1、上節(jié)我們主要討論了球面上三角形的全等判定定理在這基礎(chǔ)上，我們可以了解到，球面幾何有很多應(yīng)用,用球面多邊形的內(nèi)角和公式證明拓撲學中的著名公式歐拉公式就是一個重要的應(yīng)用 本講我們首先在球面三角形的基礎(chǔ)上介紹球面多邊形，然后推導球面多邊形的內(nèi)角和公式，最后用球面多邊形的內(nèi)角和公式證明歐拉公式,2.5球面多邊形的內(nèi)角和與歐拉公式,1在熟悉球面三角形的基礎(chǔ)上充分理解球面多邊形的定義；掌握其內(nèi)角和公式 2熟悉簡單多面體的歐拉公式,知識與能力,1通過球面多邊形的學習，理解和掌握球面多邊形的概念和其內(nèi)角和公式 2培養(yǎng)通過已學過球面三角形的知識，推導出球面多邊形的內(nèi)角和公式,過程與方法,1通過球面三角形與球面多

2、邊形的比較，能夠體會數(shù)學中由簡到繁的思想，有利于理解和掌握 2通過課堂學習培養(yǎng)敢于結(jié)合以前所學知識，推導出新的知識或性質(zhì)，有利于深刻理解,情感態(tài)度與價值觀,球面多邊形的定義、內(nèi)角和公式，以及對歐拉公式的初步應(yīng)用,重點,歐拉公式的推導,難點,一、球面多邊形及其內(nèi)角和公式,與先學平面三角形再學平面多邊形一樣，我們在球面三角形的基礎(chǔ)上，引進球面多邊形的概念,我們知道，在平面上，n(n3)條收尾相接且互不相交的線段圍成的封閉圖形叫做n邊形類似地，如圖6-1中，在球面上有n個點：A1，A2,A3,. . . An，且任意三點不在同一個大圓上，經(jīng)過這n個點中任意兩點做大圓，首尾順次相接劣弧A1A2,A2A

3、3,. . .An-1An,如果這些劣弧互不相交，那么就把這些劣弧組成的封閉圖形叫球面n邊形記為球面n邊形A1A2A3. . .An-1An .點A1，A2，. . .，An稱為球面n邊形的頂點，A1，A2，. . .，An稱為球面n邊形的內(nèi)角,類似平面凸多邊形，如果球面n邊形A1A2A3. . .An-1An總在它的每一條邊所在大圓的半個球面內(nèi)，那么這個球面多邊形稱為球面凸n邊形我們重點研究球面凸n多邊形,在平面幾何中，我們知道平面多邊形的內(nèi)角和為(n-2)，單位球面上球面三角形ABC的面積S=（A+B+C-），因此得到球面三角形的內(nèi)角和為S+,我們大膽猜想，單位球面上，球面n（n3）邊形的

4、內(nèi)角和等于（n-2）+S,其中S為球面n邊形的面積事實上猜測是正確的,那么下面的結(jié)論是成立的,設(shè)單位球面上的n(n3)邊形A1A2. . .An-1An的n個內(nèi)角分別為A1,A2. . .An ，其弧度數(shù)分別為A1,A2. . .An，S為這個球面n邊形的面積，則 A1+A2+.+An=（n-2）+S,分析：當n=3時，就是球面三角形的面積公式，結(jié)論顯然成立當n=4時，如圖6-2，我們總可以把兩個不相鄰的頂點用大圓弧連接起來，由于這兩個不相鄰的頂點都在一個大圓的半個球面內(nèi)，所以這段圓弧是劣弧，因此這段劣弧把球面四邊形分為兩個球面三角形，而這兩個球面三角形面積的和等于球面四邊形的面積，依次類推，

5、便可得到球面n邊形的面積公式，進而得到球面n邊形的內(nèi)角和公式,你能把這個證明過程寫出來嗎？,二、簡單多面體的歐拉公式,為什么可以用球面多邊形的內(nèi)角和公式證明簡單多面體的歐拉公式呢？兩者之間有什么樣的聯(lián)系？ 為了解決這個問題，我們首先回顧簡單多面體的歐拉公式,我們知道，多面體是由若干個平面多邊形圍成的封閉幾何體，如果一個多面體在它的每一個面所在的平面的同一側(cè)，那么這個多面體稱為凸多面體,如果把多面體想象成由橡皮膜組成的，對這個橡皮膜充氣，如果能變成一個球面，就把這樣的多面體叫做簡單多面體,如果用V 表示簡單多面體的頂點數(shù)，E 表示簡單多面體的棱數(shù)，F(xiàn)表示簡單多面體的面數(shù)，通過計算，得出： VE

6、F=2,這個結(jié)論被稱為簡單多面體歐拉公式,三、用球面多邊形的內(nèi)角和公式證明歐 拉公式,從橡皮變換角度看，簡單多面體與球等價，簡單多面體的表面與球面等價這時，我們大膽想象，橡皮膜變成球后，組成簡單多面體的每個面的各條邊可以與球面多邊形建立一定的聯(lián)系 下面我們給出歐拉公式的證明,歐拉公式 如果用V 表示簡單多面體的頂點數(shù)，E 表示簡單多面體的棱數(shù)，F(xiàn)表示簡單多面體的面數(shù)，那么： VEF=2.,證明：我們設(shè)想簡單多面體 的表面是由橡皮膜圍成的，所以它是可以任意變形的，它的各個棱長可以任意伸長、縮短或彎曲,在多面體 中吹入足夠的空氣，使它變成一個單位球面 ，在變形中，保證橡皮膜不被吹破，這樣，簡單多面

7、體 的一個頂點變成單位球面 的一個點， 的一條棱變成 上的一段曲線，此時 的各邊變成 上的一個“網(wǎng)絡(luò)”,調(diào)整“網(wǎng)絡(luò)”，使其上的每一條曲線都變成 上的一段大圓弧，那么簡單多面體 就變成整個球面 ，且 的一個面變成 上的多邊形， 的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)與 上的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)完全相同.這樣就只研究 上的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)的關(guān)系就行了,把的各面編號：1，2，F(xiàn)， 的第一個面變成 的第一個球面多邊形，設(shè)此球面多邊形有 條邊，它的內(nèi)角的弧度數(shù)分別為 ，其面積為 ，由球面多邊形的內(nèi)角和公式得： (1),同理， 的第二個面變成 的第二個球面多邊形，設(shè)此球面多邊形有 條邊，它的內(nèi)角的弧度數(shù)分別為 ，其面積為

8、，由球面多邊形的內(nèi)角和公式得： (2),的第F個面就變成 的第F個球面多邊形，設(shè)此球面多邊形有 條邊，它的內(nèi)角弧度數(shù)分別為 ，其面積為 ，由球面多邊形的內(nèi)角和公式得： (F),將這F個式子相加,左邊就是球面上F個多邊形的內(nèi)角和,即圍繞每個球面多邊形的頂點球面多邊形內(nèi)角的和,而每個頂點處球面多邊形的內(nèi)角和為 ,由于球面上“網(wǎng)絡(luò)”的“頂點”數(shù)與 的頂點數(shù)是相同的，均為 ，因此相加后，左邊= .,另一方面, 右邊 .,其中 ，S表示球面的面積，那么 , 而 表示球面上F個球面多邊形變數(shù)總和的2倍，即 ,因此， 即,這個證明是法國數(shù)學家勒讓德首先給出的，簡單多面體的歐拉公式是拓撲學中的重要公式，證明說明了球面幾何與拓撲學有著緊密的聯(lián)系,1. 請構(gòu)造一個四邊相等，四角相