1、1,第13講程向紅,典型環(huán)節(jié)的極坐標圖 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)和穩(wěn)定裕度,2,第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法 Frequency-response analysis,應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為頻域分析法。,3,5.2.5最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng),Minimum phase systems and non-minimum phase systems,最小相位傳遞函數(shù),非最小相位傳遞函數(shù),在右半s平面內(nèi)既無極點也無零點的傳遞函數(shù),在右半s平面內(nèi)有極點和（或）零點的傳遞函數(shù),最小相位系統(tǒng),非最小相位系統(tǒng),具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng),具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng),請看例子,4,5

2、.2.7 系統(tǒng)類型與對數(shù)幅值之間的關(guān)系,考慮單位反饋控制系統(tǒng)。靜態(tài)位置、速度和加速度誤差常數(shù)分別描述了0型、1型和2型系統(tǒng)的低頻特性。,當 趨近于零時，回路增益越高，有限的靜態(tài)誤差常值就越大。,對于給定的系統(tǒng)，只有靜態(tài)誤差常數(shù)是有限值，才有意義。,系統(tǒng)的類型確定了低頻時對數(shù)幅值曲線的斜率。因此，對于給定的輸入信號，控制系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小，都可以從觀察對數(shù)幅值曲線的低頻區(qū)特性予以確定。,5,靜態(tài)位置誤差常數(shù)的確定,圖5-21單位反饋控制系統(tǒng),假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,在低頻段等于,，即,6,圖5-22 某一0型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線,cf3_dB=-30.4575749,cf1_

3、dB=23.5218252,cf2_dB=9.5424251,7,圖5-23為一個1型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線的例子。,的起始線段/或其延長線，與,的直線的交點具有的幅值為,靜態(tài)速度誤差常數(shù)的確定,在1型系統(tǒng)中,斜率為,證明,1,2,斜率為,其延長線與0分貝線的交點的頻率在數(shù)值上等于,設(shè)交點上的頻率為,的起始線段/或,證明,8,9,圖5-23 某個1型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線,轉(zhuǎn)角頻率為,斜率為,與/或其延長線與0分貝線的交點為,的直線,，,，,由此得到,在伯德圖上,點恰好是,點與,點的中點,10,靜態(tài)加速度誤差常數(shù)的確定,斜率為,的起始線段/或其,的直線的交點具有的幅值為,1,圖5-24 某2型系統(tǒng)對數(shù)幅值

4、曲線,延長線，與,證明,11,2,圖5-24 某2型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線,斜率為,的起始線段/或其延長線與0分貝線的交點的頻率為,在數(shù)值上等于,的平方根,證明,12,5.3極坐標圖(Polar plot)，幅相頻率特性曲線，奈奎斯特曲線,可用幅值,和相角,的向量表示。當輸入信號的頻率,由零變化到無窮大時，向量,的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點在復(fù)平面上移動的軌跡稱為極坐標圖。,在極坐標圖上，正/負相角是從正實軸開始，以逆時針/順時針旋轉(zhuǎn)來定義的,13,圖5-25 極坐標圖,但它不能清楚地表明開環(huán)傳遞函數(shù)中每個因子對系統(tǒng)的具體影響,采用極坐標圖的優(yōu)點是它能在一幅圖上表示出系統(tǒng)在整個頻率范圍內(nèi)的

5、頻率響應(yīng)特性。,14,5.3.1積分與微分因子,所以,的極坐標圖是負虛軸。,的極坐標圖是正虛軸。,圖5-26 積分因子極坐標圖,15,圖5-27 微分因子極坐標圖,16,5.3.2一階因子,圖5-28 一階因子,極坐標圖,17,圖5-29 一階因子,極坐標圖,18,5.3.3二階因子,的高頻部分與負實軸相切。極坐標圖的精確形狀與阻尼比有關(guān)，但對于欠阻尼和過阻尼的情況，極坐標圖的形狀大致相同。,圖5-30 二階因子極坐標圖,19,對于欠阻尼,時,相角,的軌跡與虛軸交點處的頻率，就是無阻尼自然頻率,極坐標圖上，距原點最遠的頻率點，相應(yīng)于諧振頻率,這時,可以用諧振頻率,處的向量幅值，與,處向量幅值之

6、比來確定。,當,的峰值,20,過阻尼情況,增加到遠大于1時，,的軌跡趣近于半圓。這是因為對于強阻尼系統(tǒng)，特征方程的根為實根，并且其中一個根遠小于另一個根。對于足夠大的,值，比較大的一個根對系統(tǒng)影響很小，因此系統(tǒng)的特征與一階系統(tǒng)相似。,當,21,22,23,24,25,26,對于,極坐標圖的低頻部分為：,極坐標圖的高頻部分為：,圖5-31 二階因子,極坐標圖,27,圖5-31 二階因子,極坐標圖,28,例5-2 考慮下列二階傳遞函數(shù)：,試畫出這個傳遞函數(shù)的極坐標圖。,解：,極坐標圖的低頻部分為：,極坐標圖的高頻部分為：,29,圖5-32,極坐標圖,30,5.3.4 傳遞延遲,當,時，,當,兩者存

