1、第九節(jié) 自然數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的：1、掌握第一、第二數(shù)學(xué)歸納法；2、掌握最小自然數(shù)原理；3、掌握并會應(yīng)用抽屜原理.教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用最小自然數(shù)原理以及抽屜原理.教學(xué)課時：2課時教學(xué)過程1、歸納原理 設(shè)是的一個子集，滿足條件：(1) ; (2) 如果，則. 那么.2、數(shù)學(xué)歸納法 設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的一種性質(zhì)或命題. 如果(1) 當(dāng)時，成立；(2) 由成立必可推出成立，那么，對所有自然數(shù)都成立. 證明：設(shè)使成立的所有自然數(shù)所組成的集合是，則是的一個子集. 由條件(1) 知;由條件 (2)知若，則，那么. 3、最小自然數(shù)原理 設(shè)是的一個非空子集. 那么，必有，使得對所有，都有，即是中的最小自然數(shù).4、第二數(shù)學(xué)歸

2、納法 設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的一種性質(zhì)或命題. 如果(1) 當(dāng)時，成立；(2) 設(shè)，若對所有自然數(shù)，成立，必可推出成立，那么，對所有自然數(shù)都成立.5、抽屜原理 把件東西任意放入只抽屜里，那么至少有一個抽屜里有兩件東西.把件東西放入個抽屜里，那么至少有一個抽屜里至少有+1件東西.無窮件東西，把它們放在有限多個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含無窮件東西.例1、證明：若表示第個素?cái)?shù)，則.證明：略.例2、在邊長為1的正方形內(nèi)任意放置5個點(diǎn)，試證：其中必有兩個點(diǎn)，它們之間的距離不大于. 證明：將邊長為1的正方形劃分成如圖所示的四個邊長為的小正方形，則每個小正方形中任意兩點(diǎn)間的距離不大于，據(jù)抽屜原理：5個點(diǎn)放入四個

3、正方形中，其中至少有一個正方形中至少有2個點(diǎn)，則這兩個點(diǎn)間的距離不大于.例3、求證：任給五個整數(shù)，必能從中選出三個，使得它們的和能被3整除.證明：因?yàn)槿我庖粋€整數(shù)被3除的余數(shù)只能是0、1、2，若任給的5個整數(shù)被3除的余數(shù)中0、1、2都出現(xiàn)，則余數(shù)為0、1、2的三個整數(shù)之和能被3整除.若5個數(shù)被3除的余數(shù)只出現(xiàn)0、1、2中的兩個，則據(jù)抽屜原理知：必有3個整數(shù)的余數(shù)相同，而余數(shù)相同的3個數(shù)之和能被3整除.故任給五個整數(shù)，必能從中選出三個，使得它們的和能被3整除.例4、證明：在全世界所有人中任選六個人，其中一定有三個人，他們之間或者互相認(rèn)識，或者互相不認(rèn)識.證明：略.例5、平面上有1987個點(diǎn)，任取三個點(diǎn)中都有兩點(diǎn)的距離小于1. 求證：存在半徑為1的圓，它至少蓋住994個點(diǎn).證明：在所給的1987個點(diǎn)中任選一點(diǎn)，記為A，以A為圓心作一個半徑為1的圓，若其余的1986個點(diǎn)都在圓A內(nèi)，則結(jié)論成立.否則，在圓A外的點(diǎn)中任一點(diǎn)，記為B，以B為圓心作一個半徑為1的圓，則除去A、B之外的其余1985個點(diǎn)必在圓A或圓B內(nèi)，否則，至少存在一點(diǎn)C在圓A或圓B的外部，則A、B、C三點(diǎn)任兩點(diǎn)間的距離均大于1，與條件矛盾，所以除去A、B之外的其余1