1、7.1 引言 連續(xù)時(shí)間信號(hào)、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)： f(t)是連續(xù)變化的是連續(xù)變化的t的函數(shù)，除若干不連續(xù)點(diǎn)之外對(duì)的函數(shù)，除若干不連續(xù)點(diǎn)之外對(duì) 于任意時(shí)間值都可以給出確定的函數(shù)值。函數(shù)的波形都于任意時(shí)間值都可以給出確定的函數(shù)值。函數(shù)的波形都 是具有平滑曲線的形狀，一般也稱模擬信號(hào)。是具有平滑曲線的形狀，一般也稱模擬信號(hào)。 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)： 系統(tǒng)的輸入、輸出都是連續(xù)的時(shí)間信號(hào)。系統(tǒng)的輸入、輸出都是連續(xù)的時(shí)間信號(hào)。 模擬信號(hào)模擬信號(hào) 抽樣信號(hào)抽樣信號(hào) 量化信號(hào)量化信號(hào) 離散時(shí)間信號(hào)、離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間信號(hào)、離散時(shí)間系統(tǒng) 離散時(shí)間信號(hào)：離散時(shí)間信號(hào)： 時(shí)間變量是離散的

2、，時(shí)間變量是離散的， 函數(shù)只在某些規(guī)定的時(shí)刻函數(shù)只在某些規(guī)定的時(shí)刻 有確定的值，在其他時(shí)間有確定的值，在其他時(shí)間 沒(méi)有定義。沒(méi)有定義。 離散時(shí)間系統(tǒng)：離散時(shí)間系統(tǒng)： 系統(tǒng)的輸入、輸出都是離散的時(shí)間信號(hào)。如數(shù)字系統(tǒng)的輸入、輸出都是離散的時(shí)間信號(hào)。如數(shù)字 計(jì)算機(jī)。計(jì)算機(jī)。 o k t k tf 2 t 1 t 1 t 3 t 2 t 離散信號(hào)可以由模擬信號(hào)抽樣而得，也可以由實(shí)際系離散信號(hào)可以由模擬信號(hào)抽樣而得，也可以由實(shí)際系 統(tǒng)生成。統(tǒng)生成。 量化 幅值量化幅值量化幅值只能分級(jí)變化。幅值只能分級(jí)變化。 采樣過(guò)程采樣過(guò)程就是對(duì)模擬信號(hào)的時(shí)間取離就是對(duì)模擬信號(hào)的時(shí)間取離 散的量化值過(guò)程散的量化值過(guò)程得

3、到離散信號(hào)。得到離散信號(hào)。 數(shù)字信號(hào)：數(shù)字信號(hào)：離散信號(hào)在各離散點(diǎn)的幅值被量化的信號(hào)。離散信號(hào)在各離散點(diǎn)的幅值被量化的信號(hào)。 o t tf TT2T3 1 . 3 2 . 4 5 . 1 9 . 0 o TT2T3 tfq t 3 4 2 1 離散時(shí)間系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)離散時(shí)間系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn) 便于實(shí)現(xiàn)大規(guī)模集成，從而在重量和體積方面顯示其便于實(shí)現(xiàn)大規(guī)模集成，從而在重量和體積方面顯示其 優(yōu)越性；優(yōu)越性； 容易作到精度高，模擬元件精度低，而數(shù)字系統(tǒng)的精容易作到精度高，模擬元件精度低，而數(shù)字系統(tǒng)的精 度取決于位數(shù)；度取決于位數(shù)； 可靠性好；可靠性好； 存儲(chǔ)器的合理運(yùn)用使系統(tǒng)具有靈活的功能；存儲(chǔ)器的合理運(yùn)用使系統(tǒng)

4、具有靈活的功能； 易消除噪聲干擾；易消除噪聲干擾； 數(shù)字系統(tǒng)容易利用可編程技術(shù)，借助于軟件控制，大數(shù)字系統(tǒng)容易利用可編程技術(shù)，借助于軟件控制，大 大改善了系統(tǒng)的靈活性和通用性；大改善了系統(tǒng)的靈活性和通用性； 易處理速率很低的信號(hào)。易處理速率很低的信號(hào)。 離散時(shí)間系統(tǒng)的困難和缺點(diǎn)離散時(shí)間系統(tǒng)的困難和缺點(diǎn) 高速時(shí)實(shí)現(xiàn)困難，設(shè)備復(fù)雜，成本高，通信系統(tǒng)由高速時(shí)實(shí)現(xiàn)困難，設(shè)備復(fù)雜，成本高，通信系統(tǒng)由 模擬轉(zhuǎn)化為數(shù)字要犧牲帶寬。模擬轉(zhuǎn)化為數(shù)字要犧牲帶寬。 應(yīng)用前景 由于數(shù)字系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，使許多模擬系統(tǒng)逐步被淘汰，由于數(shù)字系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，使許多模擬系統(tǒng)逐步被淘汰， 被數(shù)字（更多是模數(shù)混合）系統(tǒng)所代替；被數(shù)字（更多

