1、,2.3 垂徑定理,第2章 圓,優(yōu) 翼 課 件,導(dǎo)入新課,講授新課,當(dāng)堂練習(xí),課堂小結(jié),學(xué)練優(yōu)九年級(jí)數(shù)學(xué)下（XJ） 教學(xué)課件,1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，了解圓的對(duì)稱性. 2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明和作圖問題.（重點(diǎn)） 3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.（難點(diǎn)）,導(dǎo)入新課,問題引入,問題1圓是軸對(duì)稱圖形嗎？,問題2它的對(duì)稱軸是什么？你能找到多少條對(duì)稱軸？,圓是軸對(duì)稱圖形,其對(duì)稱軸是直徑所在的直線 無數(shù)條,問題3你知道趙州橋嗎? 它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？,導(dǎo)

2、入新課,講授新課,做一做： 剪一個(gè)圓形紙片，在圓形紙片上任意畫一條垂直于直徑CD的弦AB,垂足為P，再將紙片沿著直徑CD對(duì)折，比較AP與PB，AC與CB，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？,互動(dòng)探究,C,線段: AP=BP,O,A,B,D,P,C,想一想： 能不能用所學(xué)過的知識(shí)證明你的結(jié)論？,試一試,證明：連接OA、OB、CA、CB，則OA=OB.,即AOB是等腰三角形.,ABCD，,AP=BP，,AOC=BOC.,從而AOD=BOD.,垂徑定理,垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧., CD是直徑，CDAB，(條件), AP=BP,推導(dǎo)格式：,溫馨提示：垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理,三種語言

3、要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.,下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說明為什么？,是,不是，因?yàn)闆]有垂直,是,不是，因?yàn)镃D沒有過圓心,議一議,垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：,例1 證明：圓的兩條平行弦所夾的弧相等. 已知：如圖，O中弦ABCD, 求證：ACBD.,證明：作直徑MNAB. ABCD，MNCD. 則AMBM，CMDM AMCMBMDM ACBD,典例精析,例2 如圖，O的弦AB8cm ，直徑CEAB于D，DC2cm，求半徑OC的長(zhǎng).,解：連接OA， CEAB于D，,設(shè)OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得,解得 x=5，,即半徑OC的長(zhǎng)為5cm.,x2=42+(x

4、-2)2，,如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？ 過圓心 ；垂直于弦； 平分弦； 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 ； 平分弦所對(duì)的劣弧。 上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？,思考探索：,試一試,證明：連接OA、OB、CA、CB，則OA=OB.,即AOB是等腰三角形.,P是AB的中點(diǎn)，,ABCD.,即AP=BP，, CD是直徑，CDAB，,思考：“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.,平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.,垂徑定理的推論,特別說明： 圓的兩條直徑是互相平分的.,垂徑定理

5、的本質(zhì)是:,滿足其中任兩條，必定同時(shí)滿足另三條,（1）一條直線過圓心 （2）這條直線垂直于弦 （3）這條直線平分不是直徑的弦 （4）這條直線平分不是直徑的弦所對(duì)的優(yōu)弧 （5）這條直線平分不是直徑的弦所對(duì)的劣弧,例3 如圖，在O中，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，弦AB與半徑OC相交于點(diǎn)D，AB=12，CD=2求的O半徑,典例精析,解：連接AO， 點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)， 半徑OC與AB相交于點(diǎn)D， OCAB， AB=12，AD=BD=6， 設(shè)O的半徑為R，CD=2， 在RtAOD中，由勾股定理得：AO2=OD2+AD2， 即：R2=（R-2）2+62，R=10 即，O的半徑為10,你能利用垂徑定理解決求趙州橋主橋

6、拱半徑的問題嗎?,試一試,解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點(diǎn)C，則D是AB的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，CD就是拱高., AB=37m，CD=7.23m., AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.,解得R27.3（m）.,即主橋拱半徑約為27.3m.,R2=18.52+(R-7.23)2,在圓中有關(guān)弦長(zhǎng)a,半徑r, 弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.,涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法,弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間

7、有以下關(guān)系：,弓形中重要數(shù)量關(guān)系,d+h=r,如圖a、b,一弓形弦長(zhǎng)為 cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為_.,2cm或12cm,練一練,例4 如圖，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，現(xiàn)設(shè)計(jì)安裝玻璃，請(qǐng)幫工程師求出弧AB所在圓O的半徑,典例精析,解：弓形的跨度AB=6m，EF為弓形的高， OEAB于F，AF= AB=3m， 設(shè)AB所在圓O的半徑為r，弓形的高EF=2m， AO=r，OF=r-2， 在RtAOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2， 即r2=32+（r-2）2，解得r= m 即，AB所在圓O的半徑為 m,當(dāng)堂練習(xí),1.如圖，O

8、EAB于E，若O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB= cm.,16,O,A,B,E,2.如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形,證明：,四邊形ADOE為矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四邊形ADOE為正方形.,3.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？,證明：過O作OEAB，垂足為E， 則AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD.,5.（分類討論題）已知O的半徑為10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為 .,14cm或2cm,4. 如圖，在ABC中，已知ACB=130，BAC=20，BC=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為_,6.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OECD，垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.,解:連接OC.,設(shè)這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.,根據(jù)勾股定理，得,解得R=545.,這段彎路的半徑約為545m.,垂徑定理,內(nèi)容,推論,輔助線,一條直線滿足:過圓心;垂直于弦; 平分弦（不是直徑）;