7、在本質(zhì)的差別,低頻時傳遞延遲與一階環(huán)節(jié)的特性相似,時,31,5.3.5 極坐標圖的一般形狀,0型系統(tǒng)：極坐標圖的起點,是一個位于正實軸的有限值,極坐標圖曲線的終點位于坐標原點，并且這一點上的曲線與一個坐標軸相切。,1型系統(tǒng)：,的相角是,極坐標是一條漸近于平行與虛軸的直線的線段,幅值為零，且曲線收斂于原點，且曲線與一個坐標軸相切。,在總的相角中,項產(chǎn)生的,32,在總相角中,的相角是由,項產(chǎn)生的,2型系統(tǒng)：,圖5-34b高頻區(qū)域內(nèi)的極坐標圖,如果,的分母多項式階次,的軌跡將沿者順時針方向收斂于原點,時，,軌跡將與實軸或虛軸相切,高于分子多項式階次，那么,當,33,5.4對數(shù)幅-相圖(Nichols

8、 Chart)尼柯爾斯圖,圖5-34 二階因子對數(shù)幅-相圖,34,5.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist Stability Criterion),圖3-35 閉環(huán)系統(tǒng),閉環(huán)傳遞函數(shù)為,為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程,的全部根，都必須位于左半s平面。,的極點和零點可能位于右半s平面，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點均位于左半s平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,雖然開環(huán)傳遞函數(shù),充要條件,35,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應(yīng),與,在右半s平面內(nèi)的零點數(shù)和極點數(shù)聯(lián)系起來的判據(jù)。這種方法無須求出閉環(huán)極點，得到廣泛應(yīng)用。,由解析的方法和實驗的方法得到的開環(huán)頻率特性曲線，均可用來進行穩(wěn)定性分析,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立

9、在復(fù)變函數(shù)理論中的圖形影射基礎(chǔ)上的,假設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù),可以表示成s的多項式之比。對于物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項式的階數(shù)必須大于或等于分子多項式的階數(shù)，這表明，當s趨于無窮大時，任何物理上可實現(xiàn)系統(tǒng)的,的極限，或趨于零，或趨于常數(shù)。,36,5.5.1 預(yù)備知識,可以證明，對于S平面上給定的一條不通過任何奇點的連續(xù)封閉曲線，在,平面上必存在一條封閉曲線與之對應(yīng)。,平面上的原點被封閉曲線包圍的次數(shù)和方向，在下面的討論中具有特別重要的意義。我們將包圍的次數(shù)和方向與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來。,例如考慮下列開環(huán)傳遞函數(shù)：,37,其特征方程為：,函數(shù),在s平面內(nèi)除了奇點外處處解析。對于s平面上的

10、每一個解析點，,平面上必有一點與之對應(yīng),，則,為：,這樣，對于s平面上給定的連續(xù)封閉軌跡，只要它不通過任何奇點，在,平面上就必有一個封閉曲線與之對應(yīng)。,例如,38,圖5-36 s平面上的圖形在 平面上的變換,上半s平面內(nèi)的直線,和,在,平面上的變換,39,0,0,當s平面上的圖形包圍兩個,的極點時，,的軌跡將反時針方向包圍,平面上原點兩次,40,A,B,F,E,D,C,A1,B1,F1,E1,D1,C1,當s平面上的圖形包圍,的兩個極點和兩個零點，,的軌跡將不包圍原點,相應(yīng)的,41,0,0,如果這個曲線只包圍一個零點，相應(yīng)的,的軌跡將順時針包圍原點一次，,封閉曲線既不包圍零點又不包圍極點，,的

11、軌跡將永遠不會包圍,平面上的原點,42,如果在s平面上曲線包圍k個零點和k個極點(k=0,1,2)，,相應(yīng)的封閉曲線不包圍,上述討論是影射定理的圖解說明。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是建立在影射定理的基礎(chǔ)上。,即包圍的零點數(shù)與極點數(shù)相同，則在,平面上，,平面上的原點。,43,5.5.2影射定理,設(shè),為兩個s的多項式之比，并設(shè)P為,的極點數(shù)，Z為,的零點數(shù)，它們位于s平面上的某一封閉曲線內(nèi)，,的任何極點和零點。于是，s平面上的這一封閉曲線影射到,平面上，也是一條封閉曲線。當變量s順時針通過封閉曲線時,平面上，相應(yīng)的軌跡順時針包圍,原點的總次數(shù)R等于Z-P。,且有多重極點和多重零點的情況。設(shè)上述封閉曲線不通