5、是模數(shù)混合）系統(tǒng)所代替； 人們提出了“數(shù)字地球”、“數(shù)字化世界”、“數(shù)人們提出了“數(shù)字地球”、“數(shù)字化世界”、“數(shù) 字化生存”等概念，數(shù)字化技術(shù)逐步滲透到人類工作與字化生存”等概念，數(shù)字化技術(shù)逐步滲透到人類工作與 生活的每個(gè)角落。數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)正在使人類生產(chǎn)和生活的每個(gè)角落。數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)正在使人類生產(chǎn)和 生活質(zhì)量提高到前所未有的新境界。生活質(zhì)量提高到前所未有的新境界。 混合系統(tǒng)：混合系統(tǒng)： 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)聯(lián)合應(yīng)用連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)聯(lián)合應(yīng)用。如自控如自控 系統(tǒng)系統(tǒng)、數(shù)字通信系統(tǒng)數(shù)字通信系統(tǒng)。 需要需要A/D、D/A轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換。 不能認(rèn)為數(shù)字技術(shù)將取代一切連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的應(yīng)用

6、不能認(rèn)為數(shù)字技術(shù)將取代一切連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的應(yīng)用 人類在自然界中遇到的待處理信號(hào)相當(dāng)多的是連人類在自然界中遇到的待處理信號(hào)相當(dāng)多的是連 續(xù)時(shí)間信號(hào)，需經(jīng)續(xù)時(shí)間信號(hào)，需經(jīng)A/D、D/A轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換。 當(dāng)頻率較高時(shí)，直接采用數(shù)字集成器件尚有一些當(dāng)頻率較高時(shí)，直接采用數(shù)字集成器件尚有一些 困難，有時(shí)，用連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)處理或許比較簡(jiǎn)便。困難，有時(shí)，用連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)處理或許比較簡(jiǎn)便。 最佳地協(xié)調(diào)模擬與數(shù)字部件已成為系統(tǒng)設(shè)計(jì)師的最佳地協(xié)調(diào)模擬與數(shù)字部件已成為系統(tǒng)設(shè)計(jì)師的 首要職責(zé)。首要職責(zé)。 混合系統(tǒng)混合系統(tǒng) 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析 拉氏變換法拉氏變換法變換域分析變換域分析 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 特解

7、特解經(jīng)典法：齊次解經(jīng)典法：齊次解 時(shí)域分析時(shí)域分析 : 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)微分方程描述微分方程描述 變換法變換法變換域分析變換域分析 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 特解特解經(jīng)典法：齊次解經(jīng)典法：齊次解 時(shí)域分析時(shí)域分析 z: 離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)差分方程描述差分方程描述 差分方程的解法與微分方程類似差分方程的解法與微分方程類似 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 離散時(shí)間信號(hào)及其描述離散時(shí)間信號(hào)及其描述、運(yùn)算；運(yùn)算； 離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程；差分方程； 線性差分方程的時(shí)域解法；線性差分方程的時(shí)域解法； 離散時(shí)間系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)；離散時(shí)間系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)；

8、離散卷積。離散卷積。 注意離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)分析方法上的聯(lián)系注意離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)分析方法上的聯(lián)系、 區(qū)別區(qū)別、對(duì)比對(duì)比，與連續(xù)系統(tǒng)有并行的相似性與連續(xù)系統(tǒng)有并行的相似性。和前幾和前幾 章對(duì)照章對(duì)照，溫故而知新溫故而知新。 學(xué)習(xí)方法 7.2 離散時(shí)間信號(hào)序列 離散時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算離散時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算 常用離散時(shí)間信號(hào)常用離散時(shí)間信號(hào) 離散信號(hào)的表示方法離散信號(hào)的表示方法 一離散信號(hào)的表示方法 值的大小值的大小線段的長(zhǎng)短表示各序列線段的長(zhǎng)短表示各序列波形表示波形表示 可以用函數(shù)表示可以用函數(shù)表示有規(guī)則的有規(guī)則的 如如數(shù)字序列數(shù)字序列 : :, 1.0,3.0,8.0,9.0 0 nx n 淆。淆。用

