2 復(fù)合函數(shù)微分法,凡是學(xué)過一些微積分的人, 沒有一個會對復(fù)合函數(shù)微分法的重要性產(chǎn)生懷疑.可以毫不夸張地說, 誰不懂得復(fù)合微分法, 誰就會在計算導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)時寸步難行.,二、復(fù)合函數(shù)的全微分,返回,一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,設(shè)函數(shù),(1),(2),則可構(gòu)成復(fù)合函數(shù):,(3),其中 (1) 為內(nèi)函數(shù), (2) 為外函數(shù), ( x, y ) 為中間變量,( s, t ) 為自變量.,下面將討論復(fù)合函數(shù) F 的可微性, 并導(dǎo)出 F 的偏導(dǎo),數(shù)與全微分的復(fù)合運(yùn)算法則.,關(guān)于 s 與 t 的偏導(dǎo)數(shù)分別為,(4),是,(6),(5),(7),現(xiàn)把 (5), (6) 兩式代入 (7) 式，得到,整理后又得,其中,(8),并求得 z 關(guān)于 s 和 t 的偏導(dǎo)數(shù)公式 (4),公式 (4) 也稱為鏈?zhǔn)椒▌t,能輕易省略的, 否則上述復(fù)合求導(dǎo)公式就不一定成,立例如,為內(nèi)函數(shù)，則得到以 t 為自變量的復(fù)合函數(shù),這說明：在使用鏈?zhǔn)椒▌t時，必須注意外函數(shù)可微,這個條件.,解 所討論的復(fù)合函數(shù)以 (u, v) 為中間變量, (x, y) 為,自變量, 并滿足定理 17.5 的條件. 故由,根據(jù)公式 (4) 得到,例2,因此有,于是,解 復(fù)合后僅是自變量 t 的一元函數(shù)于是,例3,的復(fù)合函數(shù)對 t 求導(dǎo)數(shù) (這種導(dǎo)數(shù)又稱為“全導(dǎo)數(shù)”);,求偏導(dǎo)數(shù)二者所用的符號必須有所區(qū)別,例4 用多元復(fù)合微分法計算下列一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,則有,由此可見，以前用 “對數(shù)求導(dǎo)法” 求一元函數(shù)導(dǎo)數(shù),的問題, 如今可用多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t來計算.,解 令,由于,而實(shí)用的寫法 (省去了引入中間變量):,助鏈?zhǔn)椒▌t而求得的; 上述過程還有一種比較簡潔,為此設(shè),二、復(fù)合函數(shù)的全微分,分為,(11),可微的, 其全微分為,將 (13) 式代入 (12) 式, 得到與 (11) 式完全相同的結(jié),果, 這就是多元函數(shù)的一階 (全) 微分形式不變性.,利用微分形式不變性, 能更有條理地計算復(fù)合函數(shù),的全微分,因此,并由此得到,復(fù)習(xí)思考題,1. 在一元函數(shù)章節(jié)里，利用對數(shù)求導(dǎo)法曾得到過一,個結(jié)果:,數(shù)與指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)而得到的. 有人認(rèn)為這是偶然,的巧合，也有人認(rèn)為這是必然的結(jié)果試問哪一,種看法是正確的？請說