目錄摘要.1引言.2一、求曲線的切線方程.4二、導數(shù)在探究函數(shù)性質中的應用7（一）判斷函數(shù)的單調性7（二）函數(shù)的極值、最值問題9（三）求函數(shù)的解析式.11（四）導數(shù)在解決實際問題中的應用.12（五）用導數(shù)判定函數(shù)的凸性及拐點.14三、研究方程根的情況15四、導數(shù)在不等式證明中的應用.15五、導數(shù)求參數(shù)的取值范圍16六、導數(shù)在數(shù)列中的應用17（一）導數(shù)在數(shù)列求和中的應用18（二）求數(shù)列中的最大(小)項18七、導數(shù)在求極限中的應用19八、近似計算19結束語.20參考文獻.211導數(shù)在解題中的應用摘要：導數(shù)是近代數(shù)學的基礎，是聯(lián)系初高等數(shù)學的紐帶。導數(shù)是一個特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。導數(shù)是微積分的核心概念之一，它是一種特殊的極限，反映了函數(shù)變化的快慢程度導數(shù)是求函數(shù)的單調性、極值、曲線的切線以及一些優(yōu)化問題的重要工具，同時對研究幾何、不等式起著重要作用導數(shù)概念是我們今后學習微積分的基礎同時，導數(shù)在物理學，經(jīng)濟學等領域都有廣泛的應用，是開展科學研究必不可少的工具。導數(shù)是微積分中的重要基礎概念，當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個函數(shù)存在導數(shù)時，稱這個函數(shù)可導或者可微分?？蓪У暮瘮?shù)一定連續(xù)。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導。導數(shù)實質上就是一個求極限的過程，導數(shù)的四則運算法則來源于極限的四則運算法則。本文通過導數(shù)的基本理論來解決數(shù)學中的相關問題，通過例題從簡單應用和綜合應用來說明導數(shù)在解題中的應用，如在數(shù)列、函數(shù)、不等式證明、實際問題、數(shù)列求和等方面的應用。關鍵詞：導數(shù)；函數(shù)；單調性；最值；數(shù)列TheApplicationofDerivativeinSolvingProblemsAbstract:Derivativearethefoundationofmodernmathematicsislinkedbondsinearlymathematics.Derivativeisaspecialfunction,whichleadstoanddefinitionsofthefunctionrunsthroughideas.Derivativeisoneofthecoreconceptsofcalculus,itisaspecialkindoflimit,reflectingthepaceofchangeinthedegreeoffunction.Derivativeisthemonotonicityofafunction,extremum,thecurvetangentandsomeimportanttoolsforoptimizationproblems,whilethestudyofgeometry,inequalitiesplayanimportantrole.Derivativeconceptisthebasisforfuturestudyofcalculus.Atthesametime,derivativeinphysics,economicsandotherfieldshaveawiderangeofapplications,isanindispensabletoolforscientificresearch.Derivativeisanimportantfoundationforcalculusconceptsofincrementalindependentvariabletendstozero,thedependentvariableandindependentvariableincrementincrementalquotientofthelimit.Presenceinthederivativeofafunction,callthisfunctioncanleadorbedifferential.Beacontinuousdifferentiablefunction.Discontinuousfunctionmustnotbeguided.Derivativeisessentiallyaprocessoflimit,derivativeofthefouralgorithmsfromthelimitsofthefouralgorithms.Inthispaper,wediscusssomeproblemsinmashbythetheoryofthederivative.Thederivativeapplicationisobtainedbyusingexamplesfromsimpleapplicationtocomprehensiveapplication,suchastheapplicationoftheseries,inequalityproof,practicalproblemsandsummationseries.Keywords:derivative；function；monotone；themostvalue；series引言微積分的知識和方法在中學數(shù)學的許多問題上，能起到化繁為簡的作2用，尤其體現(xiàn)在判定函數(shù)相關性質，證明不等式，恒等式及恒等變形，研究函數(shù)的變化形態(tài)及函數(shù)作圖上.