第 1 頁 博弈與社會博弈與社會第第 1 1 次作業(yè)次作業(yè) (北京航空航天大學校級通識課程 2018 年春季學期) (參考答案) 1. 1. 考慮以下游戲： (a) 有兩個參與人，分別記為“參與人 1”和“參與人 2” ； (b) 參與人 1 首先行動，他選擇“正面 (H)” 、 “背面 (T)”或者“中間 (M)”三者之 一； (c) 如果參與人 1 選擇“正面” ，其選擇將被參與人 2 直接觀察到；但是，參與人 2 不能分辨參與人 1 選擇“背面”或者“中間” ； (d) 如果參與人 1 選擇“正面”或者“背面” ，那么游戲?qū)⒁?50%的概率立即結(jié)束， 如果參與人 1 選擇“中間” ，則游戲繼續(xù)； (e) 如果參與人 1 選擇“正面”并且接下來游戲立即結(jié)束，參與人 1 和參與人 2 分 別獲得 3 單位和 2 單位支付；如果參與人 1 選擇“背面”并且接下來游戲立即結(jié)束，參 與人 1 和參與人 2 分別獲得 4 單位和 3 單位支付； (f) 如果在參與人 1 做出選擇之后游戲未立即結(jié)束，接下來輪到參與人 2 行動，隨 后游戲結(jié)束； (g) 如果參與人 1 選擇“正面”并且游戲未立即結(jié)束，參與人 2 在這時可以選擇“向 上 (U)” 、 “向下 (D)”或者“向一旁 (S)”三者之一：如果他選擇“向上” ，參與人 1 和 參與人 2 分別獲得 9 單位和 6 單位支付；如果他選擇“向下” ，參與人 1 和參與人 2 分 別獲得 3 單位和 1 單位支付；如果他選擇“向一旁” ，參與人 1 和參與人 2 分別獲得 1 單位和 5 單位支付； (h) 無論參與人 1 選擇“背面”還是“中間”并且游戲在參與人 1 做出選擇之后未 立即結(jié)束(注意這時參與人 2 不能區(qū)分參與人在二者之間做出了怎樣的選擇)，參與人 2 在這時可以選擇“向前 (F)”和“向后 (B)”兩者之一：如果參與人 1 選擇“背面” ，參 與人 2 選擇“向前” ，參與人 1 和參與人 2 將分別獲得 1 單位和 1 單位支付；如果參與 第 2 頁 人 1 選擇“背面” ，參與人 2 選擇“向后” ，參與人 1 和參與人 2 將分別獲得 2 單位和 6 單位支付；如果參與人 1 選擇“中間” ，參與人 2 選擇“向前” ，參與人 1 和參與人 2 將 分別獲得 1 單位和 1 單位支付；如果參與人 1 選擇“中間” ，參與人 2 選擇“向后” ，參 與人 1 和參與人 2 將分別獲得 6 單位和 2 單位支付。 (1)(1) 將這一情境視為一個博弈，寫出參與人 1 和參與人 2 的全部策略 (2 分)。 解：解： 參與人 1 只有 1 個信息集，即在游戲一開始時。在參與人 1 的該信息集上，參與人 1 有 3 個可選行動 “正面 (H)” 、 “背面 (T)”或者“中間 (M)” ，因此參與人 1 有 3 個策略，分 別記為： 1 1 s：H； 2 1 s：T； 3 1 s：M 參與人 2 有 2 個信息集：當參與人 1 選擇“正面”并且游戲未立即結(jié)束時，以及當參與人 1 選擇“背面”或者“中間”并且游戲在參與人 1 做出選擇之后未立即結(jié)束時。參與人 2 在他的兩 個信息機上分別擁有 3 個可選行動 (U、 D 和 S) 和 2 個可選行動 (F 和 B)，因此參與人 2 有 6 個 策略，分別記為： 1 2 s：(U, F)； 2 2 s：(D, F)； 3 2 s：(S, F)； 4 2 s：(U, B)； 5 2 s：(D, B)； 6 2 s：(S, B) (2)(2) 用標準式表示這一博弈。(2 分) 解：解： 基于上問得到的參與人全部策略組合，以及各種策略組合下參與人得到的 (期望) 支付，可 以直接寫出這一博弈的標準式表達： Player 2 (U, F) (D, F) (S, F) (U, B) (D, B) (S, B) Player 1 H 6, 4 3, 1.5 2, 3.5 6, 4 3, 1.5 2, 3.5 T 2.5, 2 2.5, 2 2.5, 2 3, 4.5 3, 4.5 3, 4.5 M 1, 1 1, 1 1, 1 6, 2 6, 2 6, 2 第 3 頁 (3)(3) 用延展式表示這一博弈。(2 分) 解：解： 2. 2. 媽媽有 3 個孩子，A、B 和 C。一天媽媽發(fā)現(xiàn)客廳的臺燈被打壞了，她知道只可能 是 3 個孩子在玩耍時，其中之一打壞的 實際上的“罪魁禍首”是 A，但是媽媽不 知道這一點。 不過，比起懲罰打壞臺燈的孩子，媽媽更關(guān)心事情的真相，她宣布所有 3 個孩子將 進行下面的博弈： (a) 每個孩子在一張寫有自己名字的紙上，寫上“是我打壞了臺燈”或者“不是我 打壞了臺燈” ； (b) 如果至少有一個孩子承認“是我打壞了臺燈” ，那么每個承認自己打壞了臺燈的 孩子將得到 2 美元，聲稱“不是我打壞了臺燈”的孩子將得到 5 美元； (c) 如果沒有一個孩子承認“是我打壞了臺燈” ，則每個孩子都得不到任何零花錢。 (1)(1) 將這一 3 個孩子之間的博弈用標準式表示。(2 分) 解：解： C chooses “y”: C chooses “n”: B B y n y n A y 2, 2, 2 2, 5, 2 A y 2, 2, 5 2, 5, 5 n 5, 2, 2 5, 5, 2 n 5, 2, 5 0, 0, 0 第 4 頁 (2)(2) 求出該博弈的全部 Nash 均衡。(2 分) 解：解： 設 A 的策略是“以概率a選擇y ，以概率 1-a選擇n ” ，B 的策略是“以概率b選擇y ， 以概率 1-b選擇n ” ，C 的策略是“以概率c選擇y ，以概率 1-c 選擇n ” 。其中： , ,0,1a b c A、B、C 的期望支付均可表示為所有參與人策略的函數(shù)： 2215 15 11 A Eababa babc 2215 10 111ababa babc 25 11aacbc 類似地，可以得到： 25 11 B Ebbcac 25 11 C Eccaba 如果這一博弈存在“嚴格混合策略 Nash 均衡” ，即一個策略組合 3 ,0,1a b c 是這一博弈 的一個 Nash 均衡，a、b和c必須分別是 A、B 和 C 的最優(yōu)策略，滿足： , 2510 A a a b b c c E cbc a , 2510 B a a b b c c E cac b , 2510 C a a b b c c E aba c 15 1