1、,幾何與代數(shù),2010年國家級精品課程,第三章 幾何空間,1. 如何判別兩個向量共線、三個向量共面？,2. 向量的各種運算以及相應的幾何意義？,3. 如何求投影直線方程？,思考題,1. Consider the matrix and,(a) Calculate the dot product between the vectors X and MX.,(b) Compute . What is the angle between MX and X?,(c) Explain your result for (b) and describe the action of M geometricall

2、y.,3.4 空間的平面和直線,一. 平面的方程,1. 點法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,4. 三點式方程,5. 截距式方程,二. 空間直線的方程,1. 參數(shù)方程,2. 標準(對稱)方程,4. 兩點式方程,3. 一般方程,三. 與直線、平面有關的一些問題,1. 夾角,2. 距離,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三個向量共面,重要信息:,問題式預習,3. 如何求投影直線方程？,2. 如何求兩條異面直線的距離？,1. 如何求直線與平面的夾角？,例14. 求過點P(7,6,5), 垂直于直線L0:,且平行于平面0: x+y+z+1=0的直線方程.,= (9, 5, 1).,

3、= (4, 8, 4).,所求直線L的方程為,P,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,例14. 求過點P(7,6,5), 垂直于直線L0:,且平行于平面0: x+y+z+1=0的直線方程.,x 2y + z + 3 = 0,2x 3y 3z 9 = 0,(9, 5, 1).,9(x+7)+5(y6)+(z5)=0, 即: 9x+5y+z+28=0.,過點P(7,6,5)平行于平面0的平面2為,(x+7) + (y6) + (z5) = 0, 即: x+y+z4=0.,故所求直線L的方程為,0,2,1,P,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,三平面的相對位置,1: A1x + B

4、1y + C1z + D1 = 0,2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0,r(A,b) = r(A)+1 無解 平行或“”或“”,r(A,b) = r(A) = 3 交于一點,r(A,b) = r(A) = 2 3 交于一線,r(A,b) = r(A) = 1 3 三平面重合,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,1: x + y + bz = 3,2: 2x + (a+1)y + (b+1)z = 7,3: (1a)y + (2b1)z = 0,b=0時,r2= r1+1,無公共點,a1且b 0時, r2= r1

5、= 3, 交于一點,例15. 討論三個平面的相互位置, 其中a,b為參數(shù).,解：,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,a1且b0時, r2= r1= 3, 交于一點,b=0時, r2= r1+1, 無公共點,當 a=1,b1/2時, r2= r1+1, 無公共點,1 1 b 3 0 0 1 2 0 0 0 12b,r3br2,當a=1,b=1/2時, r2= r1 =2 3 交于一線,1 1 0 2 0 0 1 2,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,三. 與直線、平面有關的一些問題,1. 夾角,(1) 兩條直線的夾角,(2) 兩個平面的夾角,(3) 直線與平面的夾角,規(guī)定夾角

6、的范圍0 /2.,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,例16. 求直線L:,與平面 : x+2y+z+1=0之間的夾角.,解：,法2：,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,2. 距離,(1) 點P到直線L的距離:,(2) 兩平行直線之間的距離:,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,2. 距離,(3) 點P(x1, y1, z1)到平面 : Ax+By+Cz+D=0的距離,(4) 兩平行平面間的距離:,一平面上一點到另一平面距離,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,L1,(5) 異面直線之間的距離,L2,s1,s2,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,例1

7、8. 求證L1:,解：,L2:,是兩條異面直線，并求出它們之間的最短距離.,所以是兩條異面直線.,公垂線的方向為,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,L1,L2,s1,s2,解1：,再求出公垂線的方程.,L1,L2,s1,s2,1,2,平面1的法向量為,平面2的法向量為,平面1的方程為,(y3)+(z+1)=0, 即: y+z2=0.,平面2的方程為,公垂線的方程為,2x+5y+4z+8=0,例18. L1:,L2:,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,解2：,再求出公垂線的方程.,L1,L2,s1,s2,1,平面1的法向量為,平面1的方程為,(y3)+(z+1)=0, 即:

8、y+z2=0.,平面1與直線L2的交點為,公垂線的方程為,M (8, 0, 2).,例18. L1:,L2:,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,3.4 空間的平面和直線,一. 平面的方程,1. 點法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,二. 空間直線的方程,2. 標準(對稱)方程,3. 一般方程,三. 與直線、平面有關的一些問題,1. 夾角,2. 距離,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三個向量共面,重要信息:,第三章 幾何空間,3. 通過直線L的平面束方程,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2) = 0,第三章 幾何空間,3.4 空間