9、場(chǎng)合一般不會(huì)混用場(chǎng)合一般不會(huì)混表示整個(gè)序列，在應(yīng)表示整個(gè)序列，在應(yīng) 書(shū)寫方便，常以書(shū)寫方便，常以概念上有區(qū)別，但為了概念上有區(qū)別，但為了與與 nxnxnx , 2, 1, 0 nnxTnTxtx等間隔等間隔 序列的三種形式序列的三種形式 O )(nx n O )(nx n O )(nx n1 n 2 n ；雙邊序列：雙邊序列： n ；單邊序列：?jiǎn)芜呅蛄校? n ；有限長(zhǎng)序列：有限長(zhǎng)序列： 21 nnn 二離散信號(hào)的運(yùn)算二離散信號(hào)的運(yùn)算 1相加： 2相乘： 3乘系數(shù)： )()()(nynxnz )()()(nynxnz )()(naxnz 左移位左移位 右移位右移位 )()( )()( mnxn

10、z mnxnz 4移位： on 1 nx 1 2 3 1 x 0 x 1x 3x 2x 4 1 on nx 1 2 3 1 x 0 x 1x 3x 2x 1 )()(nxnz )1()()( )()1()( nxnxnx nxnxnx 后向差分：后向差分： 前向差分：前向差分： k kxnz)()( 5倒置： 6差分： 7累加： 8重排（壓縮、擴(kuò)展）： a n xnxanxnx , 或或 注意：有時(shí)需去除某些點(diǎn)或補(bǔ)足相應(yīng)的零值。注意：有時(shí)需去除某些點(diǎn)或補(bǔ)足相應(yīng)的零值。 9序列的能量 n n nxE 2 )( 三常用離散信號(hào)三常用離散信號(hào) 單位樣值信號(hào)單位樣值信號(hào) 單位階躍序列單位階躍序列 矩形

11、序列矩形序列 斜變序列斜變序列 單邊指數(shù)序列單邊指數(shù)序列 正弦序列正弦序列 復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列 1 1單位樣值信號(hào)單位樣值信號(hào) 0, 1 0, 0 )( n n n 時(shí)移性時(shí)移性 比例性比例性 )(),(jncnc 抽樣性抽樣性 )()0()()(nfnnf 注意：注意： n O )(n 1 1 jn jn jn , 1 , 0 )( n )1( n 1 1O 。不是面積取有限值為在 ，幅度為表示，強(qiáng)度用面積 10n)n( ;0t) t ( 利用單位樣值信號(hào)表示任意序列利用單位樣值信號(hào)表示任意序列 m mnmxnx)()()( ,.,0030511 0n nf 1 2 341on nf 5

12、. 1 3 235 . 11 nnn 2 2單位階躍序列單位階躍序列 00 01 )( n n nu n O )(nu 1 11 2 3 0 )( )3()2()1()()( k kn nnnnnu : )(樣值之和樣值之和可以看作是無(wú)數(shù)個(gè)單位可以看作是無(wú)數(shù)個(gè)單位nu ) 1()()( nunun 商關(guān)系。商關(guān)系。是差和關(guān)系，不再是微是差和關(guān)系，不再是微與與 nun 3 3矩形序列矩形序列 Nnn Nn nRN , 00 101 )( )()()(NnununRnu N 的關(guān)系：的關(guān)系：與與 no )(nRN 1 11 23 1 N 4 4斜變序列斜變序列 )()(nnunx n O )(nx

13、 1 11 234 On 1 nua n 1 1234 01 a 5 5單邊指數(shù)序列單邊指數(shù)序列 nuanx n On 1 nua n 1 1234 1 a On 1 nua n 1 1234 1 a On 1 nua n 1 1234 10 a 6 6正弦序列正弦序列 數(shù)值。數(shù)值。個(gè)重復(fù)一次正弦包絡(luò)的個(gè)重復(fù)一次正弦包絡(luò)的則序列每則序列每當(dāng)當(dāng) 的速率。的速率。序列值依次周期性重復(fù)序列值依次周期性重復(fù)正弦序列的頻率正弦序列的頻率 10 , 10 2 ,: 0 0 0 sin nnx 15 O n 1 10 0 sin n t 0 sin 1 sin 0 是周期序列應(yīng)滿足是周期序列應(yīng)滿足離散正弦序

14、列離散正弦序列nnx N稱為序列的周期稱為序列的周期，為任意正整數(shù)為任意正整數(shù)。 nxNnx 0 cos nnx 余弦序列：余弦序列： 正弦序列周期性的判別正弦序列周期性的判別 2 0 是正整數(shù)是正整數(shù)，NN 為有理數(shù)為有理數(shù)， m N m N 0 2 sin 0 仍為周期的仍為周期的n 0 2 mN 周期：周期： 正弦序列是周期的正弦序列是周期的 Nn 0 sin n 0 sin 2sin 0 n 0 0 2 sin n Nn 0 sin n 0 sin 2sin 0 mn 0 0 2 sin mn 為無(wú)理數(shù)為無(wú)理數(shù) 0 2 值值的的找不到滿足找不到滿足NnxNnx ，為非周期的，為非周期的

