課時(shí)規(guī)范練46拋物線基礎(chǔ)鞏固組1.(2018山東春季聯(lián)考)已知拋物線x2=ay(a0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,該拋物線上的點(diǎn)M到x軸的距離為5,且|MF|=7,則焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離是()A.2B.3C.4D.52.O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線C:y2=42x的焦點(diǎn),P為拋物線C上一點(diǎn),若|PF|=42,則POF的面積為()A.2B.22C.23D.43.(2018云南昆明一中模擬,5)已知點(diǎn)F是拋物線C:x2=2py(p0)的焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若以F為圓心,|FO|為半徑的圓與直線3x-y+3=0相切,則拋物線C的方程為()A.x2=2yB.x2=4yC.x2=6yD.x2=8y4.(2018廣東江門一模,10)F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上,若PF=2FQ,則|PQ|=()A.B.4C.D.35.(2018湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)三模,11)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F的直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M,垂足為E,若|AB|=6,則|EM|的長為()A.22B.6C.2D.36.(2018齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)沖刺,11)已知拋物線C:y2=2px(p0),焦點(diǎn)為F,直線y=x與拋物線C交于O,A兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),過F作直線OA的平行線交拋物線C于B,D兩點(diǎn)(其中B在第一象限),直線AB與直線OD交于點(diǎn)E,若OEF的面積等于1,則拋物線C的準(zhǔn)線方程為()A.x=-1B.x=-C.y=-1D.y=-7.過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=3x8.已知拋物線y2=4x,過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為.9.(2018安徽巢湖一模,15)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)是F,直線l1:y=x-1交拋物線于A,B兩點(diǎn),分別從A,B兩點(diǎn)向直線l2:x=-2作垂線,垂足是D,C,則四邊形ABCD的周長為.10.(2017廣東江門一模,10改編)F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn),以F為端點(diǎn)的射線與拋物線相交于點(diǎn)A,與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)B,若FB=4FA,則FAFB=.綜合提升組11.(2018山東煙臺(tái)模擬,6)已知直線l1:x=2,l2:3x+5y-30=0,點(diǎn)P為拋物線y2=-8x上的任一點(diǎn),則P到直線l1,l2的距離之和的最小值為()A.2B.234C.181734D.16153412.(2017全國,文12)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為3的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MNl,則M到直線NF的距離為()A.5B.22C.23D.3313.已知拋物線的方程為y2=2px(p0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B為拋物線上的點(diǎn),若OAB為等邊三角形,且面積為483,則p的值為.14.(2017安徽馬鞍山一模,20)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)(x0)到定點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1,記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)D(x0,2)是曲線C上一點(diǎn),與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線l1,l2過點(diǎn)D,且它們的傾斜角互補(bǔ).若直線l1,l2與曲線C的另一交點(diǎn)分別是M,N,證明直線MN的斜率為定值.創(chuàng)新應(yīng)用組15.(2018北京城六區(qū)一模,2)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,點(diǎn)P在側(cè)面A1ABB1上,滿足到直線AA1和CD的距離相等的點(diǎn)P()A.不存在B.恰有1個(gè)C.恰有2個(gè)D.有無數(shù)個(gè)16.(2018河北衡水模擬,20)已知拋物線C:y2=2px(p0),斜率為1的直線l1交拋物線C于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線l1過點(diǎn)(1,0)時(shí),以AB為直徑的圓與直線x=-1相切.(1)求拋物線C的方程;(2)與l1平行的直線l2交拋物線于C,D兩點(diǎn),若平行線l1,l2之間的距離為22,且OCD的面積是OAB面積的3倍,求l1和l2的方程.課時(shí)規(guī)范練46拋物線1.C因?yàn)閨MF|=7,點(diǎn)M到x軸的距離為5,所以|a|4=7-5,所以|a|=8,因此焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離是|a|2=4,故選C.2.C利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32.yP=26.SPOF=12|OF|yP|=23.故選C.3.B由拋物線C的方程為x2=2py(p0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)F0, ,所以焦點(diǎn)F0, 到直線3x-y+3=0的距離為d=|-p2+3|2=p2,解得p=2,所以拋物線的方程為x2=4y,故選B.4.A設(shè)拋物線的準(zhǔn)線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)為K.