1、最新 料推薦均值不等式一、基本知識梳理1. 算術(shù)平均值：如果a b R ，那么叫做這兩個正數(shù)的算術(shù)平均值 .+2. 幾何平均值：如果a b R+，那么叫做這兩個正數(shù)的幾何平均值3. 重要不等式：如果a b R，那么 a2 +b2(當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時，取“ =” )均值定理：如果a b R+，那么 a b (當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時，取“ =”)2均值定理可敘述為：4變式變形：1 aba2b2;222a b;23 baab0 ;aba2b；4252 a2b2 .5. 利用均值不等式求最值， “和定，積最大；積定，和最小” ，即兩個正數(shù)的和為定值，則可求其積的最大值；積為定值，則可求其和的最小值。注

2、意三個條件： “一正，二定，三相等”即： （ 1）各項或各因式非負(fù)； （ 2）和或積為定值；（ 3）各項或各因式都能取得相等的值。6. 若多次用均值不等式求最值，必須保持每次取“=”號的一致性。有時為了達(dá)到利用均值不等式的條件，需要經(jīng)過配湊裂項轉(zhuǎn)化分離常數(shù)等變形手段，創(chuàng)設(shè)一個應(yīng)用均值不等式的情景。二、常見題型：1、分式函數(shù)求最值，如果 yAB 的形式，且 g( x) 在定義f (x) 可表示為 y mg( x)g( x)域內(nèi)恒正或恒負(fù)， A 0, m0, 則可運用均值不等式來求最值。例：求函數(shù)ax 2x 1 (x10)的最小值。y1且 ax1最新 料推薦ax 2x 11axxax(1a解： y

3、1axx1a)xx 1a(x1)a2a2a12a11x1當(dāng) a( x 1)aymin1即 x=0 時等號成立，x12、題在給出和為定值，求和的最值時，一般情況都要對所求式子進(jìn)行變形，用已知條件進(jìn)行代換，變形之后再利用均值不等式進(jìn)行求最值。例：已知 a 0, b0,且191 ，求 ab 的最小值。ab解法一： ab1b9a29 16910思路二：由 19ab1變形可得 (a1)(b9)9,a 1,b9, 然后將 ab 變形。ab解法二： ab( a1)(b9) 102 (a1)(b9)102 91016可以驗證：兩種解法的等號成立的條件均為a4, b12 。此類題型可擴展為：設(shè) a1、 a2、

4、a3 均為正數(shù)，且 a1a2a3m ，求 S111的最小值。a1a2a3S1a21111 3 ( a2a1 )( a3a1 )( a3a2 )m ( a1a3 )( a1a2a3 )ma1a2a1a3a2a3122 2)9a1 a2a3 。(3，等號成立的條件是mm3、題中所求的式子中帶有根式，而且不能直接用均值不等式來求解，則可采用逆向思維來求解，對不等式逆向轉(zhuǎn)換， 本類題型一般情況都給出來 x 的取值范圍， 根據(jù)取值范圍來進(jìn)行逆向轉(zhuǎn)換。例：求函數(shù) y7x3 , x 1 ,3 的最小值。x2思路：由于所給函數(shù)的形式為無理式，直接求解較困難，從所給區(qū)間x 1 ,3 入手，可得一1)( x12個

5、不等式 ( x3) 0（當(dāng)且僅當(dāng) x或 x3 時取等號），展開此式討論即可。222最新 料推薦解：( x1 )( x3) 0, 即 2x 27 x 30,2x 27x3,2x 0,27x 3 , 得 ym in2x4、不等式的變形在證明過程中或求最值時，有廣泛應(yīng)用， 如：當(dāng) ab0 時， a 2b 22ab 同時除以 ab 得 ba2 或 b1 1a 。abab例：已知 a,b,c均為，求證：a2b 2c 2a bc 。bca證明：a, b, c 均為正數(shù)，a 22ab, b22bc, c22ca ，bcaa 2b2c2bc( 2a b) (2b c) ( 2c a) a b ca總之，均值不

6、等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是求多項式的最值以及函數(shù)的值域的常用方法。在應(yīng)用均值不等式時，不論怎樣變形，均需滿足“一正二定三相等”的條件?！眷柟叹毩?xí) 】1、若 a 0, b0, 求函數(shù) yx最值。 答案： yminab , ymaxabax2b2ab2ab2、求函數(shù) y3x( x0) 的值域。答案： -3， 02xx13、已知正數(shù) x, y 滿足 x2 y113 221, 求的最小值。答案：xy4、已知 x, y, z 為正數(shù)，且 xyz111的最小值。答案：92，求 Sy22x5、若 x 1 ,b( a0) ，求 y(1ab) xb 的最小值。答案：aaxa 2b2c2abc。6、設(shè) a

7、, b, c 為整數(shù)，求證：ccaa b2b3最新 料推薦三、利用不等式解題的典型例題解析：題型一：利用均值不等式求最值（值域）例 1、（ 1）已知 x0 ，求 f (x)123x 的最小值x（ 2）已知 x3，求 f ( x)4x 的最大值x3變式 1： 1、若 xR ，求 f (x)4x 的值域x32、函數(shù) yx2x 2x0的最大值為變式2： 、已知 x0, y0且 191 ，求xy的最小值1xy2、 x R ，求 f ( x)sin 2x15的最小值sin 2 x13、當(dāng) 0x1, a, b 為正常數(shù)時，求ya 2b2x1的最小值x變 式3 ： 1 、 函 數(shù) y log a ( x3)1( a0, a1) 的 圖 象 恒 過 定 點 ， 若 點 A在 直 線mxny10 上，其中 mn 012，則的最小值為mn2、求 y2(x 23)x 2的最小值為23、已知 0x2, f ( x)12009的最小值為sin x1 sin x變式 4： 1、已知 x, y 都是正實數(shù)，且xy3xy50（ 1）求 xy 的最小值（ 2）求 x y 的最小值題型二：利用均值不等式證明不等式例 2、已知 a,b, c R ，求證：（ 1） a2 b2 c2 ab bc ca4最新 料推薦（ 2） a2b 2b2c2c2a22 a b c（ 3） a4b 4c4a 2 b2b2 c2c 2