15、 T 2 0 的關(guān)系與區(qū)別。的關(guān)系與區(qū)別。與連續(xù)信號(hào)與連續(xù)信號(hào)離散信號(hào)離散信號(hào)tn 00 sin sin ttftf 00 sin2sin 離散點(diǎn)離散點(diǎn)（時(shí)刻時(shí)刻）nT上的正弦值上的正弦值 nTnTx 0 sin 00 ，離散正弦信號(hào)，離散正弦信號(hào)令令T nnx 0 sin 離散域的頻率離散域的頻率連續(xù)連續(xù)弧度弧度單位單位 連續(xù)域的正弦頻率連續(xù)域的正弦頻率連續(xù)連續(xù)秒秒弧度弧度單位單位 / 0 0 區(qū)別區(qū)別: : ， 0 7 7復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列 復(fù)序列用極坐標(biāo)表示：復(fù)序列用極坐標(biāo)表示： nnnx n 00 j sinjcose 0 nx nxnx argj e 1 nx nnx 0 arg

16、復(fù)指數(shù)序列：復(fù)指數(shù)序列： 數(shù)字角頻率（離散域的頻率）的取值數(shù)字角頻率（離散域的頻率）的取值 數(shù)字頻率數(shù)字頻率抽樣間隔的關(guān)系應(yīng)滿足抽樣間隔的關(guān)系應(yīng)滿足NyquistNyquist抽樣率抽樣率 S 0 S00 2 T ，因?yàn)?S0 20所以 ，可以取負(fù)值，所以 00 范圍內(nèi)取值。，只能在但 可以連續(xù)變化，數(shù)字頻率 0 0 。超過(guò)的弧度數(shù)，其數(shù)值不會(huì) 隔為抽樣值的數(shù)字頻率間正弦函數(shù)本身周期為 2 ,2 0 為抽樣角頻率，時(shí)間為抽樣間隔 sS T 例例7 7- -2 2- -1 1 0, 0 0,2 )( n n nx n 試寫出其序列形式并畫(huà)出波形。試寫出其序列形式并畫(huà)出波形。 波形：波形： n12

17、1 2 nx 1 2 4 O ,8,4,2,1,0,0,)( 0n nx 序列形式：序列形式： 例例7 7- -2 2- -2 2 On 1 nx 1 2345 6 2 3 4 5 6 On 1 2 n x 1 2345 678 910 12 2 3 4 5 6 On nx 2 1 2345 6 2 4 6 波形。波形。 波形，請(qǐng)畫(huà)出波形，請(qǐng)畫(huà)出已知已知 2 ),2( )( n xnx nx 例例7 7- -2 2- -3 3 設(shè)設(shè)N=10，說(shuō)明正弦序列的包絡(luò)線每隔說(shuō)明正弦序列的包絡(luò)線每隔10個(gè)樣值重復(fù)一個(gè)樣值重復(fù)一 次次，周期為周期為10。 2 . 0 10 22 0 N 小。小。間弧度間弧

18、度 小，兩個(gè)序列值小，兩個(gè)序列值率，率，速速反映每個(gè)序列值出現(xiàn)的反映每個(gè)序列值出現(xiàn)的 00 15 on 1 0 sin n t0sin 1 10 。的弧度數(shù)為的弧度數(shù)為表示相鄰兩個(gè)序列值間表示相鄰兩個(gè)序列值間2 . 0 1 2 345 678 9 10 1122 n nx 一個(gè)周期一個(gè)周期 ）個(gè)個(gè)中有中有。（。（，即周期為，即周期為所以所以 0 5 . 5 211 11N 11 4 sin求其周期。求其周期。，已知：已知：n m N 2 11 4 11 2 2 11 4 0 0 則有：則有：， 例例7 7- -2 2- -4 4 4 . 0sin是否為周期信號(hào)？是否為周期信號(hào)？信號(hào)信號(hào)nnx

19、4 . 0 0 例例7 7- -2 2- -5 5 是無(wú)理數(shù)是無(wú)理數(shù)5 2 0 所以為非周期的序列所以為非周期的序列 7.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué) 模型差分方程 用差分方程描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng)用差分方程描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng) 由實(shí)際問(wèn)題直接得到差分方程由實(shí)際問(wèn)題直接得到差分方程 由微分方程導(dǎo)出差分方程由微分方程導(dǎo)出差分方程 由系統(tǒng)框圖寫差分方程由系統(tǒng)框圖寫差分方程 差分方程的特點(diǎn)差分方程的特點(diǎn) 一用差分方程描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng)一用差分方程描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng) 離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng) )( 1 nx)( 1 ny 離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng) )( 2 nx)( 2 ny 離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間

