例,定義：,一、原函數(shù)與不定積分,原函數(shù)存在定理：,簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).,問(wèn)題：,(1)原函數(shù)是否唯一？,例,（為任意常數(shù)）,(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？,關(guān)于原函數(shù)之間的關(guān)系，我們有如下定理,證設(shè)G(x)是f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)，即對(duì)任一xI，有,（為任意常數(shù)）,定理5.1.2若F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則在區(qū)間I上f(x)的所有原函數(shù)都可以表示成形如F(x)+C的函數(shù)，其中C為任意常數(shù).,即,這個(gè)定理告訴我們：,1若f(x)在I上有原函數(shù)F(x)，則f(x)有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)F(x)+C,且f(x)的所有原函數(shù)都在F(x)+C之中，也就是說(shuō)，f(x)的全體原函數(shù)所組成的集合就是函數(shù)族,2要求f(x)的所有原函數(shù)，只要求出它的一個(gè)原函數(shù)F(x)就行了，因?yàn)槠渌瘮?shù)與F(x)只相差一個(gè)常數(shù)。,因此，若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)+C就是所有原函數(shù)的一般表達(dá)式，我們把叫做f(x)的不定積分,即以下定義,定義5.1.2：函數(shù)f(x)在區(qū)間I上所有原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為f(x)在I上的不定積分，記做,即,注意:求導(dǎo)或微分運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)函數(shù),不定積分的運(yùn)算的結(jié)果是一族函數(shù)而不是一個(gè)函數(shù)，更不是一個(gè)數(shù)值.,例1求,解,解,例2求,因此，不定積分在幾何上表示f(x)的積分曲線族.在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處所有曲線的切線彼此平行.,不定積分的幾何意義,例3設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.,解,設(shè)曲線方程為,根據(jù)題意知,由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）,所求曲線方程為,實(shí)例,啟示,能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？,結(jié)論,既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.,二、基本積分表,基本積分表,是常數(shù));,結(jié)論：,微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.,三、不定積分的性質(zhì),根據(jù)不定積分的定義，得下面有關(guān)性質(zhì),證,等式成立.,（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）,例1求積分,解,根據(jù)積分公式（2）,求不定積分的方法1：直接法積分法,應(yīng)用直接積分法,有時(shí)對(duì)被積函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?例4求積分,解,例5求積分,解,例6求積分,解,例8求積分,解,說(shuō)明：,以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，代數(shù)運(yùn)算（將假分式化為多項(xiàng)式與真分式之和，將真分式拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單真分式之和）或三角恒等變換，才能使用基本積分表.,解,所求曲線方程為,基本積分表(1),不定積分的性質(zhì),原函數(shù)的概念：,不定積分的概念：,求微分與求積分的互逆關(guān)系,四、小結(jié),思考題,符號(hào)函數(shù),在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？,思考題解答,不存在.,假設(shè)