1、1,第 4 章 平 面 一般 力 系,各力作用線在同一平面內(nèi),既不匯交,又不全部平行的力系.,2,本章討論平面一般力系的簡化（合成）與平衡 它是靜力學的重點。因為： 1、工程中的很多問題可以簡化為平面一般力 系問題； 2、研究平面一般力系的方法具有一般性。,平面一般力系簡化的思路 (1) 把所有的力都移到同一點； (2) 將力系簡化（合成）。,3,? 問題 怎樣才能把一個力移到另一個點（不是沿作用線移動），而不改變它對剛體的作用效果？,4,4 .1 力的平移定理,作用在剛體上的力可以向剛體上任一點平移，為了不改變原力對剛體的作用效果，平移后需附加一力偶，此力偶的力偶矩等于原力對該點的矩。,5,

2、附加力偶的力偶矩:,注意：,附加的是力偶， 其力偶矩由原力對平移點之力矩決定。,即：力向一點平移, 得到一個 力和一個力偶,力偶的力偶矩 等于原力對平移點之矩.,6,從力的作用效應看: 力不能和力偶等效,但力可以和力（新位置）+力偶等效。 力+力偶可與一個力（新位置）等效。 注意:力的平移和力的滑移的區(qū)別。,力線平移定理是平面一般力系向一點簡化 的理論依據(jù).,7,實例,攻絲,8,4.2 平面一般力系向作用面內(nèi)任一點簡化,將每個力向簡化中心O平移,任選一個 簡化中心O,其中：,平面一般力系,平面匯交力系,+ 平面力偶系,9,向O點簡化,平面一般力系,平面匯交力系 + 平面力偶系,合 力 作用于O

3、點,合 力 偶 MO= M,10,力系的主矢：,對O點的主矩：,力系主矢的特點： * 對于給定的力系，主矢唯一 * 與簡化中心O 的位置無關(guān)。,力系主矩的特點: *主矩MO與簡化中心O 的位置有關(guān)。 主矩必須指明簡化中心,11,平面一般力系簡化的結(jié)論,平面一般力系向一點O簡化，可得一力和一 力偶，該力的大小和方向等于該力系的主矢，作用于簡化中心；該力偶的力偶矩等于該力系對O點的主矩。,12,平面一般力系簡化結(jié)果的應用,分析固定端約束的約束力,13,插入端約束,插入端約束,14,平面任意力系向一點O簡化，可得一力和一力偶。,此時，原力系與一個力偶等效， 合成為合力偶。 在這種情況下，主矩與簡化中

4、 心無關(guān)。,4.3 平面一般力系的合成結(jié)果,一、 簡化結(jié)果討論,1 . MO 0,15,？問題：,作用于O點的 是合力嗎？,這種情況下，可以進一步簡化,此時，原力系與一個力等效。,2. , MO = 0,3. , MO 0,是合力,16,3. , MO 0,平移的距離為：,這種情況下，可以進一步簡化。,d,平移的方向：與Mo的轉(zhuǎn)向相反。,最后可得作用于O 點的合力,17,原力系為平衡力系,平面一般力系簡化結(jié)果小結(jié),(1) 合力偶 只有當主矢為零時，才可能為合力偶。 (2) 合力 當主矢不為零時，一定可以簡化為合力。 如主矩為零，則作用于簡化中心的主矢即 為合力； 如主矩不為零，則可進一步簡化為

5、合力。 (3) 平衡,4. , MO = 0,18,合力矩定理,合力矩定理應用,1. 當合力對某點之矩不方便求時，利用分力求；,2. 利用合力矩定理求合力作用線也很方便；,3. 合力矩定理適用于任何力系。,19,例題 如圖所示，剛架上 作用有力F， 試分別計算 力對點A和B的矩。,20,x,x,dx,h,例題,已知：載荷集度q, 梁長 l 。 求：分布力的合力的大小 及合力作線位置。,解：,分布力的載荷集度 q 單位長度上的力，單 位為： N/m , 或 kN/m 。,1) 求合力的大小,設合力為P，作用線距A點為 h 。,建立x坐標如圖。,取x處微段dx , 設x處的載荷集度為q(x)。,q

6、(x),21,1) 求合力的大小,取x處微段dx , 設x處的載 荷集度為q (x)。,則：,由幾何關(guān)系，有：,22,2) 求合力作用線位置,用合力矩定理,即：合力的作用線通過三角形的形心。,對圖示于分布力，有結(jié)論： 合力的大小等于分布力的面積，合力的作用線通過分布力的形心。,23,4.4 平面一般力系的平衡條件,受平面一般力系作用的剛體,平衡,平衡方程,平面一般力系的 平衡方程,*平面一般力系有三個獨立的方程，可解三個未 知量。 *投影軸可任選，力矩方程的矩心也可任選。,24,例題,已知：F, 力偶M，均布載 荷 q，長度 a 。 求：支座A、B處反力 。,解：,取AB為研究對象， 受力如圖

7、。,分布力用集中力代替：,25,例題：,圖示機構(gòu)P=100kN,M=20kN.m,F=400kN,q=20kN/m,l=1m.求固定端A的約束反力。,解：取ABD為對象，受力圖如圖示。 其中Fq=1/2q3l=30kN,X=0：FAx+Fq-Fcos300=0,Y=0: FAy-P-Fsin300=0,MA(F)=0: MA-M-Fql+Fsin300l+Fcos3003l=0,解得： FAx=316.4kN； FAy=300kN MA=-1188kN.m (與圖示轉(zhuǎn)向相反）,26, 平衡方程的其它形式,1 二矩式： X = 0,A、B 連線不垂直 于x 軸,A、B、C 三點不 在同一條直線上

