向量問題的常見求解策略 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 一、利用平面向量的數(shù)量積運算求解參數(shù)值 平面向量數(shù)量積是平面向量中的一大有力武器 .利用向量的數(shù)量積及線性運算來建立參數(shù)的方程，進而求其參數(shù)，是求解與向量有關(guān)的參數(shù)取值的一種重要手段 . 例 1 （ 2013 年高考全國新課標 卷理科卷第 13題）已知兩個單位向量 a， b 的夾角為 60 ， c=ta+（ 1-t） b.若bc=0 ，則 t=_. 解 由 bc=0 ，可知 b ta+（ 1-t） b=0，即 tab+（ 1-t） b2=0.又向量 a， b 均為單位向量，且夾角為 60 ，所以 ab=11cos 60= ， b2=|b|2=1.所以 t+1-t=0，解得t=2. 小結(jié) 本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義及向量的線性運算 . 例 2 （ 2013 年高考山東理科卷第 15題）已知向量 與 的夾角為 120 ，且 | |=3， | |=2.若 = + ，且 ，則實數(shù) 的值為 _. 解 依題意可知 =0 ，又 = + ， = - ，從而有 = （ + ） （ - ） = 2+（ -1） - 2. 由于 | |=3， | |=2， =120 ，所以 2=| |2=4， 2=| |2=9， =32cos 120= -3.所以 4-3（ -1） -9=0 ，解得 = . 小結(jié) 用已知向量 ， （已知模、夾角）來線性表示 是求解本題的切入點，而隨后利用 等價于 =0 及平面向量的線性運算來構(gòu)建關(guān)于 的方程，使得問題的求解水到渠成 . 二、合理設(shè)置基底，利用平面向量的基本定理求解 由平面向量的基本定理可知：平面內(nèi)的任一向量都可以 用同一平面內(nèi)的不共線的兩個向量（基底）唯一表示 .因此，若能合理設(shè)置基底，則利用平面向量基本定理即可將向量的線性運算轉(zhuǎn)化到這組基上來，從而使問題的處理簡單明了 . 例 3 （ 2013 年高考全國新課標 卷理科卷第 13題）已知正方形 ABCD 的邊長為 2， E 為 CD的中點，則 =_. 解 我們注意到 ABCD 為正方形，為此不妨選取向量的基底為 ， ，則 =0 ， | |= | |=2， = - ， = + ，從而有 = （ + ） （ - ） = 2- - 2 = 2. 小結(jié) 本題 也可通過建立平面直角坐標系，將相關(guān)向量坐標化，最后利用向量數(shù)量積的坐標表示來分析求解 . 例 4 （ 2013 年高考天津理科卷第 12題）在平行四邊形 ABCD 中， AD=1， BAD=60 ， E 為 CD的中點 .若 =1 ，則 AB的長為 _. 解 如圖 1 所示，選取向量的基底為 ， ，則有 = + ， = + = - ，從而 = （ + ） （ - ） = 2+ - 2.又 | |=1， =60 ，所以 2=| |2=1， =1 | |cos 60= | |. 所以 1+ | |- | |2=1，解得 | |= 或 | |=0（舍去），即 AB的長為 . 小結(jié) 結(jié)合題目條件，合理設(shè)置基底，將向量往基底上進行轉(zhuǎn)化是求解本題的關(guān)鍵 .其中，對基底的選擇可盡量選取一些特殊向量（如互相垂直的兩個向量、夾角及模易知的兩個不共線向量等） . 三、建立平面直角坐標系，利用向量坐標的代數(shù)運算進行求解 對于一些向量問題，許多時候是以其幾何特性來呈現(xiàn)命題的 .此時，我們?nèi)裟芮‘數(shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺讼?，?gòu)建幾何與代數(shù)聯(lián)系的橋梁，則解題往往會事半功倍 . 例 5 （ 2013 年高考浙江理科卷第 7 題 ）設(shè) ABC ， P0是邊 AB上一定點，滿足 P0B= AB，且對于邊 AB上任一點 P，恒有 ，則 A.ABC=90 B.BAC=90 C.AB=AC D.AC=BC 解 設(shè) AB= 4，以 AB 所在的直線為 x 軸，以線段 AB的中垂線為 y 軸，建立如圖 2 所示的平面直角坐標系 xOy，則有A（ -2， 0）， B（ 2， 0）， P0（ 1， 0） .設(shè) C（ a， b）， P（ x，0）（其中 -2x2 ），從而有 =（ 2-x， 0）， =（ a-x，b）， =（ 1， 0）， =（ a-1， b） .于是 等價于（ 2-x） （ a-x） a -1，即 x2-（ 2+a） x+a+10 在 x -2， 2恒成立，從而有 = -（ 2+a） 2-4（ a+1） =0，解得a=0.所以，點 C 在線段 AB的中垂線上 .所以 AC=BC.選 D. 小結(jié) 本題通過建立平面直角坐標系后運用解析法，將問題等價轉(zhuǎn)化到不等式恒成立問題上來，從而使得問題的求解簡單明了 . 四、利用向量式的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合進行求解 向量具有幾何、代數(shù)的雙重性，解題時若能抓住題目的條件及問題的幾何特性，運用數(shù)形結(jié)合進行分析求解，往往能 起到巧妙求解的效果 . 例 6 （ 2013 年高考安徽理科卷第 9 題）在平面直角坐標系中， O 是坐標原點，兩定點 A， B 滿足 | |=| |= =2 ，則點集 P| = + ， |+|1 ， ， R 所表示的區(qū)域的面積是 A.2 B.2 C.4 D.4 解 根據(jù) | |=| |= = 2 ，可知 AOB= . 由于 A， B 是兩個定點，于是可設(shè) A（ ， 1）， B（ 0， 2）， P（ x， y），從而由 = + ，得 x= ， y =+2 ，解得 = x ， = - x.由于 | |+|1 ，所以 | x|+ | - x|1 ，從而當 x0 ，3y- x0 ， 3y+ x6 時，所得可行域如圖 3 所示 . 由圖 3