導數(shù)是微積分學中重要的基礎知識,是研究函數(shù)解析性質的重要手段，在求函數(shù)的極值方面起著“鑰匙”的作用定義：設函數(shù))(xfy在點0x的某個領域內有定義，當自變量x在0x處取得增量x(點xx0仍在該領域內)時，相應的函數(shù)y的增量)()(00xfxxfy；如果y與x之比當0x時的極限存在，則稱函數(shù))(xfy在0x處可導，并稱這個極限為函數(shù))(xfy在0x處的導數(shù)，記為0|xxy，即xxfxxfxyyxxxx)()(limlim|0000(1.1)導數(shù)定義的形式比較靈活.對它進行研究，能促進我們對導數(shù)的理解，幫助我們迅速、正確地解題，導數(shù)的定義式也可以有不同的形式，常見的有000)()(lim)(0xxxfxfxfxx(1.2)hxfhxfxfh)()(lim)(0000(1.3)(1.3)式中的h即為自變量的增量x.從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論3述。比如我國的莊周所著的莊子一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。牛頓在1671年寫了流數(shù)法和無窮級數(shù)，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經(jīng)過的路程(積分法)。直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯4進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發(fā)展開來。任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布貝努利和他的兄弟翰貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西。歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數(shù)學也好，都是一種常量數(shù)學，微積分才是真正的變量數(shù)學，是數(shù)學中的大革命。微積分是高等數(shù)學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學技術園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。一、求曲線的切線方程在求過點),(00yxP所作函數(shù)xfy對應曲線的切線方程時應先判斷該點是否在曲線上.)1(當點),(00yxP在曲線上，即點),(00yxP為切點時，則切線方程為000xxxfyy.)2(當點),(00yxP不在曲線上時，則設切點坐標為),(11yx，由1010111xxyyxfxfy先求得切點的坐標，然后進一步求切線方程.例1.已知曲線axxyl2:2,求過點P1,2的曲線l的切線方程.解：因axxy22，所以22xy，則當2x時，ay，2y.5當1a時，點P1,2在曲線l上，故過點P的曲線l的切線方程為),2(2)1(xy即052yx，當1a時，點P不在l上，設曲線l過點P的切線的切點是),(00yx，則切線方程為)(22(000xxxyy且點P1,在此切線方程上，所以有),2)(22(1000xxy即.3620200xxy又axxy02002則有3622020020xxaxx，即,0)3(4020axx)1(4)3(416aa，當1a時，0，所以120ax；當0xx時，1122122aay，所以切線方程是21121xay即12112xay，當1a時，0，切線不存在.例2.已知拋物線xxyC2:21和拋物線axyC22:，當a取什么值時，1C和2C有且僅有一條公切線？寫出公切線的方程.分析：傳統(tǒng)的處理方法是用法來解決，但計算量大，容易出錯，如能運用導數(shù)的幾何意義去解，則思路清晰，解法簡單.解：設2211,yxByxA分別是直線l與1C、2C的兩個切點.又xxy2:c21，axyc22:的導數(shù)分別為：22xy，yx2，所以2122xx，即121xx又1C、2C有且只有一條公切線，則點A與點B重合，21xx，6所以2121xx，即43,21A，有點B在2C上，可知21a，此時:l41xy.例3.已知曲線xxxyC23:23，直線kxyl:，且l與C切與點)0)(,(000xyx，求直線l的方程及切點坐標.解：由l過原點，知)0(00xxyk，點),(00yx在曲線C上，02030023xxxy2302000xxxy又2632xxy263020xxk，又00xyk23263020020xxxx23,0320020xxx（00x不符合題意）83232)23(3)23(230y41238300xyk所以l的方程為xy41，切點為)83,23(.求曲線的切線方程，關鍵利用曲線上某點的導數(shù)就是曲線上過該點的切線的斜率.7二、導數(shù)在探究函數(shù)性質中的應用（一）判斷函數(shù)的單調性假設xfy在點,ba中可導）若對),(ba中所有x而言0xf，則xf在),(ba中遞增；）若對),(ba中所有x而言0xf，則xf在),(ba中遞減；）若對),(ba中所有x而言0xf，則xf在),(ba中不變.由此可見，只要求出函數(shù)的導數(shù)，判斷其正負性，則能判斷函數(shù)的單調性.這種方法比傳統(tǒng)的“定義法”及“圖像法”更方便.例1.求函數(shù)xxay12在1,0x上的單調性)(Ra解：令xt，即求tattf12，1,0t上的單調性當0a時，tf在1,0t上為增函數(shù)；當0a時,因312)(tatf，則由0)(xf，得0123ta則可以判斷，當)1,0(t3a時，0xf，說明tf在)1,0(t3a上為增函數(shù)；當),1(t3a時，0xf，tf在),1(3a上為減函數(shù).接下來，要比較31a和1的大小,8當01a時113a，則tf在1,0t上為增函數(shù)，此時121aftf，當1a時，113a，則tf在)1,0(t3a上為增函數(shù)；在),1(t3a上為減函數(shù).該題用導數(shù)來解