏變換。為非指數(shù)階信號，無法為非指數(shù)階信號，無法 ，長快，找不到收斂坐標長快，找不到收斂坐標等信號比指數(shù)函數(shù)增等信號比指數(shù)函數(shù)增 2 e . 5 t 氏變換一定存在；氏變換一定存在；有界的非周期信號的拉有界的非周期信號的拉. 2 三一些常用函數(shù)的拉氏變換三一些常用函數(shù)的拉氏變換 0 de1)(ttuL st 1.階躍函數(shù)

8、 2.指數(shù)函數(shù) 0 deeetL sttt ss st 1 e 1 0 0 e s ts s 1 全全s域平面收斂域平面收斂 1de 0 tttL st 0 ede 0 00 stst tttttL 3.單位沖激信號 0 detttL st 2 0 1 e 11 sss st 0 detttL stnn 0 1 dett s n stn 0 de 1 st t s 0 0 dee 1 tt s stst 2 n 32 2 2122 sss tL s tL 3 n 43 23 6233 sss tL s tL 1 nn tL s n tL 0 e st n s t 0 1 dett s n st

9、n 1 ! n n s n tL 1 n 所以所以 所以所以 4tnu(t) 4.3 拉普拉斯變換的基本 性質(zhì) 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 線性線性 原函數(shù)微分原函數(shù)微分 原函數(shù)積分原函數(shù)積分 延時（時域平移）延時（時域平移） s域平移域平移 尺度變換尺度變換 初值初值 終值終值 卷積卷積 對對s域微分域微分 對對s域積分域積分 一線性一線性 )()()()( ,),()( ),()( 22112211 212211 sFKsFKtfKtfKL KKsFtfLsFtfL 則則 為常數(shù)，為常數(shù)，若若 tt ttf j j ee 2 1 )cos()( ss tL j 1 j 1 2 1 cos 22 s

10、s 已知已知 則則 s L t 1 e 同理同理 22 sin s tL 例題：例題： 二原函數(shù)微分二原函數(shù)微分 )0()( d )(d ),()( fssF t tf LsFtfL則則若若 )0()0()( )0(0 d )(d 2 2 fsfsFs ffsFs t tf L 1 0 )(1 )0()( d )(d n r rrnn n fssFs t tf L 推廣：推廣： 證明：證明： )(0 deede 000 ssFf ttsftfttf ststst 電感元件的s域模型 )()(),()(sVtvLsItiL LLLL t ti Ltv L L d )(d )( )0()()0()

11、()( LLLLL LisIsLissILsV )(tiL )(tvL L sI L Ls 0 L Li sVL 電感元件的電感元件的s模型模型 應用原函數(shù)微分性質(zhì)應用原函數(shù)微分性質(zhì) 設設 三原函數(shù)的積分三原函數(shù)的積分 ，則，則若若)()(sFtfL s f s sF fL t )0()( d)( 1 證明：證明： fff tt ddd 0 0 0 1 f 00 dedtf st t t st t st ttf s f s 0 0 0 de 1 d e t st ttf s 0 de 1 s f0 1 s sF 電容元件的s域模型 )()( ),()( sVtvL sItiL CC CC 設設

12、 t cC i C tv d)( 1 )( s i s sI C sV CC C )0()(1 )( )1( )0( d)( 1 )0( 1 0 )1( C CC v i C i C )0( 1 )( 1 CC v s sI sC tiC tvC C sC 1 0 1 C v s sIC sVC 電容元件的電容元件的s模型模型 四延時（時域平移） 0 e)()()( )()( 00 st sFttuttfL sFtfL ，則，則若若 0 0000 de)()()()(tttuttfttuttfL st 0 de)( 0 t st tttf ，令令 0 tt 代入上式代入上式則有則有,dd, 0

13、 ttt 0 00 dee)()()( 0 fttuttfL sst 0 e)( st sF 證明：證明： 時移特性、例題 222 1 1 1 1 1s s ss s sF 。求求已知已知)(, 4 cos2)(sFtuttf 1111 tututLttuLsF 【例例4-3-1】 sFttutf求求,1 已知已知 【例例4-3-2】 tttttfsincos 4 sinsin2 4 coscos2 s ss e 11 2 用時移性質(zhì)求單邊信號抽樣后的拉氏變換 0 00 s e)(de)()()( n nsTst nTftnTtnTftfL 域的級數(shù)。域的級數(shù)。拉氏變換可表示為拉氏變換可表示為

