開(kāi)始 輸 出 S 的值 2, 1 5?k 1 S S k 結(jié)束 是 否 北京市朝陽(yáng)區(qū) 2015數(shù)學(xué)試卷（理工類） 2016 5 （考試時(shí)間 120分鐘 滿分 150分） 本試卷分為選擇題（共 40分）和非選擇題（共 110分）兩部分 第一部分（選擇題 共 40分） 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 5分，共 40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) 1 已知集合 1 2 4 ， 10B x x ，則 A 12 B 01 C 01 D 12 2復(fù)數(shù) （ i 為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D第四象限 3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 值為 A 6 B 10 C 14 D 15 4已知非零向量 a ， b ， “a b ”是 “a () A充分而不必要條件 B 必要而不充分條件 C 充要條件 D既不充分也不必要條件 5 同時(shí)具有性質(zhì) :“ 最小正周期是 ； 圖象關(guān)于直線3x 對(duì)稱； 在區(qū)間 5 ,6上是單調(diào)遞增函數(shù) ”的一個(gè)函數(shù)可以是 A c o s ( )26B s 2 )6C c o s ( 2 )3D s 2 )66已知 函數(shù) 1 , 2 ,()2 l o g , 2 (0a 且 1)a 的最大值為 1 ,則 a 的取值范圍是 A 112 , )B 01( , ) C 102( , D 1( , ) 7某學(xué)校高三年級(jí)有兩個(gè)文科班，四個(gè)理科班， 現(xiàn)每個(gè)班指定 1人，對(duì)各班的衛(wèi)生進(jìn)行檢 查若每班只安排一人檢查 ，且文科班學(xué)生不檢查文科班，理科班學(xué)生不檢查自己所在的班， 則不同安排方法的種數(shù)是 A 48 B 72 C 84 D 168 8已知正方體 1 1 1 1棱長(zhǎng)為 2， 1 上，且 平面 11動(dòng)點(diǎn) 跡所形成的區(qū)域面積是 A 92B 23 C 33 D 42 第二部分（非選 擇題 共 110分） 二、填空題：本大題共 6小題，每小題 5分，共 30分把答案填在答題卡上 9雙曲線 2 2:13的漸近線方程是 ；若 拋物線 2 2 ( 0 )y p x p的焦點(diǎn)與 雙曲線 C 的一個(gè)焦點(diǎn)重合， 則 p 10 如圖， P 為 O 外一點(diǎn)， O 的切線， A 為切點(diǎn)，割線 與 O 相交于 , 3A ， D 為線段 中點(diǎn)， 延長(zhǎng)線交 O 于點(diǎn) E 若 1，則 長(zhǎng)為 _； E 的值是 11 已知 等邊 的邊長(zhǎng)為 3， D 是 上一點(diǎn)，若 1，則 D值是 _ 12 已知關(guān)于 ,2,2y k 所表示的平面區(qū)域 D 為三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 13為了響應(yīng)政府推進(jìn) “菜籃子 ”工程建設(shè)的號(hào)召，某經(jīng)銷 商投資 60萬(wàn)元建了一個(gè)蔬菜生產(chǎn)基地 萬(wàn)元，以后每年支出的費(fèi)用比上一年多 2萬(wàn)元 6萬(wàn)元 n 年的純利潤(rùn)（ ()前 n 年的總收入前 n 年的總費(fèi)用支出投資額），則 () n 表示）；從第 年開(kāi)始盈利 . 14在平面直角坐標(biāo)系 點(diǎn) A (2,0) ，曲線 21上的動(dòng)點(diǎn) B ，第一象限內(nèi)的點(diǎn) C ，構(gòu)成等腰直角三角形 且 90A ，則線段 的最大值是 三、解答題：本大題共 6小題，共 80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程 15 （本小題滿分 13分） 在 中，角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別是 a ， b ， c ，已知 13A，3 , s i n 6 s i C ( )求 a 的值； ( ) 若角 A 為銳角，求 b 的值及 的面積 16 （本小題滿分 13分） 交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反 映某區(qū)域道路網(wǎng)在某特定時(shí)段內(nèi)暢通或擁堵實(shí)際情況的概念性指數(shù)值 交通指數(shù)范圍為 (010)， ，五個(gè)級(jí)別規(guī)定如下： 交通指數(shù) (0,2) 2,4) 4,6) 6,8) 8,10) 級(jí)別 暢通 基本暢通 輕度擁堵 中度擁堵 嚴(yán)重?fù)矶?