過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,則|PF|=|PM|.由QFKQMP,得|FK|MP|=|QF|QP|,即1|MP|=13,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QP|=,所以|PQ|=|PF|+|QP|=.故選A.5.B由已知得F(1,0),設(shè)直線l的方程為x=my+1,與y2=4x聯(lián)立得y2-4my-4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),則y1+y2=4m,則y0=y1+y22=2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=,線段AB的垂直平分線為y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),從而|ME|=4+4m2=6,故選B.6.A7.C如圖,分別過點(diǎn)A,B作AA1l于點(diǎn)A1,BB1l于點(diǎn)B1,由拋物線的定義知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.|BC|=2|BF|,|BC|=2|BB1|.BCB1=30,AFx=60.連接A1F,則AA1F為等邊三角形,過點(diǎn)F作FF1AA1于點(diǎn)F1,則F1為AA1的中點(diǎn),設(shè)l交x軸于點(diǎn)K,則|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32,故拋物線方程為y2=3x.8.2由題意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值.依拋物線定義知當(dāng)|AB|為通徑,即|AB|=2p=4時(shí),為最小值,所以|AC|+|BD|的最小值為2.9.18+42由題知,F(1,0),準(zhǔn)線l的方程是x=-1,p=2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x,消去y,得x2=-6x+1=0.因?yàn)橹本€l1經(jīng)過焦點(diǎn)F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由拋物線上的點(diǎn)的幾何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因?yàn)橹本€l1的傾斜角是,所以|CD|=|AB|sin =822=42,所以四邊形ABCD的周長是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+42=18+42.10.由題意,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線交垂線于點(diǎn)C,設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D,則由拋物線的定義,|FA|=m+12,由BACBFD,得m+121=34,m=14.|FA|=34,|FB|=3,FAFB=|FA|FB|=94.11.C拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)為F(-2,0),準(zhǔn)線為l1:x=2,P到l1的距離等于|PF|,P到直線l1,l2的距離之和的最小值為F(-2,0)到直線l2的距離d=|-6+0-30|9+25=181734.故選C.12.C由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.因?yàn)镸在x軸的上方,所以M(3,23).因?yàn)镸Nl,且N在l上,所以N(-1,23).因?yàn)镕(1,0),所以直線NF:y=-3(x-1).所以M到直線NF的距離為|3(3-1)+23|(-3)2+12=23.13.2設(shè)B(x1,y1),A(x2,y2).|OA|=|OB|,x12+y12=x22+y22.又y12=2px1,y22=2px2,x22-x12+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2與p同號(hào),x1+x2=2p0.x2-x1=0,即x1=x2.根據(jù)拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)B,A關(guān)于x軸對(duì)稱,由OAB為等邊三角形,不妨設(shè)直線OB的方程為y=33x,由y=33x,y2=2px,解得B(6p,23p),|OB|=(6p)2+(23p)2=43p.OAB的面積為483,34(43p)2=483,p=2.14.(1)解 由題意知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以F(1,0)為焦點(diǎn),以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,故曲線C的方程為y2=4x.(2)證明 由D(x0,2)在曲線C上,得4=4x0,則x0=1,從而D(1,2).設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線l1:y=k(x-1)+2,則l2:y=-k(x-1)+2,由y=k(x-1)+2,y2=4x得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,x1=(k-2)2k2=k2-4k+4k2,同理x2=k2+4k+4k2.x1+x2=2k2+8k2,x1-x2=-8k.y1-y2=k(x1+x2)-2k=8k.kMN=y1-y2x1-x2=8k-8k=-1,即直線MN的斜率為定值-1.15.D由于點(diǎn)P在側(cè)面A1ABB1上,所以點(diǎn)P到直線AA1的距離為PA,所以點(diǎn)P為到定點(diǎn)A與到定直線CD距離相等的點(diǎn)集合,滿足拋物線的定義,有無數(shù)個(gè).故選D.16.解 (1)設(shè)直線AB方程為y=x-b,代入y2=2px,得x2-(2b+2p)x+b2=0,=(2b+2p)2-4b2=8bp+4p20.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2b+2p,x1x2=b2,|AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=222bp+p2,當(dāng)b=1時(shí),|AB|=222p+p2,AB的中點(diǎn)為(1+p,p),依題意可知2(1+p+1)=222p+p2,解得p=2.所以拋物線方程為y2=4x.(2)點(diǎn)