14、抽樣信號的抽樣信號的s 則則例如例如),(e)(tutf t 0 s ee)( n snTnT tfL Ts e1 1 五s域平移 )(e)( )()( sFtfL sFtfL t ，則，則若若 )(dee)(e)( 0 sFttftfL sttt 證明：證明： 例例4 4- -3 3- -3 3 2 0 2 0 )(cos: s s tutL 已知已知 2 0 2 0 )(cose s s tut t 所以所以 2 0 2 0 0 )(sine: s tut t 同理同理 的拉氏變換的拉氏變換求求t t 0 cose 六尺度變換六尺度變換 時移和標度變換都有時時移和標度變換都有時: : 0

15、1 )( ),()( a a s F a atfL sFtfL則則若若 0, 0 e 1 )()( ba a s F a batubatfL a b s 若若 0 de)()(tatfatfL st ，則，則令令at 0 de)()( a fatfL a s 0 de)( 1 f a a s a s F a 1 證明：證明： )(lim)0()(lim ),()( d )(d )( 0 ssFftf sFtf t tf tf st 則則可以進行拉氏變換，且可以進行拉氏變換，且及及若若 七初值 應化為真分式：應化為真分式：不是真分式不是真分式若若,sF ksFsF )()( 1 )(lim)(l

16、im)(lim)0( 0 tfksssFksFsf tss 項。項。中有中有中有常數(shù)項，說明中有常數(shù)項，說明ttfsF 初值定理證明初值定理證明 t tf LfssF d )(d 0)( t t tf std e d )(d 0 t t tf t t tf stst de d )(d de d )(d 0 0 0 t t tf fssF std e d )(d 0)( 0 所以所以 0delim d )(d de d )(d lim 00 t t tf t t tf st s st s 由原函數(shù)微分定理可知由原函數(shù)微分定理可知 t t tf ff std e d )(d 00 0 例例4-3-

17、4 即單位階躍信號的初始值為即單位階躍信號的初始值為1。 ?)0(, 1 )(: f s sF求求已知已知 1)(lim)(lim)0( 0 ssFtff st 例例4-3-2 ?)0(, 1 2 )( f s s sF求求 2 1 2 1 2 ss s sF因為因為 s s sksssFf ss 2 1 2 2lim)(lim)0( 所以所以 2 1 1 2 lim 1 2 lim s s s ss 2)0( f所以所以 項項中有中有ttf 2 終值存在的條件終值存在的條件: ，則，則的拉氏變換存在，若的拉氏變換存在，若設設)()( d )(d ),(sFtfL t tf tf )(lim)

18、(lim 0 ssFtf st 上無極點。上無極點。原點除外原點除外軸軸在右半平面和在右半平面和) ( j ssF 八終值八終值 t t tf fssF std e d )(d 0)( 0 t t tf fssF st ss de d )(d lim0)(lim 000 0)(lim0ftff t 證明：證明： 根據(jù)初值定理證明時得到的公式根據(jù)初值定理證明時得到的公式 )(limtf t 九卷積九卷積 )()()()( 2121 sFsFtftfL )()( j2 1 )()( 2121 sFsFtftfL 則則 為有始信號，為有始信號，若若)(),()()()()( 212211 tftfs

19、FtfLsFtfL 證明：證明： ttutfuftftfL std ed 2 00 121 交換積分次序交換積分次序 ttutfftftfL st dde 00 2121 0 , 同同積分區(qū)間：積分區(qū)間：令令xttx xxfftftfL sxs ddee 00 2121 )()( 21 sFsF 十對十對s微分微分 s sF ttfL d )(d )( 常用形式：常用形式： 取正整數(shù)取正整數(shù) ，則，則若若 n s sF tftL sFtfL n n nn d )(d )1()( )()( 十一對十一對s積分積分 ttfsF std e)()( 兩邊對兩邊對s積分：積分： s st s sttf

20、ssFdde)(d)( 交換積分次序交換積分次序: tstf s ts dde)( s ssF t tf LsFtfLd)( )( )()(，則，則若若 t t tf s ts de 1 )( t t tf ts de )( 證明：證明： 4.4 拉普拉斯逆變換 主要內(nèi)容 由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法 部分分式法求拉氏逆變換部分分式法求拉氏逆變換 兩種特殊情況兩種特殊情況 一由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法一由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法 (1)(1)部分分式法部分分式法 (2)(2)利用留數(shù)定理利用留數(shù)定理圍線積分法圍線積分法 (3)(3)數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法利用計算機利用

