1、變化率與導(dǎo)數(shù),問題1 氣球膨脹率,在吹氣球的過程中, 可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加, 氣球的半徑增加得越來越慢. 從數(shù)學(xué)的角度, 如何描述這種現(xiàn)象呢?,結(jié)論：隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小.,（一）平均變化率,思考：,當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?,問題2 高臺跳水,在高臺跳水運動中, 運動員相對于水面的高度 h (單位:m)與起跳后的時間 t (單位:s) 存在函數(shù)關(guān)系,如果用運動員在某段時間內(nèi)的平均速度 描述其運動狀態(tài), 那么:,在0 t 0.5這段時間里,在1 t 2這段時間里,問題2.平均速度.,思考：求t1到t2時的平均速度,平均變化率,令x

2、 = x2 x1 , f = f (x2) f (x1) ,則,平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài)，需要用瞬時速度描述運動狀態(tài).,探究討論：,（二）、 導(dǎo)數(shù)的概念,在高臺跳水運動中，平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài)，需要用瞬時速度描述運動狀態(tài).我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.,又如何求 瞬時速度呢?,平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.,如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?,求：從2s到(2+t)s這段時間內(nèi)平均速度,平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.,如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?,當(dāng)t趨近于0時, 即無論 t 從小于2的一邊,

3、還是從大于2的一邊趨近于2時, 平均速度都趨近與一個確定的值 13.1.,從物理的角度看, 時間間隔 |t |無限變小時, 平均速度 就無限趨近于 t = 2時的瞬時速度. 因此, 運動員在 t = 2 時的瞬時速度是 13.1.,表示“當(dāng)t =2, t趨近于0時, 平均速度 趨近于確定值 13.1”.,從2s到(2+t)s這段時間內(nèi)平均速度,探 究:,1.運動員在某一時刻 t0 的瞬時速度怎樣表示? 2.函數(shù)f (x)在 x = x0 處的瞬時變化率怎樣表示?,定義:,函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的瞬時變化率是,稱為函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記

4、作,或 , 即,定義:,函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的瞬時變化率是,稱為函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作,或 , 即,由導(dǎo)數(shù)的定義可知, 求函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:,求函數(shù)的改變量 2. 求平均變化率 3. 求值,題1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對原油進行冷卻和加熱. 如果第 x h時, 原油的溫度(單位: )為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計算第2h和第6h, 原油溫度的瞬時變化率, 并說明它們的意義.,解: 在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率就是,和,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,

5、所以,同理可得,在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率分別為3和5. 它說明在第2h附近, 原油溫度大約以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油溫度大約以5 / h的速率上升.,題1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對原油進行冷卻和加熱. 如果第 x h時, 原油的溫度(單位: )為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計算第2h和第6h, 原油溫度的瞬時變化率, 并說明它們的意義.,練習(xí): 計算第3h和第5h時原油的瞬時變化率, 并說明它們的意義.,2.求函數(shù)的平均變化率的步驟: (1)求函數(shù)的增量f=y =f(x2) f(x1); (2)計算平