某人 在工作日上班出行每次經(jīng)過(guò)的路段都在同一個(gè)區(qū)域內(nèi)，他隨機(jī)記錄了上班的 40個(gè)工作日早高峰時(shí)段 (早晨 7點(diǎn)至 9點(diǎn) )的交通指數(shù) (平均值 )，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如直方圖所示 （ ）據(jù)此估計(jì)此人 260個(gè)工作日中 早高峰 時(shí)段（早晨 7點(diǎn)至 9點(diǎn)） 中度擁堵的 天數(shù)； （ ）若此人早晨 上班路上所用時(shí)間近似為： 暢通時(shí) 30分鐘，基本暢通時(shí) 35分鐘， 輕度擁堵時(shí) 40分鐘，中度擁堵時(shí) 50 分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聲r(shí) 70 分鐘，以直方圖 中各種路況的頻率作為每天遇到此種 路況的概率，求此人上班路上所用時(shí)間 X 的數(shù)學(xué)期望 頻率 組距 交通指數(shù)值 2 4 6 8 10 3 5 7 9 17 （本小題滿分 14分） 如圖 1，在等腰梯形 ， /D ， 1 22B C A D， 60A ， E 為 點(diǎn)，點(diǎn) ,E 的中點(diǎn)將 沿 起到1位置，使得平面1面如圖 2） （ ）求證：1E； （ ）求直線1 （ ）側(cè)棱1 ，使得 /面1若存在，求出11值；若不 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 18 （本小題滿分 13分） 已知函數(shù) 21( ) ( 1 ) 1 ) l x x a x a x （， aR （ ）當(dāng) 3a 時(shí)，求曲線 : ( )C y f x 在點(diǎn) (1, (1)f 處的切線方程； （ ）當(dāng) 1,2x 時(shí)，若曲線 : ( )C y f x 上的點(diǎn) ( , )在不等式組1 2,32 所表示的 平面區(qū)域內(nèi)，試求 a 的取值范圍 E C D B A 圖 1 B F O C D 圖 2 19（本小題滿分 14 分） 在平面直角坐標(biāo)系 0 0 0( , ) ( 0 )P x y y 在橢圓 :C 2 2 12x y上，過(guò)點(diǎn) P 的直線 l 的方程為 00 12xx （ ）求橢圓 C 的離心率； （ ）若直線 l 與 x 軸、 y 軸分別相交于 ,求 面積的最小值； （ ）設(shè)橢圓 C 的左、右焦點(diǎn)分別為1F，2F，點(diǎn) Q 與點(diǎn)1l 對(duì)稱，求證：點(diǎn)2,Q P 20（本小題滿分 13分） 已知集合 311 , ( 22nS k k k n N，且 )n N 若存在非空集合12, , , 得12 S S U U L U，且 (1 , , )i j n i j I，并 , ( 1 , 2 , , ) ,ix y S i n x y L，都有ix y S，則稱集合 S 具有性質(zhì) P ，1, 2, ,L ）稱為集合 S 的 P 子集 （ ）當(dāng) 2n 時(shí)，試說(shuō)明集合 S 具有性質(zhì) P ，并寫(xiě)出相應(yīng)的 P 子集 2 ； （ ）若集合 S 具有性質(zhì) P ，集合 T 是集合 S 的一個(gè) P 子集，設(shè) 3 | nT s s T ， 求證： ,x y T T U ， ，都有 x y T T U ； （ ）求證：對(duì)任意正整數(shù) 2n ，集合 S 具有性質(zhì) P 北京市朝陽(yáng)區(qū) 2015期高三年級(jí)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)答案（理工類） 2016 5 一、選擇題：（滿分 40分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C