變式在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用【摘要】 本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)老師教師在教學(xué)中重解題、輕概念的現(xiàn)象，提出了要重視概念教學(xué)的觀點(diǎn)，并結(jié)合變式教學(xué)的方法（即：引入變式、辨析變式、深化變式和鞏固變式等方法）和作者自己的教學(xué)實(shí)踐，闡述了變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】 概念教學(xué) 引入變式 辨析變式 深化變式 鞏固變式 數(shù)學(xué)概念是反映一類數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式【1】。正確理解概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好概念對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。所以數(shù)學(xué)概念的教學(xué)也是中學(xué)數(shù)學(xué)老師在實(shí)際教學(xué)工作中的至關(guān)重要一個(gè)環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)的主要目標(biāo)之一是通過概念的掌握與應(yīng)用，使學(xué)生最終理解和掌握概念。但是由于受應(yīng)試教育的影響，小少教師在教學(xué)中重解題、輕概念，造成數(shù)學(xué)概念與解題脫節(jié)的現(xiàn)象。當(dāng)一節(jié)概念課教完了，也就完成了它的歷史使命，剩下的就是趕緊解題，造成學(xué)生對(duì)概念含糊不清，一知半解，不能很好地理解和運(yùn)用概念。隨著數(shù)學(xué)教育改革的不斷深入，對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)也提出了更高的要求。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，明確提出：要求學(xué)生能夠理解基本的數(shù)學(xué)概念，了解它們產(chǎn)生的背景、應(yīng)用和在后繼學(xué)習(xí)中的作用，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想和方法【2】。對(duì)應(yīng)于新課標(biāo)的要求，數(shù)學(xué)概念教學(xué)如果再停留在那種“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”式的教學(xué)力式上，顯然是不行的，那么如何搞好新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)呢？變式教學(xué)是高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一種有效方法。對(duì)于什么叫變式，有很多學(xué)者都提出了不同的看法，但是都一致認(rèn)為變式就是變換事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征?！?】通過變式方式進(jìn)行技能和思維的訓(xùn)練叫做變式訓(xùn)練；采用變式方式進(jìn)行教學(xué)叫做變式教學(xué)。顧泠沅教授等人在80年代初，在上海市青浦區(qū)搞了大面積的變式教學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)變式教學(xué)做了系統(tǒng)而深入的實(shí)驗(yàn)研究與理論分析。顧教授的研究證明了變式教學(xué)有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握。劉長(zhǎng)春教授等人更是研究的基礎(chǔ)上得出結(jié)論，認(rèn)為數(shù)學(xué)概念變式主要包括：引入變式、辨析變式、深化變式和鞏固變式。本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際和變式理論，闡述如何采用變式教學(xué)的方法進(jìn)行概念教學(xué)。1引入變式在概念教學(xué)中的應(yīng)用所謂引入變式，就是在教授一個(gè)新的概念時(shí)，將概念還原到客觀實(shí)際(包括變式題組)之中，擷取部分含有此新概念的萌芽或雛形的實(shí)際現(xiàn)象(如實(shí)例、模型或已有經(jīng)驗(yàn)、題組等)進(jìn)行引入，通過變式移植概念的本質(zhì)屬性，使實(shí)際現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，達(dá)到展示知識(shí)形成過程，促進(jìn)學(xué)生概念形成的目的的一種教學(xué)方式【4】。 我們知道概念反映的是一類對(duì)象的本質(zhì)屬性，即這類對(duì)象的內(nèi)在的、固有的屬性，而不是表面的屬性。所以，學(xué)生學(xué)習(xí)概念就意味著學(xué)習(xí)、掌握一類數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，而這類對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它們已被舍去了具體的物質(zhì)性質(zhì)，也被舍去了具體的關(guān)系，僅被重視研究量的關(guān)系和形式構(gòu)造。所以我們?cè)谶M(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)盡量將概念還原到客觀實(shí)際(如實(shí)例、模型或已有經(jīng)驗(yàn)、題組等)中去，讓學(xué)生對(duì)概念的實(shí)際背景有一定的了解。所以在教學(xué)中要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生動(dòng)形象的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的特定情境中，從實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取與新知相關(guān)的舊知，發(fā)現(xiàn)新知、舊知間的聯(lián)系。 