20、系統(tǒng) )()( 2211 nxcnxc )()( 2211 nycnyc 線性：均勻性、可加性均成立；線性：均勻性、可加性均成立； 時(shí)不變性時(shí)不變性 ，nynx 位位整個(gè)序列右移整個(gè)序列右移 NNnyNnx nO )(nx 1 1 1 2 3 系統(tǒng)系統(tǒng) n O )(ny 1 112 3 4 n O )(Nnx 1 1123 系統(tǒng)系統(tǒng) n O )(Nny 1 1123 二由實(shí)際問(wèn)題直接得到差分方程 例如：例如： y(n)表示一個(gè)國(guó)家在第表示一個(gè)國(guó)家在第n年的人口數(shù)年的人口數(shù) a(常數(shù)常數(shù))：出生率：出生率 b(常數(shù)常數(shù)): 死亡率死亡率 設(shè)設(shè)x(n)是國(guó)外移民的凈增數(shù)是國(guó)外移民的凈增數(shù) 則該國(guó)在

21、第則該國(guó)在第n+1年的人口總數(shù)為：年的人口總數(shù)為： y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n) =(a-b+1)y(n)+x(n) 三由微分方程導(dǎo)出差分方程 T Ttyty t ty d d T tyTty t ty d d 后差后差 或前差或前差 tftay t ty d d ：輸出：輸出ty ：輸入：輸入tf T : 時(shí)間間隔時(shí)間間隔 列差分方程 nynTyty nfnTftf nfnay T nyny 1 nf aT T ny aT ny 1 1 1 1 若用后差形式若用后差形式 tftay T Ttyty 若在若在t=nT 各點(diǎn)取得樣值各點(diǎn)取得樣值 當(dāng)前輸出當(dāng)前輸出 前一

22、個(gè)輸出前一個(gè)輸出 輸入輸入 n代表序號(hào)代表序號(hào) 四由系統(tǒng)框圖寫差分方程 1基本單元 nx1 nx2 nxnx 21 nx1 nx2 nxnx 21 加法器加法器： 乘法器：乘法器： nx1 nx2 nxnx 21 nx nax a nx nax a 延時(shí)器延時(shí)器 單位延時(shí)實(shí)際是一個(gè)移位寄存器，把前一個(gè)離單位延時(shí)實(shí)際是一個(gè)移位寄存器，把前一個(gè)離 散值頂出來(lái)，遞補(bǔ)。散值頂出來(lái)，遞補(bǔ)。 ny 1 ny E 1 ny 1 ny 1 z 標(biāo)量乘法器標(biāo)量乘法器 系統(tǒng)框圖 五差分方程的特點(diǎn) (1)輸出序列的第輸出序列的第n個(gè)值不僅決定于同一瞬間的輸入樣個(gè)值不僅決定于同一瞬間的輸入樣 值，而且還與前面輸出值有

23、關(guān)，每個(gè)輸出值必須依次值，而且還與前面輸出值有關(guān)，每個(gè)輸出值必須依次 保留。保留。 (2)差分方程的階數(shù)：差分方程中變量的最高和最低差分方程的階數(shù)：差分方程中變量的最高和最低 序號(hào)差數(shù)為階數(shù)。序號(hào)差數(shù)為階數(shù)。 如果一個(gè)系統(tǒng)的第如果一個(gè)系統(tǒng)的第n個(gè)輸出決定于剛過(guò)去的幾個(gè)輸出個(gè)輸出決定于剛過(guò)去的幾個(gè)輸出 值及輸入值，那么描述它的差分方程就是幾階的。值及輸入值，那么描述它的差分方程就是幾階的。 M r r N k k rnxbknya 00 :通式通式 差分方程的特點(diǎn)差分方程的特點(diǎn) (4)差分方程描述離散時(shí)間系統(tǒng)，輸入序列與輸出序差分方程描述離散時(shí)間系統(tǒng)，輸入序列與輸出序 列間的運(yùn)算關(guān)系與系統(tǒng)框圖有

24、對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該會(huì)寫列間的運(yùn)算關(guān)系與系統(tǒng)框圖有對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該會(huì)寫 會(huì)畫(huà)。會(huì)畫(huà)。 (3)微分方程可以用差分方程來(lái)逼近，微分方程解是微分方程可以用差分方程來(lái)逼近，微分方程解是 精確解，差分方程解是近似解，兩者有許多類似之精確解，差分方程解是近似解，兩者有許多類似之 處。處。 例例7-3-1 1 naynxny 框圖如圖，寫出差分方程框圖如圖，寫出差分方程 解：解： a nx ny E 1 a nx ny E 1 naynxny 1 nxny a ny 1 1 )( 或或 一階后向差分方程一階后向差分方程 一階前向差分方程一階前向差分方程 7.4 常系數(shù)線性差分方程 的求解 解法解法 1.1.迭代法迭