D A D C 二、填空題： （滿分 30分） 題號(hào) 9 10 11 12 13 14 答案 33 ， 4 3 ， 16 6 ( , 2 0 ,1) 9 6 0 ,5 2 2 1 （注：兩空的填空，第一空 3分，第二空 2分） 三、解答題： （滿分 80分） 15（本小題滿分 13分） 解： ( ) 因?yàn)?2 1c o s 2 1 2 s i ，且 0 A ， 所以 6 因?yàn)?3 , s i n 6 s i C， 由正弦定理得 6 6 3 3 2 6 分 ( ) 由 6s i n , 032 得 3 由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A ，得 2 2 1 5 0 解得 5b 或 3b （舍負(fù)） 所以 1 5 2s i b c A 13 分 解 : （ ）由已知可得： 上班的 40個(gè)工作日 中 早高峰時(shí)段 中度擁堵的頻率為 據(jù)此估 計(jì)此人 260個(gè)工作日 早高峰時(shí)段（早晨 7點(diǎn)至 9點(diǎn)） 中度擁堵的天數(shù)為 2605天 . 5 分 （ ）由題意可知 X 的可能取值為 3 0 , 3 5 , 4 0 , 5 0 , 7 0 且 ( 3 0 ) 0 ； ( 3 5 ) 0 ； ( 4 0 ) 0 ； ( 5 0 ) 0 . 2 5； ( 7 0 ) 0 ； 所以 3 0 0 . 0 5 + 3 5 0 . 1 + 4 0 0 . 4 5 + 5 0 0 . 2 5 + 7 0 0 . 1 5 = 4 6 13分 17（本小題滿分 14分） 解：（ ）如圖 1，在等腰梯形 ， 由 /D ， 1 22B C A D， 60A ， E 為 所以 為等邊三角形如圖 2, 因?yàn)?O 為 中點(diǎn)，所以1E 又因?yàn)槠矫?面 且平面1E ， 所以1面 所以1E 4 分 （ ）連結(jié) 由已知得 E ，又 O 為 中點(diǎn)， 圖 2 所以 E 由（ ）知1面 所以11,A O B E A O O C， 所以1 ,O A O B O 以 O 為原點(diǎn)，1,C ,建立空間直角坐標(biāo)系（如圖） 因?yàn)?2，易知1 3O A O C 所以1 ( 0 0 3 ) , ( 1 0 0 ) , ( 0 3 0 ) , ( 1 0 0 )A B C E ， ， ， ， ， ， ， ， 所以1 1 1( 1 0 3 ) , ( 0 3 3 ) , ( 1 0 3 )A B A C A E u u u r u u u r u u u r， ， ， ， ， ， 設(shè)平面1 , , )x y zn ， E C D B A 圖 1 A1 O B C D E P C B F O D 由 110,0 得 3 3 0 , 3 0 . 即 0, 3 0 . 取 1z ，得 ( 3 ,1,1)n 設(shè)直線1 ， 則13 3 3 1 5s i n c o s ,52 5 5 u u u r n 所以直線155 9 分 （ ）假設(shè)在側(cè)棱1 ，使得 /面1 設(shè)11A P A C0,1 因?yàn)? 1 1 1B P B A A P B A A C u u ur u u ur u u u r u u ur u u u r， 所以 ( 1 0 3 ) ( 0 3 3 ) ( 1 , 3 , 3 3 ) u u ， ， ， 易證 四邊形 菱形，且 D ， 又由（ ）可知，1E，所以 平面1 所以 ( 1 , 3 , 0 ) 平面1 由 ( 1 , 3 , 3 3 ) ( 1 , 3 , 0 ) 1 3 0B P C E u u ur u u 得 1 0,13 所以 側(cè)棱1 ，使得 /面11113 14 分 18（本小題滿分 13分） 解：（ ）當(dāng) 3a 時(shí) , 21( ) 4 2 l x x x x ， 0x 2( ) 4f x x x 則 (1 ) 1 4 2 1f ，而 17(1 ) 422f 所以曲線 C 在點(diǎn) (1, (1)f )處的切線方程為 7 12 ，即 2 2 5 0 4 分 （ ）依題意當(dāng) 1,2x 時(shí)，曲線 C 上的點(diǎn) ,在不等式組1 2,32 所表示的平面區(qū)域內(nèi)，等價(jià)于當(dāng) 12x時(shí)， 3()2x f x x 恒成立 設(shè) ( ) ( )g x f x x 21 1 ) l n2 x a x a x（ ， 1,2x 所以 21 (1 )( ) = + =a