例如在進(jìn)行指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)時(shí)，可以通過概念的引入變式進(jìn)行教授。（1）提出問題：我有一張白紙，把它撕成兩半，將它們重疊后再撕一次，再重疊后再撕一次那么撕3次后把所有的紙重疊放置有多少層?5次呢?15次呢?(創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的探究興趣)(2)若一張紙厚o. 1毫米，那么撕紙15次后把所有的紙重疊放置有多高？有一人高嗎?若撕掉20次呢？(學(xué)生一下被吸引了紛紛議論起來，當(dāng)計(jì)算出撕紙15次后得到32768張紙，重疊后高度為3. 278米；撕紙20次后高度為104. 8576米時(shí)學(xué)生異常驚訝!) 在概念引入時(shí)，采用活生生的例子更能使學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)就在他們身旁，存在于他們的日常生活中。數(shù)學(xué)意識(shí)和利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力已經(jīng)成為公民基本的素質(zhì)，它們能幫助公民更有效地參與社會(huì)生活，讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)是有用的，所以我要學(xué)。(3)你能建立在紙的張數(shù)與此同時(shí)撕紙的次數(shù)之間建立起函數(shù)關(guān)系式嗎？ 借機(jī)告訴學(xué)生，生活中就存在這一類函數(shù)(如)，它們表達(dá)式的右邊是一個(gè)以大于的常數(shù)為底數(shù),自變量為指數(shù)的冪的形式，我們稱之為指數(shù)函數(shù)。并給出定義：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量。 評(píng)注：通過這樣由特殊到一般的變式題組，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生找到最近的“切入點(diǎn)”，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)獲得主動(dòng)權(quán)，突出學(xué)生的主體地位，這樣既能引導(dǎo)學(xué)生積極探索，又能夠揭示指數(shù)函數(shù)的內(nèi)涵。高中數(shù)學(xué)的很多概念都可以用這種引入變式進(jìn)行教授，如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等等。2辨析變式在概念教學(xué)中的應(yīng)用所謂概念辨析變式，就是在引進(jìn)概念后，針對(duì)概念的內(nèi)涵與外延設(shè)計(jì)辨析型問題，通過對(duì)這些問題的討論，達(dá)到明確概念本質(zhì)、深化概念理解的目的的一種教學(xué)方式【4】。在實(shí)際教學(xué)中可以讓學(xué)生重新觀察引入概念的教學(xué)情境，并與定義的假設(shè)對(duì)照、比較、分析，盡可能由學(xué)生自己從教學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)假設(shè)中的漏洞，提出變式反例，或者由教師提出。如在引入奇偶函數(shù)定義之后，為了讓學(xué)生透徹理解該定義，掌握定義的內(nèi)涵和外延，特別是搞清楚“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”等有關(guān)問題，可利用概念辨析變式設(shè)計(jì)下列變式題組織學(xué)生討論。判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說明理由：（1）； ； （2） ，且； （3）；，； （4）判斷的奇偶性。評(píng)注：我們知道，概念的學(xué)習(xí)分為兩種基本形式，概念的形成和概念的同化?！?】有些概念可以在舊概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行“同化”方面的訓(xùn)練。如“等比數(shù)列”是在“等差數(shù)列”的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。所以學(xué)生可以在“等差數(shù)列”的基礎(chǔ)上加以學(xué)習(xí)“等比數(shù)列”的知識(shí)。但是函數(shù)的奇偶性這個(gè)概念對(duì)于高一學(xué)生來說，是一個(gè)全新的概念，在之前還沒有接觸過類似的概念，很少有舊的概念能和這個(gè)概念產(chǎn)生同化，所以我們只能在概念的形成方面下功夫。而變式教學(xué)正好可以不斷地設(shè)置題組從正反兩個(gè)方面不斷挖掘，讓學(xué)生真正理解函數(shù)的奇偶性這個(gè)概念的本質(zhì)屬性。通過這組變式題，引導(dǎo)學(xué)生加深理解知識(shí)，整理對(duì)奇偶性的內(nèi)在聯(lián)系及規(guī)律總結(jié)。除此，還要設(shè)計(jì)一些有 “陷阱”的變式題，讓學(xué)生對(duì)已有知識(shí)與目前情景發(fā)生沖突，引發(fā)學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性概念的不斷的關(guān)心和探索，增強(qiáng)理解概念實(shí)質(zhì)的欲望和認(rèn)知水平。3深化變式在概念教學(xué)中的應(yīng)用所謂概念深化變式，就是探求概念的等價(jià)形式或變式含義，并探討等價(jià)形式及變式含義的應(yīng)用，達(dá)到透徹理解概念、靈活應(yīng)用概念的目的。比如在進(jìn)行增、減函數(shù)的概念教學(xué)時(shí)，為了讓學(xué)生熟練掌握增、減函數(shù)的定義，需要進(jìn)行概念深化變式。也就是探求概念的等價(jià)形式或變式含義，并探討等價(jià)形式及變式含義的應(yīng)用，達(dá)到透徹理解概念、靈活應(yīng)用概念的目的。