1、2,3. 頻率與概率,(一) 頻率 1. 在相同的條件下, 共進行了n次試驗,事件A發(fā)生的次數(shù)nA, 稱為A的頻數(shù), nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率, 記為fn(A).,3. 頻率的特性: 波動性和穩(wěn)定性.,3,1.定義: 設(shè)S是樣本空間, E是隨機試驗. 對于E的每個事件A對應(yīng)一個實數(shù)P(A), 稱為事件 A的概率, 其中集合函數(shù)P(.)滿足下列條件:,(1) 對任一事件A,有P(A)0; (非負性）,(2) P(S)=1;（規(guī)范性),(3) 設(shè)A1,A2,是兩兩互不相容的事件,則有 P(A1 A2 )=P(A1)+P(A2)+ (可列可加性),(二)概率,4,2.概率的性質(zhì)：,一般地有: P

2、(B-A)=P(B)-P(AB).,5,推廣,6,例4. 設(shè)P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事件的概率:,7,4. 等可能概型(古典概型),等可能概型的兩個特點:,例如:擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).,(1) 樣本空間中的元素只有有限個;,(2) 試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.,概率的古典定義: 對于古典概型, 樣本空間S1, 2, , n, 設(shè)事件A包含S的k個樣本點，則事件A的概率定義為,8,古典概型概率的計算步驟:,(1) 選取適當?shù)臉颖究臻gS, 使它滿足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某個子集.,(2) 計算樣本點總數(shù)n及事件A包含

3、的樣本點數(shù)k.,(3) 用下列公式計算:,9,例1. 袋中裝有4只白球和2只紅球. 從袋中摸球兩次,每次任取一球.有兩種式: (a)放回抽樣; (b)不放回抽樣. 求: (1)兩球顏色相同的概率; (2)兩球中至少有一只白球的概率.,例2. 設(shè)一袋中有編號為1,2,9的球共9只, 現(xiàn)從中任取3只,試求: (1)取到1號球的概率,（事件A） (2)最小號碼為5的概率.（事件B）,10,例4. 將n只球隨機地放入N (Nn)個盒子 中去,試求每個盒子至多有 一只球的概率.(設(shè)盒子的容量不限).,例3. 將1, 2, . . . , n這n個數(shù)字任意排列, 試求： (1) 2在1前面的概率; (2)

4、 1, 2, 3依次出現(xiàn)的概率.,假定每個人在一年365天的任一天都等可能, 隨機選取n(小于365)人,他們生日至少有兩 個相同的概率為:,11,例5. 設(shè)有N件產(chǎn)品,其中D件次品,從中任取n件,求 其中恰有k(kD)件次品的概率.,例6. 15名新生中有3名是優(yōu)秀生, 將這15名新生隨機地平均分配到三個班級中去, 問每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?,例7. 某接待站在某一周曾接待過12次來訪, 且都是在周二和周四來訪. 問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的?,12,古典概型概率的間接計算:,一. 加法公式和逆事件概率公式的應(yīng)用：,逆概公式,例1. 袋中有a只白球和b只黑球, 從中同時任取n只球(a+bn), 試求至少取出一只白球的概率.,練習：(配對問題)某人一次寫了n封信, 分別在n個信封上寫了這n個人的收信地址. 如果他任意地將n張信紙裝入n個信封中，試求沒有一封信的信紙和信封配對的概率.,二. 對稱性的應(yīng)用:,例2 擲n