學科教育論文-關于三角教材與教法的新思考1998年4月21日，國家教育部專門調整了高中數(shù)學的部分教學內容，其中的調整意見第(7)條為：“對三角函數(shù)中的和差化積、積化和差的8個公式，不要求記憶?！痹俾?lián)想到1998年全國高考數(shù)學卷中，已盡可能減少了這8個公式的出現(xiàn)次數(shù)，在僅有的一次應用中，還將公式印在試卷上，以供查閱，而當時調整意見尚未生效（應在1999年生效）。這不能不說對和積互化的8個公式（以下簡稱“8公式”）的要求是大大降低了。但是，這次調整的，難道僅僅是8個公式嗎？如果認為僅僅是降低了對8公式的要求，那就太表面、太膚淺了。我們知道，和積互化歷來是三角部分的重點內容之一。相當部分的三角題都是圍繞它們而設計的，它們也確實在很大程度上體現(xiàn)了公式變形的技巧和魅力?，F(xiàn)在，要求降低了，有關的題目已不再適合作為例（習）題選用了。這樣一來，三角部分還要我們教些什么？又該怎樣教？立刻成了部分教師心頭的一大困惑。有鑒于此，我認為很有必要重新審視這部分的知識體系，理清新的教學思路，以便真正落實這次調整的意見，實現(xiàn)“三個有利于”（有利于減輕學生過重的課業(yè)負擔，有利于深化普通高中的課程改革，有利于穩(wěn)定普通高中的教育教學秩序）的既定目標。一、是“三角”還是“函數(shù)”應當說，三角函數(shù)是由“三角”和“函數(shù)”兩部分知識構成的。三角本是幾何學的衍生物，肇始于古希臘的希帕克，經(jīng)由托勒玫、利提克思等。至歐拉而終于成為一門形態(tài)完備、枝繁葉茂的古典數(shù)學學科。歷史上的很長一段時期，只有三角學盛行于世，卻無“三角函數(shù)”之名?！叭呛瘮?shù)”概念的出現(xiàn)，自然是在有了函數(shù)概念之后，從時間上看距今不過300余年。但是，此概念一經(jīng)引入，立刻極大地改變了三角學的面貌。特別是經(jīng)過羅巴切夫斯基的開拓性工作。致使三角函數(shù)可以完全獨立于三角形之外，而成為分析學的一個分支，其中的角也不限于正角，而是任意實數(shù)了。有的學者甚至認為可將它更名為角函數(shù)，這是有見地的。所以，作為一門學科的三角學已經(jīng)不再獨立存在?，F(xiàn)行中學教材也取消了原來的代數(shù)、三角、幾何的格局，將三角并入了代數(shù)內容。這本身即足以說明“函數(shù)”在“三角”中應占有的比重。再從代數(shù)學的歷史演變來看，在相當長的歷史時期內，“式與方程”一直是它的核心內容，那時的教材都是圍繞著它們展開的。所以，書中的分式變形、根式變形、指數(shù)式變形和對數(shù)式變形可謂連篇累牘、所在皆是。這是由當時的數(shù)學認知水平?jīng)Q定的。而現(xiàn)在，函數(shù)已取代了式與方程成為代數(shù)的核心內容，比起運算技巧和變形套路來，人們更關注函數(shù)思想的認識價值和應用價值。1963年頒布的數(shù)學教學大綱提出數(shù)學三大能力時，首要強調的是“形式演算能力”，1990年的大綱突出強調的則是“邏輯思維能力”?，F(xiàn)行高中代數(shù)課本中，充分闡發(fā)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質及應用，對這三種代數(shù)式的變形卻輕描淡寫。所以，三角函數(shù)部分應重在“函數(shù)的圖象和性質”是無疑的，這也是國際上普遍認可的觀點（下文還將述及）?，F(xiàn)行高中代數(shù)的三角函數(shù)部分，也單列了一章專講“三角函數(shù)的圖象和性質”，這是與數(shù)學發(fā)展的潮流相一致的。但若提起三角函數(shù)，大多數(shù)師生頭腦中反映出來的，還是“眾多的公式，紛繁的變換”，而三角函數(shù)的“圖象和性質”倒是在其次的。這一點，與前面所述的“冪、指、對”函數(shù)有著極大的反差，恐怕也與編者的意圖大相徑庭。個中緣由固然與三角本身多公式有關，其中和積互化8公式的干擾作用尤其明顯。8公式形式類似，記憶也屬不易，變形尤難把握，是師生教與學的共同難點。為此反復記憶、題海操練實所難免。調整以后，降低這部分的要求，大面積地減少了題量，目標中“第一和第三”兩個有利于是可以實現(xiàn)的。但另一個（有利于深化課程改革）該如何理解呢？把“函數(shù)”作為關鍵詞，將目光放在“圖象和性質”上，應當是正確的選擇，負擔輕了，障礙小了，這更方便于我們將注意力轉移到對函數(shù)圖象和性質的關注上，這才是“三個有利于”得以貫徹的根本。二、國外的觀點及啟示下面來看一下美國和德國的觀點：美國沒有全國統(tǒng)一的教材和考試說明，只有一個課程標準，在課程標準中，他們對三角函數(shù)提出了下面的要求：會用三角學的知識解三角形；會用正弦、余弦函數(shù)研究客觀實際中的周期現(xiàn)象；掌握三角函數(shù)圖象；會解三角函數(shù)方程；會證基本的和簡單的三角恒等式；懂得三角函數(shù)同極坐標、復數(shù)等之間的聯(lián)系。他們還特別指出：不要在推導三角恒等式上花費過多的時間。只要掌握一些簡單的恒等式推導，如：之類就可以了。比較復雜的恒等式如之類，就應該完全避免了。德國在10到12年級（相當于中國的高一到高三）每年都有三角內容。10年級要求如下：(1)一個角的弧度。(2)三角函數(shù)sinxcosxtgx和它們的圖象周期性。(3)三角形中角和邊的計算。(4)重要關系（特指同角三角函數(shù)的平分關系、商數(shù)關系和倒數(shù)關系筆者注）。另外，在11年級和12年級的“無窮小分析”中，繼續(xù)研究三角函數(shù)的圖象變換、求導、求積分、求極限。從以上羅列，我們可以看出下面的共同點：第一，突出強調三角函數(shù)的圖象和性質。第二，淡化三角式的變形，僅涉及同角變換。而且要求較低；8公式根本不予介紹。第三，明確變換的目的是為了三角形中的實際計算。第四，注意三角函數(shù)和其它知識（復數(shù)、極坐標）的聯(lián)系。這帶給我們的啟示還是很強烈的。美國和德國的中學教育以實用為主，并不太在乎教材體系是否嚴謹，知識系統(tǒng)是否完整。我國的教材雖作調整，對8公式不要求記憶。同期頒布的考試說明仍要求“能推導并掌握（8公式）”。不要求記憶卻要求推導并掌握，怎樣實施且不去細說，有一個意圖是可猜到的，那就是要讓學生知道教材是嚴謹與完整的。我認為這大可不必。嚴謹與完整是相對的?，F(xiàn)在看來嚴謹?shù)臇|西，在更高的觀點下是否還嚴謹？在圈內看是完整的，跳出圈子看，是否還完整？在一個小地方鉆得太深，在另外更大的地方就可能無暇顧及。人家能在中