9、的平面和直線,例19. 已知1: 2x y + z + 1 = 0,問1與2是否相交; 若相交, 求出交線 在平面 : 2x + 3y 6 = 0上的投影直線方程.,2: x 3y + 2z + 4 = 0.,解：,1,2相交.,過交線且垂直 的平面3:, 3 :,所求投影直線方程為,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,例20. 求直線L:, : x + y 2z + 1 = 0上的投影直線方程.,解：,設過 L 的平面束方程為:,所求投影直線方程為,直線的對稱方程可 轉(zhuǎn)化為一般方程:,投影平面方程為,在平面,垂直于的平面1的法向量滿足,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,例2

10、0. 求直線L:, : x + y 2z + 1 = 0上的投影直線方程.,解II：,所求投影直線方程為,投影平面方程為,在平面,過直線l且垂直于的平面1的法向量為:,(2,1,2)(1,1,2) = (4,6,1),又因為1過直線l上的點(2, 1, 1),可得1的點法式方程 4(x2)+6( y1)+(z+1) = 0,第三章 幾何空間,3.4 空間的平面和直線,3.4 空間的平面和直線,3. 如何求投影直線方程？,2. 如何求兩條異面直線的距離？,1. 如何求直線與平面的夾角？,由直線的一般方程構造平面束方程求得,由直線的標準方程求法向量和點法式平面,3.6 用Matlab解題,一. 計

11、算向量的數(shù)量積、向量積和混合積,3.6 用Matlab解題,第三章 幾何空間, a=1,0,-1;b=0,1,2; c=1,1,0; c_1=dot(a,b) %向量的數(shù)量積 c_1 = -2 c_2=cross(a, b) %向量的向量積 c_2 = 1 -2 1 d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合積 d_1 = -1,3.6 用Matlab解題,二. 計算面積、體積、夾角和距離,第三章 幾何空間,例21.,3.6 用Matlab解題,第三章 幾何空間,二. 計算面積、體積、夾角和距離,3.6 用Matlab解題,第三章 幾何空間,平面圖形的幾何變換：包括圖形的旋轉(zhuǎn)、平

12、移、放大等，是計算機圖形學中經(jīng)常遇到的問題。,在R2上點P1(x1, y1) 繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) ，得P2(x2, y2),點的旋轉(zhuǎn)可以表示為坐標的線性變換，變換矩陣,三.線性變換應用平面圖形的幾何變換,R2上點的平移不能表示為坐標的線性變換，例如將點P1(x1, y1)平移到點P2(x1+a, y1+b)。,為了將平移表示為線性變換，引入齊次坐標：,R2上點(x, y)對應于R3中的點P(x, y, 1) ，即xoy面上方1單位平面上，(x, y, 1)稱為(x, y)的齊次坐標。,齊次坐標中，平移(x, y) (x+a, y+b) 表示為(x, y, 1) (x+a, y+b, 1),變換矩

13、陣,齊次坐標的引入,P1(x1, y1) 繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) 角度得P2(x2, y2),R2中的任何線性變換都可用分塊矩陣,乘以齊次坐標實現(xiàn)，其中A 是2階變換矩陣。,P1(x1, y1)沿x、y軸方向分別縮放s, t 倍得P2(x2, y2),圖形的旋轉(zhuǎn)和放大,P1(x1, y1) 繞點M(a, b)逆時針旋轉(zhuǎn) 角度得P2(x2, y2),1 先將坐標系原點平移到 點M(a, b)，變換矩陣：,2 再繞新原點M旋轉(zhuǎn)， 變換矩陣：,3 再將坐標系原點還原到 初始原點，變換矩陣：,4 變換矩陣：T = T3 T2 T1,圖形變換的合成,例1：對下圖所示的笑臉圖進行幾何變換,1 先用三角函數(shù)畫臉形

14、,dt = pi/20; t=0:dt:2*pi; xf=cos(t); yf=sin(t); %臉形曲線 fill(xf,yf,r); %繪制臉形狀 hold on;,2 再畫一雙眼睛,xe(1,:)=0.08*xf-0.3; ye(1,:)=0.12*yf+0.2; %左眼 xe(2,:)=0.08*xf+0.3; ye(2,:)=ye(1,:); %右眼 plot(xe(1,:),ye(1,:),k,linewidth,5) %繪制左眼 plot(xe(2,:),ye(2,:),k,linewidth,5) %繪制右眼,function xf1,yf1,xe1,ye1,xm1,ym1 =