25、代法 3.3.零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+ +零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 2.2.時(shí)域經(jīng)典法：齊次解時(shí)域經(jīng)典法：齊次解+ +特解特解 4. z變換法變換法反變換反變換y(n) 一迭代法 解差分方程的基礎(chǔ)方法解差分方程的基礎(chǔ)方法 差分方程本身是一種遞推關(guān)系，差分方程本身是一種遞推關(guān)系， 的解析式的解析式但得不到輸出序列但得不到輸出序列 ny 二時(shí)域經(jīng)典法 1.齊次解：齊次方程的解 01 nayny a ny ny y y y y y 10 1 1 0 , 01 n Cany 指數(shù)形式指數(shù)形式 不能全為零不能全為零但起始狀態(tài)但起始狀態(tài)Nyyy ,2,1 所

26、以所以的幾何級(jí)數(shù)的幾何級(jí)數(shù)是一個(gè)公比為是一個(gè)公比為說(shuō)明說(shuō)明 , any arar 可得可得或由特征方程或由特征方程, 0 nn CaCrny 求待定系數(shù) C由邊界決定由邊界決定 210 ayy 代入原方程代入原方程， , 2 1 a y 設(shè)設(shè) 0 n令令 ny 由方程解由方程解 CCay 0 0 2 C所以所以 n any2 齊次解齊次解 求差分方程齊次解步驟 差分方程差分方程 特征方程特征方程特征根特征根 y(n)的解析式的解析式由起始狀態(tài)定常數(shù)由起始狀態(tài)定常數(shù) 根據(jù)特征根，解的三種情況 n nn nn rCrCrCny 2211 階方程階方程無(wú)重根無(wú)重根nrrr n 21 . 1 2.2.

27、有重根有重根 如三重根如三重根r r1 1=r=r2 2=r=r3 3=r=r 3.3.有共軛復(fù)數(shù)根有共軛復(fù)數(shù)根 可視為二個(gè)不等單根可視為二個(gè)不等單根 n 2 3 n 2 n 1 rnCrnCrCny 2.特解 線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出有相同的形式線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出有相同的形式 an nxe an Anye n nx j e n Any j e 輸入輸入 輸出輸出 nnx cos )cos( nAny nnx sin )sin( nAny k nnx 01 1 1 AnAnAnAny k k k k Anx Cny nrnx nrCny nrnx n n rCrnCny 21 （r與特征

28、根重）與特征根重） 三零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng) 1.零輸入響應(yīng)：輸入為零，差分方程為齊次 C由初始狀態(tài)定由初始狀態(tài)定（相當(dāng)于相當(dāng)于0-的條件的條件） nrC齊次解：齊次解： 2.零狀態(tài)響應(yīng)：初始狀態(tài)為0，即 021 yy 求解方法求解方法 經(jīng)典法：齊次解經(jīng)典法：齊次解+ +特解特解 卷積法卷積法 例7-4-1 111300 yyn 410311 yyn 1311322 yyn 4012333 yyn 由遞推關(guān)系由遞推關(guān)系,可得輸出值：可得輸出值： ,40,13, 4, 1 0n ny 求解方程。求解方程。，且，且已知已知, 0113 ynunyny 02615 nynyny 11, 20。已知已

29、知 yy 3, 2 21 rr 13211 200 21 21 CCyn CCyn n n ny3325 求解二階差分方程求解二階差分方程 特征方程特征方程 032065 2 rrrr 齊次解齊次解 n n CCny32 21 定定C1,C2 解出解出 3, 5 21 CC 例例7-4-2 特征根特征根 的解。 求方程 03ny82ny121ny6ny nnn nCnCCny222 2 321 特征方程特征方程 0208126 3 23 rrrr 三重根三重根 2 r 給定邊界條件即可求出常數(shù)給定邊界條件即可求出常數(shù) 321 ,CCC 例7-4-3 例7-4-4 設(shè)差分方程的特征根為設(shè)差分方程

30、的特征根為 jj MerMer 21 n n rCrCny 2211 n j n j MeCMeC 21 njnMCnjnMC nn sincossincos 21 nQMnPM nn sincos P,Q為待定系數(shù)為待定系數(shù) 為減幅正弦序列為減幅正弦序列 nyM1 nyM1 為等幅正弦序列為等幅正弦序列 nyM1 為增幅正弦序列為增幅正弦序列 討論零輸入響應(yīng)情況討論零輸入響應(yīng)情況 例例7 7- -4 4- -5 5 求全解求全解 且且 11 512 y nunyny 202 rr 齊次解齊次解 （常數(shù)）（常數(shù)）時(shí)全為時(shí)全為 5 05 nnunx Cny p )0(52 nCC 3 5 C 代

