學(xué)科教育論文-楊輝三角在日常生活中的有趣應(yīng)用摘要中國(guó)古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有代寫論文自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁。楊輝三角是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家賈憲在公元11世紀(jì)發(fā)現(xiàn)，并被南宋數(shù)學(xué)家楊輝在他的書中所引述，才使我們今天得以了解賈憲在數(shù)學(xué)上的重大貢獻(xiàn)。關(guān)鍵詞楊輝三角趣味性日常生活楊輝三角最本質(zhì)的特征是，它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和。楊輝三角形所蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律，讓我們?cè)诟惺軘?shù)學(xué)美的同時(shí)，也體會(huì)到它的趣味性和實(shí)用性。下面就通過三個(gè)實(shí)例與讀者共享。1.隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，越來越多的人加入炒股大軍。股票的漲停問題也成為人們的重要談資。有一天，同事談到股票漲停時(shí)，提出一個(gè)問題：要經(jīng)過幾次漲停，股資才能翻一倍？大家知道，股票漲停一次，股資增加了原來的百分之十。構(gòu)建一個(gè)模型：設(shè)原來股資為a元，一次漲停后，股資變成a+10%a=(1+0.1)a=1.1a；二次漲停后，股資變成1.1a+10%1.1a=1.12a；如此遞推，當(dāng)n(nz+)次漲停后，股資變成1.1na元。要經(jīng)過幾次漲停，股資才能翻一倍呢？可以建立以下不等式：1.1na2a，即1.1n2。那么，最小正整數(shù)n是多少？簡(jiǎn)單推算：1.11=1.1，1.12=1.21，1.13=1.331，手邊沒有計(jì)算器，再算下去就有一點(diǎn)復(fù)雜了。但觀察結(jié)果的數(shù)字，驚奇的發(fā)現(xiàn)前三個(gè)的結(jié)果與楊輝三角相對(duì)應(yīng)。如圖1是否1.14=1.4641呢？結(jié)果與計(jì)算相同。但當(dāng)n=5時(shí)，出現(xiàn)了兩位數(shù)的情形，怎么解決？能不能像加法運(yùn)算一樣進(jìn)位加一變成1.61051呢？經(jīng)過驗(yàn)算猜想與答案完全一致。這樣求最小正整數(shù)n的運(yùn)算就可以通過觀察得到。當(dāng)n=8時(shí)，1.182。也就是經(jīng)過8次漲停后，股資翻倍。例2.在游戲場(chǎng)所經(jīng)?？梢钥吹竭@樣的彈球游戲：一個(gè)小球向下跌落，碰到第一層阻擋物后等可能的向兩側(cè)跌落。碰到第二層阻擋物再等可能的向兩側(cè)的第三層跌落。如此下去，小球一直跌到容器底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得相應(yīng)獎(jiǎng)品?？梢园l(fā)現(xiàn)，在兩端區(qū)域的獎(jiǎng)品價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于中間區(qū)域，怎樣解釋這一現(xiàn)象呢？下圖是一個(gè)豎直平面內(nèi)的彈球游戲，圖中的豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點(diǎn)處相通，若豎直線段有一條的為第一層，有兩層的為第二層以此類推，現(xiàn)求有一顆小球從第一層的通道向下運(yùn)動(dòng)跌落到第n+1層第m個(gè)通道里的概率。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，小球落入第1層第1個(gè)通道有1種可能，落入第2個(gè)通道也有1種可能。小球落入第2層第1個(gè)通道有1種可能，落入第2個(gè)通道有2種可能，落入第3個(gè)通道有1種可能。落入第3層第1個(gè)通道有1種可能，落入第2個(gè)通道有3種可能，落入第3個(gè)通道有3種可能，落入第4個(gè)通道有1種可能各個(gè)通道上的數(shù)字如圖2所示：通過觀察，各個(gè)通道上的數(shù)字與楊輝三角形完全一致，由此可以得出第n+1層所有可能有C0n+C1n+Cn-1n+Cnn=2n種。因此小球從第一層的通道向下運(yùn)動(dòng)跌落到第n+1層第m個(gè)通道里的概率為Cm-1n2n。這樣就很清楚的觀察到越靠近中間區(qū)域小球落入的可能性越大，而兩端落入小球的可能性最小。例3.2008年北京奧運(yùn)會(huì)日益臨近，各個(gè)場(chǎng)館的門票預(yù)售也已經(jīng)開始。為了節(jié)省時(shí)間，觀眾總想找到從一個(gè)場(chǎng)館到達(dá)另一個(gè)場(chǎng)館的最短路徑。假設(shè)兩個(gè)奧運(yùn)場(chǎng)館的分布如圖3所示：Q代表場(chǎng)館1，P代表場(chǎng)館2。網(wǎng)線表示北京比賽區(qū)域的交通道路，每個(gè)方格內(nèi)均表示建筑物。則由Q到P的最短路徑有多少條？由右圖可以觀察到：由Q到A或由Q到B只有一條最短路徑，即QA或QB，由Q到C有2條最短路徑，即QAC或QBC。綜合上述分析，問題已經(jīng)形成楊輝三角的初形。如此遞推，可以寫出右圖所示的“數(shù)塔”。這樣根據(jù)數(shù)字排列規(guī)律很容易的得到由Q到P的最短路徑有35條。假如虛線框內(nèi)的一段街道水管突然斷裂，導(dǎo)致此路段不能通行，則由Q到P的最短路徑有多少條？根據(jù)楊輝三角數(shù)字排列規(guī)律，如圖4所示，最短路徑有13條。隨著北京城市建設(shè)的快速發(fā)展，各種生活配套設(shè)施日益完備，行人出行的方式已經(jīng)不僅僅是簡(jiǎn)單的平面路徑了，而是發(fā)展成由立交橋，地鐵等構(gòu)建而成的立體交通網(wǎng)絡(luò)。假設(shè)一名觀眾正處于圖5所示的立體交通網(wǎng)絡(luò)中，他由P到Q有多少種不同走法？首先，構(gòu)建一個(gè)由m3(mZ+)個(gè)大小相同的小正方體拼成一個(gè)大正方體表示一個(gè)超級(jí)立體交通網(wǎng)絡(luò)（如圖6）。在圖6中分別過點(diǎn)A11A12A13、A21A22A23、作與QO垂直的截面，在這些截面上，網(wǎng)絡(luò)交叉點(diǎn)的個(gè)數(shù)恰好為1+2，1+2+3，1+2+3+4，這也恰恰分別是（a+b+c1，(a+b+c)2，(a+b+c)3，的展開式的項(xiàng)數(shù)。在每個(gè)交叉點(diǎn)上標(biāo)上該點(diǎn)到Q點(diǎn)的不同走法的種數(shù)。這樣，在大正方體的上邊的面，右邊的面，后邊的面中交叉點(diǎn)上數(shù)字恰好構(gòu)成楊輝三角，在正方體內(nèi)部的每個(gè)交叉點(diǎn)上的數(shù)字都是它的上方，右方和后方與之相鄰的三個(gè)交叉點(diǎn)上數(shù)字之和。由以上結(jié)論可以在圖5的每個(gè)交叉點(diǎn)上標(biāo)出該交叉路口到Q點(diǎn)的走法種數(shù)，可以非常容易的得出該觀眾由P到Q有60種不同走法。通過楊輝三角的幾個(gè)有趣應(yīng)用，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的思維時(shí)刻影響著我們的生活。正如浙江師范大學(xué)教授張維忠在文化視野中的數(shù)學(xué)與