15、 DrawSmileFace(xf,yf,xe,ye,xm,ym,T) %繪制笑臉圖的子程序,xm0 = 0.5*cos(s); ym0 = 0.5*sin(s); %嘴形狀 plot(xm1,ym1,k,linewidth,2); %繪制嘴 grid on; axis(-3, 3, -2.5, 2.5); %坐標范圍,3 最后畫嘴形,利用繪制笑臉圖時獲得的數(shù)據(jù)，對笑臉圖形進行幾何變換，即進行圖形縮放、平移和旋轉(zhuǎn)等操作。,計算程序：smile_04.m,subplot(2,2,1) %將窗口分成四塊,在第一塊作圖 T0=eye(3); xf1,yf1,xe1,ye1,xm1,ym1 =Draw

16、SmileFace(xf0,yf0,xe0,ye0,xm0,ym0,T0); title(圖1：笑臉初始圖); %注明標題 subplot(2,2,2) %在第二塊作圖 T1=1.5 0 0;0 1 0;0 0 1; %將笑臉橫軸縮放1.5倍，縱軸不變 xf2,yf2,xe2,ye2,xm2,ym2 =DrawSmileFace(xf0,yf0,xe0,ye0,xm0,ym0,T1); title(圖2：笑臉橫軸縮放1.5倍，縱軸不變);,subplot(2,2,3) %在第三塊作圖 T2=1 0 1;0 1 -1;0 0 1; %笑臉橫軸平移1，縱軸平移-1 xf3,yf3,xe3,ye3,

17、xm3,ym3=DrawSmileFace(xf2,yf2,xe2,ye2,xm2,ym2,T2); title(圖3：笑臉橫軸平移1，縱軸平移-1初始圖); %注明標題 subplot(2,2,4) %在第四塊作圖 theta=pi/6; x0=sum(xf3)/length(xf3); y0=sum(yf3)/length(yf3); xy0=x0;y0;T3_1=eye(3);T3_1(1:2,3)=-xy0; T3_2=cos(theta),-sin(theta),0;sin(theta),cos(theta),0;0 0 1; T3_3=2*eye(3)-T3_1; T3=T3_3*

18、T3_2*T3_1; xf4,yf4,xe4,ye4,xm4,ym4=DrawSmileFace(xf3,yf3,xe3,ye3,xm3,ym3,T3); title(圖4：繞笑臉中心逆時針旋轉(zhuǎn)30度);,例2：用動畫形式表示平面圖形的幾何變換,先繪制進行動畫演示的紅色箭頭：,Pd=0 -1 0 1;0 -1 3 -1; %飛行箭頭頂點 fill(Pd(1,:),Pd(2,:),r); %繪制箭頭圖形 grid on; %網(wǎng)格 axis(-20, 20, -15, 15); %坐標范圍,利用動畫函數(shù)geframe( )和movie( )，將連續(xù)的圖片構成動畫演示,演示程序：g_move01.m

19、 g_move02.m,線性變換應用：Hill密碼,密碼學(Cryptography)，源于希臘文字 秘密(kryptos)書寫(graphein),加密解密過程模型,明文,密文(傳遞),加密,解密,明文,1929年，希爾（Hill）利用線性變換對待傳輸?shù)男畔⑦M行加密處理，提出了在密碼史上有重要地位的希爾加密算法。,1929年，希爾（Hill）利用線性變換對待傳輸?shù)男畔⑦M行加密處理，提出了在密碼史上有重要地位的希爾加密算法。,假定空格和26個英文字母對應整數(shù)026，稱為明文字母的表值。,希爾加密思想：每次將s個明文字母通過可逆線性變換轉(zhuǎn)換為s個密文字母，密鑰為變換矩陣本身；解密只需要進行一次逆變換。,設s個明文字母為M = ( m1, m2, , ms )T s個密文字母為C = ( c1, c2, , cs )T 線性變換矩陣為,線性變換應用：Hill密碼,加密過程可以表示為,或者寫成 C KM (mod 27),如果變換矩陣 K 在mod 27意義下可逆，解密過程只需要兩邊同時乘以 K-1，即 M K-1C (mod 27),Hill加密變換,模n 運算規(guī)則：,1. 模n 逆元：設a Zn，如果存在b Zn，使得 ab 1 (mod n)，則稱a 有模n 逆，記為 b a-1 (mod n),命題1：整數(shù)