31、入原方程求特解代入原方程求特解 3 5 2 1 n ph Cnynyny n h Cny2 1 特解特解 全解形式全解形式 3)1(25)0( 0 yyn 迭代出迭代出由由11 y ，得，得代入解代入解 3 5 2 1 n Cny 3 5 30 1 Cy 3 4 1 C 0 3 5 2 3 4 nny n 由邊界條件定系數(shù)由邊界條件定系數(shù) 1nxnx2ny21ny3ny LTIS的差分方程 0102 yynunx n 已知已知 時(shí)的解。時(shí)的解。即當(dāng)即當(dāng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)0, nxnyzi 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。 02213 nynyny 1, 2023 21 2 rrrr

32、n n zi CCny12 21 例7-4-6 求初始狀態(tài)（0-狀態(tài)） 題目中題目中 ,是激勵(lì)加上以后的是激勵(lì)加上以后的,不能說(shuō)明狀態(tài)不能說(shuō)明狀態(tài) 為為0,需迭代求出需迭代求出 。 010 yy 2,1 yy 021212031 1 0 uuyyyn 1121200 y 2 1 1 y 120222130 0 10 uuyyyn 122130 yy 4 5 2 y :2,1代入方程代入方程以以 yy 4 5 122 2 1 121 2 2 2 1 1 2 1 1 CCy CCy zi zi 2 3 2 1 C C n n zi ny1223 解得解得 零輸入響應(yīng)與輸入無(wú)關(guān)零輸入響應(yīng)與輸入無(wú)關(guān)

33、由初始狀態(tài)（0-狀態(tài)）定C1，C2 注意 在求零輸入響應(yīng)時(shí)在求零輸入響應(yīng)時(shí)，要排除輸入的影響要排除輸入的影響 找出輸入加上以前的初始狀態(tài)找出輸入加上以前的初始狀態(tài)。 。 可以求出初始值可以求出初始值代入方程代入方程由初始狀態(tài)再以由初始狀態(tài)再以 01, 00 ,0 yy nx 7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的單位樣值 （單位沖激）響應(yīng) 單位樣值響應(yīng)單位樣值響應(yīng) 因果性、穩(wěn)定性因果性、穩(wěn)定性 一單位樣值響應(yīng)一單位樣值響應(yīng) 系統(tǒng)系統(tǒng) )(n )(nh Nkkh, 3 , 2 , 10 nhn 響應(yīng)，表示為響應(yīng)，表示為作用下，系統(tǒng)的零狀態(tài)作用下，系統(tǒng)的零狀態(tài)即即 二因果性、穩(wěn)定性 對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)是對(duì)于線性時(shí)

34、不變系統(tǒng)是因果因果系統(tǒng)的系統(tǒng)的充要條件：充要條件： 穩(wěn)定性的充要條件：穩(wěn)定性的充要條件： n Pnh 00 nhn 單位樣值響應(yīng)絕對(duì)和為有限值（絕對(duì)可和）收斂。單位樣值響應(yīng)絕對(duì)和為有限值（絕對(duì)可和）收斂。 因果系統(tǒng)：因果系統(tǒng)：輸出變化不領(lǐng)先于輸入變化的系統(tǒng)。輸出變化不領(lǐng)先于輸入變化的系統(tǒng)。 一個(gè)非因果系統(tǒng)的示例一個(gè)非因果系統(tǒng)的示例 已知系統(tǒng)框圖，已知系統(tǒng)框圖， 求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。 1 z 1 z 1 z ny nh 3 3 1 nx n 列方程列方程 nxnynynyny 3 2313 例例7 7- -5 5- -1 1 nyny nynynx 3 2313 從加法器

35、出發(fā)：從加法器出發(fā)： 求解h(n) 作用于系統(tǒng)：作用于系統(tǒng)：?jiǎn)挝粯又敌盘?hào)單位樣值信號(hào)n nnhnhnhnh 32313 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 n 032313 nhnhnhnh 特征根特征根 01,0133 3 23 rrrr 1 321 rrr 方程成為齊次方程方程成為齊次方程 特征方程特征方程 32 2 1 CnCnCnh 所以所以 如何求待定系數(shù)？ 先求邊界條件先求邊界條件 0321 hhh零狀態(tài)零狀態(tài) 10323130 hhhh 3213031 hhhh 6103132 hhhh 2,1,0hhh可迭代出可迭代出 得得代入代入 32 2 1 CnCnCnh 1, 2 3 , 2 1 321 CC

36、C nunnnh 1 2 3 2 1 2 所以所以 的。項(xiàng)是，邊界條件中至少有一對(duì)于求0n)n(h 例7-5-2 1 z 1 z ny nx 3 5 6 1 z 1 z 系統(tǒng)圖為系統(tǒng)圖為 261523 nynynxnxny 232615 nxnxnynyny 可以用線性、時(shí)不變特性求解可以用線性、時(shí)不變特性求解 232615 nxnxnynyny ny nx 3 5 6 1 z 1 z 1 z 1 z ny1 例7-5-3 nuanh n 0)(0 nhn時(shí)，時(shí)，即即 收斂，即收斂，即時(shí)，時(shí)，只有當(dāng)只有當(dāng)nha1 (1)討論因果性：討論因果性： (2)討論穩(wěn)定性：討論穩(wěn)定性： 因?yàn)槭菃芜呌衅鹨?/p>

