1、焦點三角形若干性質探究華東師范大學松江實驗高級中學 金德江 定義：橢圓（雙曲線）上一點和兩焦點組成的三角形叫焦點三角形；有一個角為直角的焦點三角形叫焦點直角三角形。與這個三角形有關的問題是高考的熱點，經久不衰，題型靈活多樣。為方便敘述，先介紹幾個一般性結論。1：該三角形一邊長為焦距，另兩邊的和（差）為定值。2：橢圓焦點三角形中，頂點在橢圓上的點到另兩點的張角中，以短軸端點到這兩點的張角最大。簡證1：可由定義得 2：設P是橢圓 （，為半焦距）上的一點，O為原點，E、F是橢圓的兩焦點， 則，由余弦函數(shù)圖象性質知的最大值為，當且僅當P在短軸端點時取到該最大值。一、考察兩邊和（差）的定值例1（1）（2

2、006四川卷）如圖把橢圓的長軸AB分成8分，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于,七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則_ 解：只需取橢圓的另一焦點與,七個點分別連接，由結論1和對稱性可知（2）（2006江西卷）9、P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x5）2y24和（x5）2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為（ ）A. 6 B.7 C.8 D.9解圓（x5）2y24和（x5）2y21的圓心為雙曲線的左右焦點，分別設為點，對于雙曲線的右支上一點，是圓（x5）2y24上的動點，的最大值為，是圓（x5）2y21上的動點，的最小值為由結論1|PM|PN|的最大值為，故選二、考察結論2的張角最大問

3、題例2（2004湖南卷）解由結論2，的最大值為=2個注：該題若改變數(shù)值使 的最大值為鈍角，則可得4點，亦可變條件為，則在上可得到更多滿足條件的點。（亦可轉化以中心為圓心，以c為半徑的圓與橢圓的交點個數(shù)）三、考察焦點直角三角形例3（1）2007全國2卷11設分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點，使且，則雙曲線的離心率為（ B ）ABCD解由題意 由勾股定理 離心率為（2）（2001上海）設F1、F2為橢圓1的兩個焦點，P為橢圓上的一點.已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|PF2|,求的值.解由題意，若為直角，則，即得，故若為直角，即得，故注：該題易忽略為直角，想當然的

4、認為只是為直角四、與向量結合探究焦三角形例4（1） 2007四川文21設、分別是橢圓的左、右焦點（）若是第一象限內該橢圓上的一點，且，求點的作標；（）略解析：（）易知，設則，又，聯(lián)立，解得，（2）2007四川（20）設、分別是橢圓的左、右焦點.（）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值; （）略解：（）易知所以，設，則因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值五、考察焦點三角形的面積例5 （1） 2007遼寧（理）設為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ B ）ABCD解由題意 又，為，可得其面積為12。(2)2003北京春考：P是橢圓

5、上一點，是兩個焦點，是橢圓中心，若是面積為的正三角形，求的值解是面積為的正三角形，其邊長為2，即半焦距=2 在中，可得= 即 六、綜合考察焦點三角形例6 2007天津22設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，原點到直線的距離為（）證明；（）略解（）由題設及，不妨設點，其中由于點在橢圓上，有，即解得，從而得到 在三角形中由面積相等得： 該題也可求解直線的方程，利用點到該線的距離求解，運算較繁，有關焦點三角形的問題，要增強解三角形的意識。練習1（2000全國卷）橢圓的焦點為、，點為其上的動點，當為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是 。2已知雙曲線的兩個焦點為，求該雙曲線的方程。3（2002）上海春考

6、已知F1、F2為雙曲線(a0,b0)的焦點，求該雙曲線的漸進線方程。4（2007）浙江已知雙曲線的左、右焦點分別為，是準線上一點，且，則雙曲線的離心率是（B）5（2005）全國卷（理6）已知雙曲線的焦點為、，點M在雙曲線上且軸。則到直線的距離為（ ）A B C D 6（2005）全國卷（10）已知橢圓的兩個焦點為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（ ）A B C D 7（2005）全國卷（9）已知雙曲線的焦點為、，點M在雙曲線上且，則點M到軸的距離為（ ）A B C D 8（2005遼寧）已知橢圓的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q