21、計算機 二F(s)的一般形式 01 1 1 01 1 1 )( )( )( bsbsbsb asasasa sB sA sF n n n n m m m m ai,bi為實數(shù)，為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。為正整數(shù)。 , 為有理真分式為有理真分式當當sFnm :式式具有如下的有理分式形具有如下的有理分式形通常通常sF )()( )()( )( )( )( 21 21 nn mm pspspsb zszszsa sB sA sF 分解分解 零點零點 極點極點 0)(0)( sFsA因為因為 的零點的零點稱為稱為的根的根是是sFsAzzzz m ,0, 321 的極點的極點稱為稱為的根的根是是sFsBp

22、ppp n ,0, 321 )(0)(sFsB因為因為 三三拉氏逆變換的過程拉氏逆變換的過程 的極點的極點找出找出sF 展成部分分式展成部分分式將將sF tf查拉氏變換表求查拉氏變換表求 四部分分式展開法四部分分式展開法(mn) 1.1.第一種情況：第一種情況：單階單階實數(shù)極點實數(shù)極點 , 321 為不同的實數(shù)根為不同的實數(shù)根 n pppp )()( )( )( 21n pspsps sA sF n n ps k ps k ps k sF 2 2 1 1 )( 展開為部分分式展開為部分分式即可將即可將求出求出sFkkkk n, , 321 2. 第二種情況：極點為共軛復數(shù)第二種情況：極點為共軛

23、復數(shù) 3.3.第三種情況：第三種情況：有重根存在有重根存在 第一種情況：單階實數(shù)極點 (1)找極點找極點 )3)(2)(1( 332 2 sss ss sF (2)展成部分分式展成部分分式 321 321 s k s k s k sF 3 6 2 5 1 1 )( sss sF所以所以 6116 332 )( 23 2 sss ss sF 1 e s tuL t 根據(jù)根據(jù) 0e6e5e)(: 32 ttf ttt 得得 (3)逆變換逆變換 求系數(shù)求系數(shù) 如何求系數(shù)k1, k2, k3？ 1 1 k所以所以 1, 1 ss且令且令對等式兩邊同乘以對等式兩邊同乘以 1 1 321 321 )1(k

24、 s k s k s k s s 右邊右邊 1 )()1( s sFs左邊左邊 1 )3)(2)(1( 332 )1( 1 2 s sss ss s , 5)()2(: 2 2 s sFsk同理同理 6)()3( 33 s sFsk 3 6 2 5 1 1 )( sss sF所以所以 第二種情況：極點為共軛復數(shù) 2 2 ssD sA sF ss sF jj 1 共軛極點出現(xiàn)在共軛極點出現(xiàn)在 j . jj 21 s K s K sF s sFsK j j 1 F j2 j 1 s sFsK j j 2 F j2 j 2 成共軛關系：成共軛關系：可見可見 21,K K BAKj 1 * 12 jK

25、BAK 求f(t) BAKj 1 * 12 jKBAK s K s K Ltf jj 21 1 C ttt KK eee * 11 tBtA t sincose2 例題 。的逆變換的逆變換求求)( )52)(2( 3 )( 2 2 tf sss s sF )2)(2j1)(2j1( 3 2 sss s sF 2j12j12 210 s K s K s K 02, , 1 取取 5 7 )2( 2 0 s sFsK 5 2j1 )2j1)(2( 3 2j1 2 1 s ss s K 5 2 , 5 1 BA 0 2sin 5 2 2cos 5 1 e2e 5 7 2 ttttf tt 2 2 s

26、 s sF F(s)具有共軛極點，不必用部分分式展開法具有共軛極點，不必用部分分式展開法 2 2 2 2 ss s sF 0 sinecose tt ttf tt 求下示函數(shù)求下示函數(shù)F(s) 的逆變換的逆變換f(t)： 解：解： 求得求得 另一種方法 22 2 )( cose )( sine s s tL s tL t t 利用利用 3. 第三種情況：第三種情況：有重根存在有重根存在 2 321 2 2 )1(12)1)(2( )( s k s k s k ss s sF 4 )1)(2( )2( 2 2 2 1 s ss s sk 1 )1)(2( )1( 1 2 2 2 3 s ss s sk 為重根最高次系數(shù)為重根最高次系數(shù)為單根系數(shù)為單根系數(shù) 31 ,kk 如何求如何求k2 ? 如何求k2? 設法使部分分式只保留設法使部分分式只保留k2，其他分式為，其他分式為0 32 1 2 2 )1( 2 )1( 2 ksk s k s s s 0 )2( )1()2)(1(2 2 2 2 11 k s skkss 2 2 2 22 )2( 4 )2( )2(2 2d d s ss s sss s s s 3 2 k所以所以 2 )1( s對原式兩邊乘以對原式兩