1、求點(diǎn)到平面距離的基本方法北京農(nóng)大附中 閆小川求點(diǎn)到平面的距離是立體幾何中的一個(gè)基本問題，是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，也是同學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn).本文通過對(duì)一道典型例題的多種解法的探討，概括出求點(diǎn)到平面的距離的幾種基本方法.例 （2005年福建高考題）如圖1，直二面角中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，為上的點(diǎn)，且平面.()求證：平面；()求二面角的大??；()求點(diǎn)到平面的距離. 圖1()、()解略，()解如下：一、直接法利用兩個(gè)平面垂直,直接作出點(diǎn)到平面的距離. 如圖2, , ,則.為點(diǎn)到平面的距離.圖2解：如圖3，過點(diǎn)作，連結(jié)，則平面平面，平面平面，平面平面，作垂足為，則平面.是點(diǎn)到平面的距離.在中，圖3二、平行

2、線法如圖4,為上任意一點(diǎn), ,則.點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為平行于平面的直線到平面的距離，再轉(zhuǎn)化為直線上任意一點(diǎn)到平面的距離.圖4解：如圖5，過點(diǎn)作，連結(jié)，則平面，點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.作垂足為，平面平面，平面，是點(diǎn)到平面的距離.在中，圖5三、斜線法利用平面的斜線及三角形相似,轉(zhuǎn)化為求斜線上的點(diǎn)到平面的距離. 如圖6、7, ，, ,若,則.點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為求直線上的點(diǎn)到平面的距離. 圖6 圖7解：如圖8，與的交點(diǎn)為，即平面，點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等.平面平面，平面，是點(diǎn)到平面的距離.在中，圖8四、線面角法如圖9，為平面的一條斜線，與所成的角為，到

3、平面的距離為，則由斜線和平面所成的角的定義可知，有.經(jīng)過與垂直的平面與相交，交線與所成的銳角就是與所成的角，這里并不強(qiáng)求要作出在上的射影，連結(jié)得.圖9解：如圖10，平面，平面平面，為與平面所成的角為,則點(diǎn)到平面的距離.由()知二面角的正弦值為，得.到平面的距離.圖10五、二面角法如圖11，、所成二面角的大小為，點(diǎn)到平面的距離，則有.也就是二面角的大小，而不強(qiáng)求作出經(jīng)過的二面角的平面角.圖11解：如圖12，平面平面，平面，設(shè)二面角的大小為，則點(diǎn)到平面的距離.由()知二面角的正弦值為，得.到平面的距離.圖12六、體積法解：如圖13，過點(diǎn)作交于點(diǎn),.二面角為直二面角，平面.設(shè)到平面的距離為，平面，. 點(diǎn)到平面的距離為圖13七、向量法解：如圖14，以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過點(diǎn)平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，平面，平面， ，在的中點(diǎn)，, 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得令得是平面的一個(gè)法向量.AD/軸，點(diǎn)D到平面的距離.圖1