x a x ag x x a + ( 1 ) ( 1 ) )= x x （ 1）當(dāng) 11a ，即 2a 時(shí)，當(dāng) 1,2x 時(shí)， ( ) 0 ， () 所以 ( 2 ) ( ) (1 )g g x g 依題意應(yīng)有 131,222 2 2 1 l n 2 0 ,()( ) ( )a a 解得 21所以 12a （ 2）若 1 1 2a ，即 23a時(shí)，當(dāng) 1, 1， ( ) 0 ， () 數(shù)， 當(dāng) x 1,2a ， ( ) 0 ， () 由于 3(1)2g ，所以不合題意 （ 3）當(dāng) 12a ，即 3a 時(shí)，注意到 15(1)22 ，顯然不合題意 綜上所述， 12a 13 分 19 （本小題滿分 14分） 解： （ ） 依題意可知 2a ， 2 1 1c ， 所以橢圓 C 離心率為 1222e 3分 （ ）因?yàn)?直線 l 與 x 軸， y 軸分別相交于 ,以000, 0 令 0y ，由 00 12xx 得02x x ，則02( ,0)A x 令 0x ，由 00 12xx 得01y y ，則01(0, )B y 所以 的面積0 0 0 01 1 2 122O A A O B x y x y 因?yàn)辄c(diǎn)00( , )P x C 2 2 12x y上，所以 2 200 12x y 所以 2 0020 0122 2y 即0022，則001 2 所以0011 22O A A O B 當(dāng)且僅當(dāng) 2 2002x y ，即0021, 2 時(shí)， 面積的最小值為 2 9分 （ ） 當(dāng)0 0x 時(shí)， (0, 1)P 當(dāng)直線 :1時(shí)，易得 ( 1,2)Q ，此時(shí)2 1，2 1 因?yàn)?2F Q F 所以三點(diǎn)2,Q P 同理，當(dāng)直線 :1 時(shí)，三點(diǎn)2,Q P 當(dāng)0 0x 時(shí)，設(shè)點(diǎn) ( , )因?yàn)辄c(diǎn) Q 與點(diǎn)1l 對(duì)稱， 所以000011,2 2 202 ( ) 1 12x y 整理得 0 0 00 0 02 4 0 ,2 2 0 .x m y n xy m x n y 解 得220 0 022000 0 0220044 ,448 x y 所以點(diǎn) 220 0 0 0 0 02 2 2 20 0 0 04 4 4 8( , )44x x y x y x y x 又因?yàn)? 0 0( 1, )F P x y220 0 0 0 0 02 2 2 2 20 0 0 04 4 4 8( 1 , )44x x y x y x y x u u u 且 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 02 2 2 2 2 20 0 0 0 0 04 4 4 8 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )4 4 4x x y x y y x y x xy x yy x y x y x 220 0 0 00 22004 8 ( 4 4 8 )4x y x 2 2 2 20 0 0 00 0 02 2 2 2 2 20 0 0 0 0 08 4 8 4 ( 2 ) 8 4 2 8 04 4 4y x y xy y yy x y x y x 所以2 /以點(diǎn)2,Q P 綜上所述，點(diǎn)2,Q P 14 分 20（本小題滿分 13分） 證明：（ ）當(dāng) 2n 時(shí)， 1, 2, 3, 4S ，令1 1, 4S ，2 2,3S , 則12S S S U, 且對(duì) , ( 1 , 2 ) ,ix y S i x y ，都有ix y S， 所以 S 具有性質(zhì) P 相應(yīng)的 P 子集為1 1, 4S ，2 2,3S 3分 （ ） 若 31, (1 )2nx y T y x ,由已知 x y T , 又 31 132n ,所以 x y T 所以 x y T TU 若 ,x y T ,可設(shè) 3 , 3s y r ， ,r s T ,且 3112 ， 此時(shí) 31( 3 ) ( 3 ) 1 32nn n nx y s r s r 所以 x y T ，且 x y s r T 所以 x y T T U 若 , 3 nx s T ,， 則 3 1 3 3 3 1( 3 ) ( ) 3 ( 1 ) 32 2 2n n nn n nx y s y s