8、,附加條件：,附加條件：,2 三矩式：,27,二矩式的證明：,平 衡,二矩式成立,只可能合成為合力或平衡（即不可能是力偶）。,因,28,若有合力，則合 力作用線過A點,若有合力，則合 力作用線過B點,合力作用線過AB,又有 X = 0 且 x 軸不與AB連線垂直,必有：合力為零，即力系平衡,證畢,三矩式的證明類似，請大家自己證明,由,由,29,若在平面力系中,各力的作用線互相平行,如圖,取y軸與各力平行。,由平面一般力系的平衡 方程,其中,故 ：平面平行力系的平衡方程為,兩個獨立的 平衡方程,30,對于平面平行力系,條件：AB連線不能與各力作用線平行,二矩式：,31,例題,已知： 自重 P1=

9、700kN, 最大起重量 P2=200kN。 求：能安全工作時，平衡重P3=?,解：,取整體，受力如圖,32,可能的不安全情況？ 滿載時， 繞B順時針翻倒； 空載時， 繞A逆時針翻倒。 不翻倒的條件？ 1.滿載不翻倒的 條件： FA 0,2.空載不翻倒的條件：,取整體，受力如圖。,FB 0,33,1. 滿載時（臨界態(tài)）,34,2.空載時（臨界態(tài)）,空載時，P2 = 0,安全時： 75 kN P3 350 kN,35,4 . 5 物體系統(tǒng)的平衡 靜定和超靜定問題,物體系統(tǒng)：多個物體通過約束連接所組成的系統(tǒng)(整體）。,超靜定問題的基本概念,對于每一種力系，獨立的平衡方程的個數(shù)是一定的，當未知力的個

10、數(shù)超過獨立的平衡方程的個數(shù)時，就無法僅由平衡方程解出全部未知力。 這種問題稱為靜不定問題，或超靜定問題。,36,對于超靜定問題： 未知約束力數(shù) - 獨立平衡方程數(shù)=超靜定次數(shù),靜定問題,超靜定問題（1次）,若： 未知約束力的個數(shù), 獨立的平衡方程數(shù), 靜定問題。,若： 未知約束力的個數(shù), 獨立的平衡方程數(shù), 靜不定問題；,或超靜定問題。,37,例1, 靜定性的判斷,38,例 2,例 3,39,例4,取AD 受力如圖,取CB 受力如圖,所以，是 靜定問題。,40,一個由n個剛體組成的系統(tǒng)， 若受到平面一般力系的作用， 則至多可列出 3n個獨立的平衡方程。,一般,41,物體系統(tǒng)的平衡,對于物體系統(tǒng)

11、的平衡問題 1 常常需要求內(nèi)力； 2 雖只需求外力，但取整體時，獨立的方程 數(shù)少于未知外力的個數(shù)。 在這兩種情況下，都需要將系統(tǒng)拆開，取其中一個物體或部分物體的組合作為研究對象。,42,物體系統(tǒng)的平衡,求解物體系統(tǒng)的平衡問題,正確選擇研究對象； 選擇適當?shù)钠胶夥匠?，盡量避免求解聯(lián)立方 程。,43,例題 連續(xù)梁,已知：F=5 kN, q=2.5 kN/m, M=5 kNm, 尺寸 如圖。 求：支座A、B、 D處反力。,解：,取整體，受力如圖,取CD，受力如圖,44,取CD，受力如圖,將分布力用合力來代替,解法1,45,取整體， 受力如圖,分布力的合力,46,解法2,取CD，受力如圖。,FD，F(xiàn)C

12、x，F(xiàn)Cy,取AC ，受力如圖。,FB，F(xiàn)Ax，F(xiàn)Ay 。,47,解法3,對整體，將分布力 用合力來代替。,取CD，將C鉸鏈 連在CD上，受力 如圖。,？問題:,這樣求出的FD與前 面求出有何不同？,解法3中分布力處理有錯誤,有不同，這樣求出FD沒有了分布力的影響，是錯誤的。,48,例題 已知：連續(xù)梁，P=10kN, Q=50kN, CE 鉛垂, 不計梁重， 求：A ,B和D點的反力。,49,解：, 取起重機，受力如圖, 取CD，受力如圖,50, 取整體，受力如圖。,51,例題,已知： F=180 kN, 尺 寸如圖，單位為 m。 求：A，H及D處反力。,解：法1, 取整體，受力如圖.,或,52, 取DH，受力如圖。, 取BE(帶輪)，受力如圖,53,法2, 與法1相同，取整體，, 取BE(帶輪)，受力如圖,求出 FAx , FAy , FH .,54, 取AD，受力如圖,55,答案：,56,解：, 取整體，受力如圖,例題,已知：F=200 N, M=2400Nm, 尺寸如 圖，單位為 m。 求：A，E處反力。,有四個未知量，但本題中，可求出一部分。,(1),下面需求出FAx 或 FEx 。,57, 取BDH, 取BDH+CE，受力如圖,再由(1)式,58,答案：,由本題可看出：雖然外載荷F沿鉛垂方向，力偶 M也可用兩個鉛垂方向的力來表示，但支座A， E處的水平方向的反力