37、，因?yàn)槭菃芜呌衅鹨颍?n nh)( 所以系統(tǒng)是因果的。所以系統(tǒng)是因果的。 系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)是穩(wěn)定的即即, 1 a 1 1 1 1 a a a 0n n a 7.6 卷積（卷積和） 卷積和定義卷積和定義 離散卷積的性質(zhì)離散卷積的性質(zhì) 卷積計(jì)算卷積計(jì)算 一卷積和定義 m mnmx :的加權(quán)移位之線性組合的加權(quán)移位之線性組合表示為表示為任意序列任意序列nnx )(nx)(ny )(nh )(n )(nh mnmx 1n1xn0 x1n1xnx mnhmn mnhmxmnmx m mnmxnx )( m mnhmxny nhnx 時(shí)不變時(shí)不變 均勻性均勻性 可加性可加性 輸出輸出 加權(quán)。處由 和，在各

38、每一樣值產(chǎn)生的響應(yīng)之的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì) mx nx 。即零狀態(tài)響應(yīng)將輸入輸出聯(lián)系起來(lái)，nhnxnh 卷積和的公式表明：卷積和的公式表明： 二離散卷積的性質(zhì) 不存在微分、積分性質(zhì)。不存在微分、積分性質(zhì)。 1交換律交換律 )()()()(nxnhnhnx )()()()()()( 2121 nhnhnxnhnhnx )()()()()()()( 2121 nhnxnhnxnhnhnx nnx 2結(jié)合律結(jié)合律 3分配律分配律 4 三卷積計(jì)算 1.1.解析式法解析式法 2.2.圖解法圖解法 3.3.對(duì)位相乘求和法求卷積對(duì)位相乘求和法求卷積 4.4.利用性質(zhì)利用性質(zhì) 離散卷積過(guò)程：序列倒置離散卷積過(guò)程：序列倒

39、置移位移位相乘相乘取和取和 m mnhmxnhnx 范圍共同決定。范圍共同決定。范圍由范圍由)(),(nhnxm y(n)的元素個(gè)數(shù)的元素個(gè)數(shù)? A nnx )( B nnh )( 1 )( BAC nnnny 若：若： ，序列序列 21 )(nnnnx 43 )(nnnnh 序列序列 例如：例如： 序列序列則則)(ny 4231 nnnnn 個(gè)元素個(gè)元素：4 30 )( nnx 個(gè)元素個(gè)元素：5 40 )( nnh 個(gè)元素個(gè)元素： 8 70 )( nny 例7-6-1 。 求卷積求卷積已知已知 )()()( ,10 nhnxny nunhnunx n nhnxny nmm , 0:宗量宗量

40、0,0 nnm即：即： )()( 0 nuny n m m 從從圖中圖中可見(jiàn)求和上限可見(jiàn)求和上限n,下限下限0 1 1 ny m m mnumu)()( nu n 1 1 1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n 要點(diǎn)：要點(diǎn)： 定上下限定上下限 波形 o 1 23 )(nx n n nh 1 1 23 o o 1 23 mnh mua m m 0 n o 1 23 mnh mua m 1n m ny n o 1 234 1 1 1 nu nuny n n m m 1 1 )()( 1 0 nyn 1 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) )()( , 1 , 2 ,3)(1 , 2 , 3 ,4)( 21 0 2 0 1 nxnxny

41、nxnx nn 求：求： ，已知已知 例例7 7- -6 6- -2 2 使用對(duì)位相乘求和法求卷積使用對(duì)位相乘求和法求卷積 步驟：步驟： 兩序列右對(duì)齊兩序列右對(duì)齊 逐個(gè)樣值對(duì)應(yīng)相乘但不進(jìn)位逐個(gè)樣值對(duì)應(yīng)相乘但不進(jìn)位 同列乘積值相加（注意同列乘積值相加（注意n=0的點(diǎn)）的點(diǎn)） 1 2 3 : 0 2 n nx 1 2 3 4 1 2 3 4 : 0 1 n nx 2 4 6 8 3 6 9 12 1 4 10 16 17 12 : 0 n ny 1 4 10 16 17 12 0 ，所以所以 n ny )2()1()()( nnnnx )2(3) 1(2)()( nnnnh 利用分配律利用分配律 )2(3)1(2)( )()( nnn nhnx )4( 3)3(5)2(6) 1(3)( nnnnn 。，求，求