12、過,在,44,若R為正數(shù)，表示,的零點數(shù)超過了極點數(shù)；,的極點數(shù)超過了零點數(shù)。,很容易確定,的P數(shù)。因此，如果，,的軌跡圖中確定了R，則s平面上封閉曲線內(nèi)的零點數(shù),若R為負數(shù)，表示,在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，由,很容易確定。,兩者的極點數(shù)相同,45,5.5.3影射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用,為了分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令s平面上的封閉曲線包圍整個右半s平面。這時的封閉曲線由整個,軸(從,到,該封閉曲線為奈奎斯特軌跡(軌跡的方向為順時針方向)。因為奈奎斯特軌跡包圍了整個右半s平面，所以它包圍了,)和右半s平面上半徑為無窮大的半圓軌跡構(gòu)成,的所有正實部的極點和零點。,則不存在閉環(huán)極點，因而系統(tǒng)是穩(wěn)

13、定的。,如果,在右半s平面不存在零點，,46,圖5-37 s平面內(nèi)的封閉曲線,曲線對原點的包圍，恰等于,軌跡對-1+j0點的包圍,47,這一判據(jù)可表示為：,函數(shù),在右半s平面內(nèi)的零點數(shù),對-1+j0點順時針包圍的次數(shù),函數(shù),如果P不等于零，對于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，必須,或,，這意味著必須反時針方向包圍-1+j0點P次。,5.5.5關(guān)于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的幾點說明,式中,在右半s平面內(nèi)的極點數(shù),如果函數(shù),在右半s平面內(nèi)無任何極點，則,因此，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，,的軌跡必須不包圍-1+j0點。,48,5.5.6,含有位于,上極點和/或零點的特殊情況,變量,沿著,軸從,運動到,，從,到,，變量,沿著半徑為,

14、）的半圓運動，再沿著正,軸從,運動到,（,49,對于包含因子,的開環(huán)傳遞函數(shù),，當變量s沿半徑為,(,)的半圓運動時，,的圖形中將有,個半徑為無窮大的順時針方向的半圓環(huán)繞原點。例如，考慮開環(huán)傳遞函數(shù)：,當s平面上的,時，,的相角,50,在右半s平面內(nèi)沒有極點，并且對所有的正K值，軌跡包圍,點兩次。所以函數(shù),在右半s平面內(nèi)存在兩個零點。因此，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,51,如果在s平面內(nèi)，奈奎斯特軌跡包含,和P個極點，并且當s變量順時針沿奈奎斯特軌跡運動時，不,通過的任何極點或零點，則在,平面上相對應(yīng)的曲線將沿順時針方向包圍,點,次（負R值表示反時針包圍,點）。,5.6穩(wěn)定性分析,的Z個零點,a)不包圍

15、-1+j0,如果這時,在右半s平面內(nèi)沒有極點，說明系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,點。如果反時針方向包圍的次數(shù)，等于,在右半s平面內(nèi)沒有極點數(shù)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,點。系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,c)順時針包圍-1+j0,b)反時針包圍-1+j0,52,例5-3 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,的軌跡如圖5-41所示。,在右半s平面內(nèi)沒有任何極點，并且,的軌跡不包圍,，所以對于任何的值，該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。,53,圖5-41 例5-3中的,極坐標圖,54,例5-4 設(shè)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)：,試確定以下兩種情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性：增益K較小增益K較大。,小K值時是穩(wěn)定的,大K值時是不

16、穩(wěn)定的,55,例5-5 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,該系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于,和,相對大小。試畫出該系統(tǒng)的奈奎斯特圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,的軌跡不包圍,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,的軌跡通過,點，這表明閉環(huán)極點位于軸上,56,的軌跡順時針方向包圍,點兩次，因此系統(tǒng)有兩個閉環(huán)極點位于右半s平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,57,例5-6 設(shè)一個閉環(huán)系統(tǒng)具有下列,試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,開環(huán)傳遞函數(shù)：,在右半s平面內(nèi)有一個極點(,)，因此,。圖5-44中的奈奎斯特圖表明，,軌跡順時針方向包圍,點一次，因此，,。因為,。這表明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個極點在右半s平面，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,58,59,例5-7 設(shè)一個閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開

17、環(huán)傳遞函數(shù)： 試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,圖5-45 例5-7中的,極坐標圖,在右半s平面內(nèi)有一個極點(,)，因此,。開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖5-45表明,軌跡逆時針方向包圍,點一次，因此，,因為,，這說明,沒有零點位于右半s平面內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這是一個開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是回路閉合后，變成穩(wěn)定系統(tǒng)的例子。,60,5.7.2相位裕度和增益裕度,圖5-46,的極坐標圖,對于大的K值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當增益減小到一定值時，,的軌跡通過,點。對于小的K值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,的軌跡對,點的靠近程度，可以用來度量穩(wěn)定裕量(對條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適用)。在實際系統(tǒng)中常用相位裕量和增益裕量表示。,61,相位裕度、相角裕度(Phase Margin),設(shè)系統(tǒng)的截止頻率(Gain cross-over frequency)為,定義相角裕度為,相角裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開環(huán)相頻特性再滯后,度，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。,62,增益裕度、幅值裕度(Gain Margin),設(shè)系統(tǒng)的穿越頻率(Phase cross-over frequency),，,定義幅值裕度為,幅值裕度,的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大,倍，則系