因此要學(xué)生注意增、減函數(shù)定義的如下兩種等價(jià)形式： 原定義如下：對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量、，（1）若當(dāng)時(shí)，都有，則說在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；（2）若當(dāng)時(shí)，都有，則說在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。下面是兩種原定義的等價(jià)形式：設(shè)，（1）在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)評(píng)注：在形成概念后，不應(yīng)急于應(yīng)用概念去解決問題，而應(yīng)對(duì)概念作進(jìn)一步的探討，通過辨析變式和等價(jià)深化變式，使學(xué)生對(duì)概念有更加深刻的理解，讓學(xué)生既知其然，又知其所以然。概念深化變式即一個(gè)概念的幾種等價(jià)變式可以讓學(xué)生更深刻地理解概念，而且在今后的解題方面也有想不到的效果。如證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用定義anan1d進(jìn)行證明，也可以用等差中項(xiàng)的定義進(jìn)行證明，還可以通過證明該數(shù)列的前項(xiàng)和是一個(gè)以為自變量且常數(shù)項(xiàng)是為的二次函數(shù)來進(jìn)行證明，等等。下面的例題中涉及到一題多解，更加說明了上述觀點(diǎn)。4鞏固變式在概念教學(xué)中的應(yīng)用概念引入、辨析的同時(shí)，要明確概念的應(yīng)用，并通過練習(xí)鞏固概念。所謂概念鞏固變式，就是設(shè)計(jì)直接應(yīng)用概念的練習(xí)變式題組，并通過題組的討論解決，達(dá)到熟悉概念、鞏固概念、應(yīng)用概念、提高解決問題能力的目的的一種教學(xué)方式。如為了讓學(xué)生更深刻地理解增函數(shù)和減函數(shù)的概念，我們可以設(shè)置如下四道變式題。（1）如圖，已知函數(shù)，的圖象(包括端點(diǎn))根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)。（2）證明函數(shù)在上是減函數(shù)；判斷函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。討論函數(shù)的單調(diào)性。這是一組從課本例題出發(fā)的變式題，華羅庚說過：“如果不做書中所附的習(xí)題，那就好比入寶山而空返?！闭n本中的例題、習(xí)題有著極其豐富的內(nèi)涵，在教學(xué)中應(yīng)該重視課本典型例題、習(xí)題類似的變式題的運(yùn)用，是熟練掌握數(shù)學(xué)方法的有效途徑，是克服題海戰(zhàn)術(shù)的一種有效途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)遷移能力的重要手段。 在證明方法上也可以進(jìn)行變式。（3）證明函數(shù)在上是增函數(shù)。 證法1：，且， 在上是增函數(shù)。學(xué)生討論該證法的正確性，從而得出結(jié)論：該證法忽略了定義中的的“任意性”，所以這種證明方法是錯(cuò)誤的。證法2：設(shè)且，。，。 在上是增函數(shù)。 該證法也是錯(cuò)誤的，原因在于結(jié)論是正確的，但用錯(cuò)了地方，因?yàn)樯鲜鼋Y(jié)論成立的依據(jù)是 在上是增函數(shù)。 學(xué)生自己討論寫出正確的證法。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的任務(wù)是艱巨的，學(xué)生每天都需要戰(zhàn)勝學(xué)習(xí)中的困難，而適度的的挫折經(jīng)歷，對(duì)耐挫力的培養(yǎng)是重要的，心理學(xué)家認(rèn)為：“耐挫力在克服困難中表現(xiàn)，也在經(jīng)歷受挫折、克服困難中發(fā)展，困難是培養(yǎng)學(xué)生耐挫力的磨刀石?！币虼嗽跀?shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用變式教學(xué)安排一些有一定難度的題目讓學(xué)生解決，讓他們付出一定努力，在獨(dú)立思考中解決問題，在戰(zhàn)勝挫折中得到成功。證法3：設(shè)且，則。 ，則，即， 在上是增函數(shù)。 證法4：設(shè)且，則。，則有，。即， 在上是增函數(shù)。證法5：設(shè)且，則，則有，即對(duì)任意，有。 在上是增函數(shù)。證法6： 設(shè)且，則 且，則有，而，對(duì)任意，有。 在上是增函數(shù)。 評(píng)注：方法的多樣性來自學(xué)生的爭(zhēng)論和思考，爭(zhēng)論是一種使學(xué)生積極思考的情境，表現(xiàn)為學(xué)生思考問題時(shí)不墨守成規(guī)，追求標(biāo)新立異。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生不受陳規(guī)的約束，通過變換命題、變換解法(解題思維變式)等方式，提出新的見解和異議，探索解題的捷徑。讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，培養(yǎng)其應(yīng)變能力和創(chuàng)造性思維能力?？傊?，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一種十分重要的學(xué)習(xí)，有許多學(xué)者都提出了自己的看法，如有人提出概念課的模式有概念形成模式、概念同化模式和問題引申模式。也有人提出了數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程設(shè)計(jì)包括數(shù)學(xué)概念的引入、數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用等環(huán)節(jié)。還有其它很多觀點(diǎn)?，F(xiàn)在我們把變式教學(xué)的方法即：引入變式、辨析變式、深化變式和鞏固變式用于概念教學(xué)，這也是一種很好的方法。【參考文獻(xiàn)】1 鄭君文、張恩華著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論 廣西教育出版社，1996。2 嚴(yán)士健，張奠宙，